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| Aufgabe | | Sei $R$ ein nullteilerfreier Ring. Zeigen Sie, dass [mm] $R[X]^\times [/mm] = [mm] R^\times$. [/mm] |
Ich komme mit der Grundidee dieser Aufgabe nicht ganz klar. Nach unserer Definition sind die Elemente des Polynomrings über $R$ die Polynome über $R$, d.h. Folgen [mm] $(a_i)_{i\in\mathbb{N}_0}$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] R [mm] \quad \forall [/mm] i$.
Da ja logischerweise ein Element aus $R$ nicht gleich einer Folge sein kann, haben wir eine implizite Umwandlung von $r [mm] \in [/mm] R$ nach $(r, 0, 0, [mm] \ldots) \in [/mm] R[X]$ festgelegt. Damit ist die Richtung [mm] $R^\times \subset R[X]^\times$ [/mm] trivial.
Kopfzerbrechen bereitet mir hier [mm] $R[X]^\times \subset R^\times$. [/mm] Hier haben wir keine festgelegte Umwandlung.
Da $X$ als völlig unbekannt zu betrachten ist, steht also weder fest, dass [mm] $X\in [/mm] R$ noch dass [mm] $X\not\in [/mm] R$, und ich kann mit $X$ nicht groß weiter rechnen. Scheiden damit nicht sofort alle Polynome P mit [mm] $\mathrm{grad}(P) \in \mathbb{N}$ [/mm] sofort aus, d.h. nur Konstanten sind möglich? bzw. eigentlich scheiden diese ja nichtmal aus, sondern führen zu undefinierten Ergebnissen?
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moin,
Die eine Identifikation, die du hast, reicht vollkommen aus.
Wenn du nun bei der zweiten Richtung
$R[x]^* [mm] \subseteq [/mm] R^*$ zeigen sollst so reicht es zu sagen, dass $X$ (und auch alle anderen Polynome vom Grad [mm] $\geq [/mm] 1$) nicht in $R$ liegt und damit auch nicht in $R^*$. Du musst also zeigen: Alle Polynome vom Grad [mm] $\geq [/mm] 1$ sind in $R[x]$ nicht invertierbar.
lg
Schadow
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Ist denn $X$ wirklich nur das Polynom [mm] $(0,1,0,0,0,\ldots)$ [/mm] oder muss ich das allgemein betrachten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Mo 03.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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