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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Do 28.02.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | wie werden die reellen Zahlen eingeführt? |
Ich kenne da verschiedene Möglichkeiten. Die erste wäre über rationale Folgen.
Die reellen Zahlen sind alle Grenzwerte konvergenter rationaler Folgen.
Wenn man dann schreibt [mm] \IR:=(F,~), [/mm] wobei F die konvergenten Folgen in [mm] \IQ [/mm] sind, sind das dann die Äquivalenzklassen? (Zwei Folgen sind äquivalent, wenn sie den selben Grenzert haben) Also beinhaltet diese Menge jeden Grenzwert nur einmal, auch wenn mehrere Folgen ihn als Grenzwert haben? Liege ich da richtig?
Dann haben wir es noch über Cauchyfolgen gemacht. [mm] \IR:=(CF,~) [/mm] wobei zwei Cauchyfolgen äquivalent sind, wenn für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] N_\epsilon [/mm] >0: [mm] n>N_\epsilon [/mm] => [mm] \leftla_n-b_n\rightl [/mm]
Sind dass dann die Grenzwerte aller Cauchyfolgen in [mm] \IQ?
[/mm]
Dann haben wir das mit dem Dedekindschen Schnitt gemacht. Da haben ich nicht verstanden wie man zu den reellen Zahlen gelangt. Was heißt denn (A \ {q} ,B)~(A,B \ {q} )?
Die beiden Mengen dürfen doch gemeinsame Punkte haben, oder? Oder haben sie nur einen gemeinsamen Punkt, weil alle a aus A kleiner sein müssen als alle b aus B?
So habe ich das bis jetzt verstanden, aber ich verstehe nicht wie ich dabei zu [mm] \IR [/mm] komme?
Dann gibt es noch die Intervallschachtelungen. Die Intervalle werden immer kleiner und zwei Intervallschachtelungen sind dann äquivalent, wenn die Folgen der Intervalle [mm] {I_n} {J_n}, [/mm] so sind, dass In [mm] \cap J_n \not= \emptyset. [/mm] Da es aber nicht die selben Intervalle sind muss es sich um diesen Punkt handeln, der zwischen den beiden Mittelpunkten der Intervalle liegt, denn zwischen zwei Zahlen aus [mm] \IQ [/mm] lliegt immer eine aus [mm] \IR. [/mm] Ist das so richtig?
Es wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte.
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Hi,
> wie werden die reellen Zahlen eingeführt?
> Ich kenne da verschiedene Möglichkeiten. Die erste wäre
> über rationale Folgen.
>
> Die reellen Zahlen sind alle Grenzwerte konvergenter
> rationaler Folgen.
> Wenn man dann schreibt [mm]\IR:=(F,~),[/mm] wobei F die
> konvergenten Folgen in [mm]\IQ[/mm] sind, sind das dann die
> Äquivalenzklassen? (Zwei Folgen sind äquivalent, wenn sie
> den selben Grenzert haben) Also beinhaltet diese Menge
> jeden Grenzwert nur einmal, auch wenn mehrere Folgen ihn
> als Grenzwert haben? Liege ich da richtig?
>
etwas genauer muesste man denke ich sagen, zwei rationale folgen sind aequivalent, wenn ihre differenz eine nullfolge ist. der grenzwert kann ja irrational sein, deshalb sollte der in der definition nicht vorkommen.
> Dann haben wir es noch über Cauchyfolgen gemacht.
> [mm]\IR:=(CF,~)[/mm] wobei zwei Cauchyfolgen äquivalent sind, wenn
> für alle [mm]\epsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]N_\epsilon[/mm] >0:
> [mm]n>N_\epsilon[/mm] => [mm]\leftla_n-b_n\rightl[/mm]
> Sind dass dann die Grenzwerte aller Cauchyfolgen in [mm]\IQ?[/mm]
yep. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Dann haben wir das mit dem Dedekindschen Schnitt gemacht.
> Da haben ich nicht verstanden wie man zu den reellen Zahlen
> gelangt. Was heißt denn (A \ {q} ,B)~(A,B \ {q} )?
Aus dem zusammenhang gerissen verstehe ich diese notation nicht.
> Die beiden Mengen dürfen doch gemeinsame Punkte haben,
> oder? Oder haben sie nur einen gemeinsamen Punkt, weil alle
> a aus A kleiner sein müssen als alle b aus B?
> So habe ich das bis jetzt verstanden, aber ich verstehe
> nicht wie ich dabei zu [mm]\IR[/mm] komme?
ich muss zugeben, als erstsemester fand ich dedekindsche schnitte auch komplett abstrus... habs gerade noch mal bei wiki nachgelesen: ein dedekindscher schnitt ist eigentlich die menge aller rationalen zahlen, die kleiner als eine gewisse schranke sind. diese schranke existiert aber sozusagen 'nur im kopf', kann also auch irrational sein. Stelle dir die menge aller rationalen zahlen vor, die kleiner als [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] sind, vor. durch diese menge ist aber die 'schranke', naemlich die reelle zahl [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] eindeutig definiert, ohne das wir sie konkret angeben muessen: waere es eine kleinere zahl $a$, enthielte der schnitt auch zahlen groesser als $a$. waere $a$ groesser, so muesste der schnitt noch weitere rationale zahlen enthalten. beides sind widersprueche.
letztlich kann man fuer diese schnitte sogar rechenregeln und weiteres definieren und enthaelt somit ein modell fuer die reellen zahlen.
>
> Dann gibt es noch die Intervallschachtelungen. Die
> Intervalle werden immer kleiner und zwei
> Intervallschachtelungen sind dann äquivalent, wenn die
> Folgen der Intervalle [mm]{I_n} {J_n},[/mm] so sind, dass In [mm]\cap J_n \not= \emptyset.[/mm]
> Da es aber nicht die selben Intervalle sind muss es sich um
> diesen Punkt handeln, der zwischen den beiden Mittelpunkten
> der Intervalle liegt, denn zwischen zwei Zahlen aus [mm]\IQ[/mm]
> lliegt immer eine aus [mm]\IR.[/mm] Ist das so richtig?
ich verstehe nicht ganz, was du meinst. ich vermute, das geht ungefaehr so: wenn zwei intervallschachtelungen fuer noch so grosse n immer eine nichtleere schnittmenge haben, so muessen sie sich quasi um denselben punkt 'zusammenschnueren'. taeten sie das nicht, haetten die beiden innenpunkte einen positiven abstand. man koennte ueber epsilon-arithmetik leicht einen widerspruch konstruieren, dass die intervalle nicht immer eine nichtleere schnittmenge haben koenne. Ist keine mathematisch ganz saubere erklaerung, aber sollte reichen...
gruss
matthias
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