Einheit in Z/nZ < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Do 01.11.2007 | | Autor: | DerJack |
| Aufgabe | Seien [mm] a\in \IZ [/mm] und n [mm] \in [/mm] N. Dann ist [a] [mm] \in \IZ/n\IZ [/mm] eine Einheit in [mm] \IZ/n\IZ, [/mm] falls
ein x [mm] \in \IZ [/mm] existiert mit [x][a] = [1]. Offensichtlich ist [1] immer eine Einheit,
egal welches n genommen wird. Bei vorgegebenem n sei U(n) die Menge der
Einheiten in [mm] \IZ/n\IZ.
[/mm]
(Z.B. gilt U(6) = {[1], [5]} und U(8) = {[1], [3], [5], [7]}.)
Was ist U(20)? |
Guten Nabend,
die in der Aufgabe gegebene "Definition" für eine Einheit leuchtet mir noch nicht ganz ein.
Bedeutet [x][a] = [1] ->x*a=1. Wenn dies so währe, warum ist dann U(6)={[1],[5]}? Die 1 ist klar aber die 5 nicht da hier x [mm] =\bruch{1}{5} [/mm] sein müsste, aber da x [mm] \in \IZ [/mm] geht dies ja nicht.
Die Lösung für U(20) müsste 8 sein({[1],[3],[7],[9],[13],[17],[19]})?
Mit freundlichen Grüßen Jack
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Do 01.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es gehet hier nicht um [mm] \IZ [/mm] sondern um die Restklassen mod(n)
geschrieben [mm] \IZ/n\IZ,
[/mm]
alle z [mm] \in \IZ [/mm] die denselben Rest bei Division durch n lassen bilden dieselbe Restklasse.
d,h. in [mm] \IZ/6\IZ [/mm] sind 1,7,13,19,25 ..301, 6001 usw. alle
in derselben Restklasse [1| und 5*5=25 =1 mod(6)
Wenns jetzt klar ist versuchs mal mit den Zahlen für U(8) und dann kannst du sicher die gestellte Aufgabe!
Gruss leduart
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