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Forum "Algebra" - Einheiten, Nullteiler in Ringe
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Einheiten, Nullteiler in Ringe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mi 14.09.2022
Autor: emmathe


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo!

In der Ringtheorie haben wir in der Vorlesung verschiedene Ringe kennengelernt, genauer:

Integritätsring, Faktorieller Ring, Hauptidealring, Euklidischer Ring, Körper
Es gilt: Körper [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Euklidischer Ring [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Hauptidealring [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Faktorieller Ring [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Integritätsring

Wir haben in diesen Ringen auch verschiedene Begriffe eingeführt, wie
Einheiten, Nullteiler, Teiler, ggT, kgV, assoziierte Elemente, Primelemente und irreduzible Elemente. Ich möchte nun alle diese Begriffe in den jeweils oben genannten Ringen charakterisieren.


Integritätsring
___________

Einheiten:

Sei $a [mm] \in [/mm] R$.
Dann heißt $a$ Nullteiler, falls ein $b [mm] \in R\setminus \{ 0_{R} \}$ [/mm] existiert mit $a [mm] \cdot [/mm] b = b [mm] \cdot [/mm] a = [mm] 1_{R}$ [/mm]


Nullteiler:

Sei $a [mm] \in [/mm] R$.
Dann heißt $a$ Nullteiler, falls ein $b [mm] \in R\setminus \{ 0_{R} \}$ [/mm] existiert mit $a [mm] \cdot [/mm] b = b [mm] \cdot [/mm] a = [mm] 0_{R}$ [/mm]

Teiler:

Sei $a, b [mm] \in [/mm] R$. Dann heißt $a$ ein Teiler von $b$, wenn ein $c [mm] \in [/mm] R$ existiert mit $b = a [mm] \cdot [/mm] c$. Wir schreiben kurz $a [mm] \; \vert \; [/mm] b$

ggT: Seien $g, a, b [mm] \in [/mm] R$.

Dann heißt $g$ ein größter gemeinsamer Teiler (ggT) von $a$ und $b$, wenn
(1) $g [mm] \; \vert \; [/mm] a$ und $g [mm] \; \vert \; [/mm] b$
(2) Für alle $h [mm] \in [/mm] R$ mit $h [mm] \; \vert \; [/mm] a$ und $h [mm] \; \vert \; [/mm] b$ gilt $h [mm] \; \vert \; [/mm] g$

$ggT(a,b) := [mm] \{ g \in R\; \vert \; g\; \text{ist ggT von}\; a \; \text{und}\; b \}$ [/mm]

kgV: Seien $k, a, b [mm] \in [/mm] R$.

Dann heißt $g$ ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von $a$ und $b$, wenn
(1) $a [mm] \; \vert \; [/mm] k$ und $b [mm] \; \vert \; [/mm] k$
(2) Für alle $l [mm] \in [/mm] R$ mit $a [mm] \; \vert \; [/mm] l$ und $b [mm] \; \vert \; [/mm] l$ gilt $k [mm] \; \vert \; [/mm] l$

$kgV(a,b) := [mm] \{ k \in R\; \vert \; k\; \text{ist kgV von}\; a \; \text{und}\; b \}$ [/mm]

Assoziierte Elemente:

Seien $a, b [mm] \in [/mm] R$.
Dann heißen $a$ und $b$ assoziiert, wenn eine Einheit $u [mm] \in R^{\times}$ [/mm] existiert mit $a = u [mm] \cdot [/mm] b$.


Irreduzible Elemente:

Sei $p [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \left ( R^{\times} \cup \{ 0_{R} \} \right [/mm] )$.
Dann heißt $p$ irreduzibel, falls aus $ p = a [mm] \cdot [/mm] b$ folgt, dass $a [mm] \in R^{times}$ [/mm] oder $b [mm] \in R^{\times}$. [/mm]


Primelemente:

Sei $p [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus \left ( R^{\times} \cup \{ 0_{R} \} \right [/mm] )$.
Dann heißt $p$ prim, falls aus $ p [mm] \; \vert \; [/mm] a [mm] \cdot [/mm] b$ folgt, dass $p [mm] \; \vert \; [/mm] a$ oder $p [mm] \; \vert \; [/mm] b$.




Hauptidealring
_____________

Einheiten:


Nullteiler:


Teiler:

$a [mm] \vert [/mm] b$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $(b) [mm] \subseteq [/mm] (a)$

ggT:

$g [mm] \in [/mm] ggT(a,b)$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm]

(1) $(a,b) [mm] \subseteq [/mm] (g)$
(2) Für alle $h [mm] \in [/mm] R$ mit $(a,b) [mm] \subseteq [/mm] (h)$ gilt $(g) [mm] \subseteq [/mm] (h)$

Aber (1) und (2) sind das gleiche wie $(a,b) = (g)$, oder?

kgV:

$k [mm] \in [/mm] kgV(a,b)$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm]

(1) $(k) [mm] \subseteq [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] (b)$
(2) Für alle $l [mm] \in [/mm] R$ mit $(l) [mm] \subseteq [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] (b)$ gilt $(l) [mm] \subseteq [/mm] (k)$

Kann man (1) und (2) kompakter zusammenfassen? Also zu einer einzigen Bedingung?

