Einheiten bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Sa 13.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
| Aufgabe | | Bestimme alle Einheiten in [mm]\IZ [\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}][/mm] |
Ich weiß, dass alle Einheiten invertierbar sind, d.h. wenn u eine Einheit ist, dann existiert ein v mit uv=1. Und ich weiß, dass Einheiten die Norm 1 haben.
[mm]\IZ [\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}]=\{a+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}b | a,b \in \IZ\}[/mm]
Ich sehe nur die triviale Einheiten [mm]\pm 1[/mm].
Als Norm nehme ich:
[mm]N(z):=(a+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}b)(a+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}b)[/mm]
Gibt es noch eine andere Möglichkeit die Einheiten zu bestimmen? Stimmt die Norm überhaupt? Wie komme ich auf die anderen Einheiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Sa 13.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Bestimme alle Einheiten in [mm]\IZ [\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}][/mm]
>
> Ich weiß, dass alle Einheiten invertierbar sind, d.h. wenn
> u eine Einheit ist, dann existiert ein v mit uv=1. Und ich
> weiß, dass Einheiten die Norm 1 haben.
>
>
> [mm]\IZ [\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}]=\{a+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}b | a,b \in \IZ\}[/mm]
>
> Ich sehe nur die triviale Einheiten [mm]\pm 1[/mm].
> Als Norm nehme ich:
>
> [mm]N(z):=(a+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}b)(a+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}b)[/mm]
Ausmultipliziert: [mm] $a^2 [/mm] - a b + [mm] b^2$.
[/mm]
> Gibt es noch eine andere Möglichkeit die Einheiten zu
> bestimmen? Stimmt die Norm überhaupt? Wie komme ich auf
> die anderen Einheiten?
Nun, du musst dir die Norm-Gleichung genauer anschauen. Wieviele $(a, b) [mm] \in \IZ^2$ [/mm] gibt es mit [mm] $a^2 [/mm] - a b + [mm] b^2 [/mm] = 1$?
Da das ganze symmetrisch ist, gibt es also schonmal mindestens vier Einheiten: neben $(1, 0)$ und $(-1, 0)$ (die [mm] $\pm [/mm] 1$ entsprechen) auch $(0, 1)$ und $(0, -1)$.
Gibt es noch weitere?
Schau dir doch mal an, was passiert, wenn $|a| [mm] \ge [/mm] 2$ ist oder $|b| [mm] \ge [/mm] 2$. Kann [mm] $a^2 [/mm] - a b + [mm] b^2$ [/mm] dann 1 werden?
Welche Moeglichkeiten bleiben danach noch?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 13.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Danke fürs Feedback. Ich kann ja die Gleichung umstellen [mm] :$2a=b\pm\sqrt{-3b^2+4}$
[/mm]
Dabei bekomme ich Probleme für [mm] $|b|\geq [/mm] 2$. Aus Gründen der Symmetrie gilt das auch für a. Somit sind die Einheiten nur die trivialen?!
Die Norm habe ich von jemanden als Tipp bekommen. Gibt es noch einen anderen Weg?
Ich habe als erste Norm
$ [mm] N(z):=(a+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}b)(a\green{-}\frac{-1\green{+}\sqrt{-3}}{2}b) [/mm] $
gehabt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke fürs Feedback. Ich kann ja die Gleichung umstellen
> :[mm]2a=b\pm\sqrt{-3b^2+4}[/mm]
> Dabei bekomme ich Probleme für [mm]|b|\geq 2[/mm]. Aus Gründen
> der Symmetrie gilt das auch für a. Somit sind die
> Einheiten nur die trivialen?!
Nein, es gibt sehr wohl nicht-triviale Einheiten! Zwei davon hab ich dir ja schon genannt. Und es gibt auch noch zwei weitere.
> Die Norm habe ich von jemanden als Tipp bekommen. Gibt es
> noch einen anderen Weg?
Es gibt immer viele Wege  Mit der Norm geht's aber am besten.
Eine andere Moeglichkeit ist $(a + [mm] \frac{-1+\sqrt{-3}}{2} [/mm] b) (c + [mm] \frac{-1+\sqrt{-3}}{2} [/mm] d) = 1 + 0 [mm] \cdot \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ [/mm] zu schreiben und zu schauen, wann es $c, d [mm] \in \IZ$ [/mm] gibt zu gegebenen $a, b$. Das ist allerdings recht muehsam.
Wenn man sich das etwas genauer anschaut, sieht man, dass man fuer $(a, b) [mm] \neq [/mm] (0, 0)$ immer $(c, d)$ eindeutig aus [mm] $\IQ^2$ [/mm] waehlen kann. Wenn du diese bestimmst, siehst du (nach ein kein wenig Arbeit), dass diese genau dann in [mm] $\IZ^2$ [/mm] sind, wenn [mm] $a^2 [/mm] - a b + [mm] b^2 [/mm] = 1$ ist.
Und das ist ja gerade die Norm.
> Ich habe als erste Norm
>
> [mm]N(z):=(a+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}b)(a\green{-}\frac{-1\green{+}\sqrt{-3}}{2}b)[/mm]
> gehabt.
Das ist eine schlechte Idee, weil das nicht immer eine ganze Zahl ist.
Hilfreich ist meistens, sich $N(z) := z [mm] \overline{z} [/mm] = [mm] |z|^2$ [/mm] anzuschauen. Das ist die Norm, die dir genannt wurde, und die [mm] $a^2 [/mm] - a b + [mm] b^2$ [/mm] liefert.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 So 14.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Dann müssten
[mm]1,-1, \frac{-1+\sqrt{-3}}{2},-\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},\frac{1+\sqrt{-3}}{2},-\frac{1+\sqrt{-3}}{2} [/mm]
alle Einheiten sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Dann müssten
> [mm]1,-1, \frac{-1+\sqrt{-3}}{2},-\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},\frac{1+\sqrt{-3}}{2},-\frac{1+\sqrt{-3}}{2}[/mm]
>
> alle Einheiten sein.
Genau. Der Ring der Eisensteinschen Zahlen hat genau sechs Einheitswurzeln :)
LG Felix
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