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| Aufgabe | Es sei k ein Körper. Zeigen Sie, dass die folgenden Ringe lokale Ringe sind. Berechnen Sie dazu die Einheiten von k[mm][[X]][/mm].
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Hallöchen.
Ich hab ein Probelm mit Einheiten. Ich weiß nicht, wie ich die Einheiten bestimmen soll. Ich weiß nciht mal, wie ich an die Aufgabe überhaupt rangehen soll.
Könnt ihr mir vielleicht dabei helfen?
Wär super lieb, vielen Dank
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Eigentlcih nicht. Die Aufgabe lautet folgenderaßen:
Es sei k einKörper. Zeigen Sie, dass die folgenden Ringe lokale Ringe sind. Berechnen Sie dazu die Einheiten.
a) [mm]k[[X]][/mm]
b) [mm] k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)
[/mm]
Ich dachte ich schreibe nur den ersten Teil hin, da ich, wenn ich es begriffen habe, den zweiten Teil dann gerne alleine versuchen würde.
Wär super, wenn du mir bei a aber helfen könntest.
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a) um das X sollten eigentlich zwei eckige Klammern ineinander.
Funktioniert aber irgendwie nicht ganz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 So 07.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo sternchen,
> a) um das X sollten eigentlich zwei eckige Klammern
> ineinander.
> Funktioniert aber irgendwie nicht ganz
doch, wenn du die [mm]- und [/mm]-Tags verwendest :)
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 So 07.01.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei k ein Körper. Zeigen Sie, dass die folgenden Ringe
> lokale Ringe sind. Berechnen Sie dazu die Einheiten von
> [mm]R_1 := k[[X]][/mm].
und [mm] $R_2 [/mm] := [mm] k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$.
[/mm]
Zuerstmal dazu: Du kannst jedes Element $x [mm] \in R_2$ [/mm] schreiben als $a + b [mm] \varepsilon$ [/mm] mit eindeutig bestimmten $a, b [mm] \in [/mm] k$. Nun ist $(a + b [mm] \varepsilon) [/mm] (c + d [mm] \varepsilon) [/mm] = a c + (a d + b c) [mm] \varepsilon [/mm] + b c [mm] \varepsilon^2 [/mm] = a c + (a d + b c) [mm] \varepsilon$ [/mm] in [mm] $R_2$ [/mm] (da [mm] $\varepsilon^2 [/mm] = 0$ in [mm] $R_2$). [/mm] Damit das gleich $1 + 0 [mm] \varepsilon$ [/mm] ist, muss also $a [mm] \neq [/mm] 0$ und $c = [mm] a^{-1}$ [/mm] sein, und $0 = a d + b c = a d - b [mm] a^{-1}$ [/mm] sein, also $b = ...$ (das musst du jetzt selber herausfinden :) ). Also, was sind die Einheiten?
Zu [mm] $R_1$: [/mm] Ein Element in [mm] $R_1$ [/mm] ist von der Form $x = [mm] \sum_{i=0}^\infty a_i X^i$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] k$. Damit es ein $y = [mm] \sum_{i=0}^\infty b_i X^i$ [/mm] mit $x y = 1$ gibt, muss also [mm] $a_0 b_0 [/mm] = 1$ sein und [mm] $\sum_{j=0}^i a_j b_{i-j} [/mm] = 0$ sein fuer alle $i > 0$.
Ich behaupte jetzt mal, dass jedes $x = [mm] \sum_{i=0}^\infty a_i X^i$ [/mm] mit [mm] $a_0 \neq [/mm] 0$ eine Einheit ist. Das zu beweisen verbleibt dir jetzt noch als Uebungsaufgabe  Dazu musst du zeigen, dass man die [mm] $b_i$ [/mm] immer so waehlen kann, dass die o.g. Bedingungen alle erfuellt sind.
LG Felix
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