Assoziierte Elemente:

$a [mm] \sim [/mm] b$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $(a) = (b)$


Irreduzible Elemente:

$p$ irreduzibel [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $(p)$ maximales Hauptideal


Primelemente:

$p$ ist prim [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $P$ ist Primideal




Euklidischer Ring
_____________

Einheiten:


Nullteiler:


Teiler:

$a [mm] \vert [/mm] b$ [mm] $\delta(a) \le \delta(b)$ [/mm] (Dabei ist [mm] $\delta$ [/mm] die Bewertungsfunktion des euklidischen Rings)

ggT:

$g [mm] \in [/mm] ggT(a,b)$ [mm] $\Leftrightarrow$ $\delta(g)$ [/mm] ist minimal

kgV:


Assoziierte Elemente:


$a [mm] \sim [/mm] b$ [mm] $\Leftrightarrow$ $\delta(a) [/mm] = [mm] \delta(b)$ [/mm]


Irreduzible Elemente:



Primelemente:





Ich habe jetzt mal nur den Integritätsring, Hauptidealring und Euklidischen Ring aufgeschrieben mit den jeweiligen Begriffen. Ich habe einiges schon, aber ich kann zumindest in euklidischen Ringen und Hauptidealringen die Begriffe "Einheit" und "Nullteiler" charakterisieren. Gibt es da überhaupt eine Charakterisierung?

Würde mich auf eine Antwort freuen.

Lg, Emma



        
Bezug
Einheiten, Nullteiler in Ringe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:56 Mo 19.09.2022
Autor: meili

Hallo Emma,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo!
>  
> In der Ringtheorie haben wir in der Vorlesung verschiedene
> Ringe kennengelernt, genauer:
>  
> Integritätsring, Faktorieller Ring, Hauptidealring,
> Euklidischer Ring, Körper
>  Es gilt: Körper [mm]\Rightarrow[/mm] Euklidischer Ring [mm]\Rightarrow[/mm]
> Hauptidealring [mm]\Rightarrow[/mm] Faktorieller Ring [mm]\Rightarrow[/mm]
> Integritätsring
>  
> Wir haben in diesen Ringen auch verschiedene Begriffe
> eingeführt, wie
> Einheiten, Nullteiler, Teiler, ggT, kgV, assoziierte
> Elemente, Primelemente und irreduzible Elemente. Ich
> möchte nun alle diese Begriffe in den jeweils oben
> genannten Ringen charakterisieren.
>  
>
> Integritätsring
>  ___________
>  
> Einheiten:
>  
> Sei [mm]a \in R[/mm].
> Dann heißt [mm]a[/mm] Nullteiler, falls ein [mm]b \in R\setminus \{ 0_{R} \}[/mm]
> existiert mit [mm]a \cdot b = b \cdot a = 1_{R}[/mm]

Sei [mm]a \in R[/mm].  Dann heißt [mm]a[/mm] Einheit, falls ein [mm]b \in R\setminus \{ 0_{R} \}[/mm] existiert mit [mm]a \cdot b = b \cdot a = 1_{R}[/mm]

>  
>
> Nullteiler:
>  
> Sei [mm]a \in R[/mm].
> Dann heißt [mm]a[/mm] Nullteiler, falls ein [mm]b \in R\setminus \{ 0_{R} \}[/mm]
> existiert mit [mm]a \cdot b = b \cdot a = 0_{R}[/mm]

Da Integritätsringe nullteilerfrei sind, ist [mm] $0_R$ [/mm] der einzige Nullteiler.

>  
> Teiler:
>  
> Sei [mm]a, b \in R[/mm]. Dann heißt [mm]a[/mm] ein Teiler von [mm]b[/mm], wenn ein [mm]c \in R[/mm]
> existiert mit [mm]b = a \cdot c[/mm]. Wir schreiben kurz [mm]a \; \vert \; b[/mm]
>
> ggT: Seien [mm]g, a, b \in R[/mm].
>  
> Dann heißt [mm]g[/mm] ein größter gemeinsamer Teiler (ggT) von [mm]a[/mm]
> und [mm]b[/mm], wenn
> (1) [mm]g \; \vert \; a[/mm] und [mm]g \; \vert \; b[/mm]
>  (2) Für alle [mm]h \in R[/mm]
> mit [mm]h \; \vert \; a[/mm] und [mm]h \; \vert \; b[/mm] gilt [mm]h \; \vert \; g[/mm]
>  
> [mm]ggT(a,b) := \{ g \in R\; \vert \; g\; \text{ist ggT von}\; a \; \text{und}\; b \}[/mm]
>  
> kgV: Seien [mm]k, a, b \in R[/mm].
>  
> Dann heißt [mm]g[/mm] ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)
> von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm], wenn
> (1) [mm]a \; \vert \; k[/mm] und [mm]b \; \vert \; k[/mm]
>  (2) Für alle [mm]l \in R[/mm]
> mit [mm]a \; \vert \; l[/mm] und [mm]b \; \vert \; l[/mm] gilt [mm]k \; \vert \; l[/mm]

Dann heißt [mm]k[/mm] ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm], wenn
(1) [mm]a \; \vert \; k[/mm] und [mm]b \; \vert \; k[/mm]
(2) Für alle [mm]l \in R[/mm] mit [mm]a \; \vert \; l[/mm] und [mm]b \; \vert \; l[/mm] gilt [mm]k \; \vert \; l[/mm]

>  
> [mm]kgV(a,b) := \{ k \in R\; \vert \; k\; \text{ist kgV von}\; a \; \text{und}\; b \}[/mm]
>  
> Assoziierte Elemente:
>  
> Seien [mm]a, b \in R[/mm].
> Dann heißen [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] assoziiert, wenn eine Einheit [mm]u \in R^{\times}[/mm]
> existiert mit [mm]a = u \cdot b[/mm].
>  
>
> Irreduzible Elemente:
>  
> Sei [mm]p \in R \setminus \left ( R^{\times} \cup \{ 0_{R} \} \right )[/mm].
>  
> Dann heißt [mm]p[/mm] irreduzibel, falls aus [mm]p = a \cdot b[/mm] folgt,
> dass [mm]a \in R^{\times}[/mm] oder [mm]b \in R^{\times}[/mm].
>  
>
> Primelemente:
>  
> Sei [mm]p \in R \setminus \left ( R^{\times} \cup \{ 0_{R} \} \right )[/mm].
>  
> Dann heißt [mm]p[/mm] prim, falls aus [mm]p \; \vert \; a \cdot b[/mm]
> folgt, dass [mm]p \; \vert \; a[/mm] oder [mm]p \; \vert \; b[/mm].
>  

Da Integritätsringe nullteilerfrei sind, ist jedes Primelement irreduzibel.

>
>
>
> Hauptidealring
>  _____________
>  
> Einheiten:
>  
>
> Nullteiler:
>  
>
> Teiler:
>  
> [mm]a \vert b[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](b) \subseteq (a)[/mm]
>  
> ggT:
>  
> [mm]g \in ggT(a,b)[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm]
>  
> (1) [mm](a,b) \subseteq (g)[/mm]
>  (2) Für alle [mm]h \in R[/mm] mit [mm](a,b) \subseteq (h)[/mm]
> gilt [mm](g) \subseteq (h)[/mm]
>  
> Aber (1) und (2) sind das gleiche wie [mm](a,b) = (g)[/mm], oder?

Ja

>  
> kgV:
>  
> [mm]k \in kgV(a,b)[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm]
>  
> (1) [mm](k) \subseteq (a) \cap (b)[/mm]
>  (2) Für alle [mm]l \in R[/mm] mit
> [mm](l) \subseteq (a) \cap (b)[/mm] gilt [mm](l) \subseteq (k)[/mm]
>  
> Kann man (1) und (2) kompakter zusammenfassen? Also zu
> einer einzigen Bedingung?

Nein

>  
> Assoziierte Elemente:
>  
> [mm]a \sim b[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](a) = (b)[/mm]
>  
>
> Irreduzible Elemente:
>  
> [mm]p[/mm] irreduzibel [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm](p)[/mm] maximales Hauptideal
>  
>
> Primelemente:
>  
> [mm]p[/mm] ist prim [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]P[/mm] ist Primideal

Da Hauptidealringe faktorielle Ringe sind, gilt $p$ irreduzible [mm] $\gdw$ [/mm] $p$ ist Primelement

>  
>
>
>
> Euklidischer Ring
>  _____________
>  
> Einheiten:
>  
>
> Nullteiler:
>  
>
> Teiler:
>  
> [mm]a \vert b[/mm] [mm]\delta(a) \le \delta(b)[/mm] (Dabei ist [mm]\delta[/mm] die
> Bewertungsfunktion des euklidischen Rings)
>  
> ggT:
>  
> [mm]g \in ggT(a,b)[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]\delta(g)[/mm] ist minimal
>  
> kgV:
>  
>
> Assoziierte Elemente:
>  
>
> [mm]a \sim b[/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]\delta(a) = \delta(b)[/mm]
>  
>
> Irreduzible Elemente:
>  
>
>
> Primelemente:
>  
>
>
>
>
> Ich habe jetzt mal nur den Integritätsring, Hauptidealring
> und Euklidischen Ring aufgeschrieben mit den jeweiligen
> Begriffen. Ich habe einiges schon, aber ich kann zumindest
> in euklidischen Ringen und Hauptidealringen die Begriffe
> "Einheit" und "Nullteiler" charakterisieren. Gibt es da
> überhaupt eine Charakterisierung?
>  
> Würde mich auf eine Antwort freuen.
>  
> Lg, Emma
>  
>  

Gruß
meili

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