Einheitengruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie die einheitengrp. R* des Ringes R=Mat(2x2, [mm] \IF_2).
[/mm]
Zeigen sie, dass R* isomorph zur sym. Grp. [mm] S_3 [/mm] ist. |
Hallo,
bevor ich jetzt gleich dem Fussball verfalle... ;)
Was steckt denn hinter Mat(2x2, [mm] \IF_2)?
[/mm]
Sind das alle 2x2-Matrizen, die mit den Werten 0 und 1 gefüllt sind?
Also:
[mm] M_1 =\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] M_2 =\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] M_3 =\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
usw. und R= { [mm] M_1 [/mm] , [mm] M_2 [/mm] ,...} ?
Wenn nicht, würde ich mich über Hinweise oder Erklärungen sehr freuen.
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> Bestimmen sie die einheitengrp. R* des Ringes R=Mat(2x2,
> [mm]\IF_2).[/mm]
> Zeigen sie, dass R* isomorph zur sym. Grp. [mm]S_3[/mm] ist.
> Hallo,
>
> bevor ich jetzt gleich dem Fussball verfalle... ;)
>
> Was steckt denn hinter Mat(2x2, [mm]\IF_2)?[/mm]
>
> Sind das alle 2x2-Matrizen, die mit den Werten 0 und 1
> gefüllt sind?
Genau.
Du musst aber darauf achten, dass modulo 2 gerechnet wird.
Also als Beispiel ist
[mm] $\pmat{1 & 1 \\ 1 & 1}^2 [/mm] = [mm] \pmat{2 & 2 \\ 2 & 2} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0 \\ 0 & 0}$
[/mm]
Damit ist diese Matrix sicher keine Einheit, da sie nilpotent ist.
Für die Isomorphie würde ich Elementordnungen empfehlen.
Die [mm] $S_3$ [/mm] hat ja nur 6 Elemente (somit erste Frage: hat die Einheitengruppe auch 6 Elemente?) und wird von einem beliebigen Element der Ordnung 2 und einem der Ordnung 3 erzeugt; also such dir eine Matrix der Ordnung 2, eine der Ordnung 3 und versuche damit einen Isomorphismus zu basteln.
Alternativ kannst du natürlich auch trickreich dieser Liste hier glauben ![[]](/images/popup.gif) Link, damit reicht es zwei Matrizen zu finden, die nicht kommutieren, denn die einzige nicht kommutative Gruppe mit 6 Elementen ist die [mm] $S_3$ [/mm] (bis auf Isomorphie natürlich).
lg
Schadow
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Hi,
1. wie bestimme ich denn hier die Ordnung eines Elements? Ist das [mm] M^n [/mm] =1 ?
2. wenn ich Isomorphie zeigen soll, fällt mir das noch sehr schwer, gibt es dabei eigentlich eine Strategie? Oder hat jemand ein gutes Bsp. Oder einen link zu einem Bsp.? Das mit dem isomorphismus "basteln" will noch nicht so klappen.
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> Hi,
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> 1. wie bestimme ich denn hier die Ordnung eines Elements?
> Ist das [mm]M^n[/mm] =1 ?
Ja, das kleinste $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit dieser Eigenschaft.
Oder falls kein solches existiert, dann ist [mm] $\ord(M) [/mm] := [mm] \infty$, [/mm] aber der Fall tritt bei endlichen Gruppen nie auf.
> 2. wenn ich Isomorphie zeigen soll, fällt mir das noch
> sehr schwer, gibt es dabei eigentlich eine Strategie?
Wie gesagt ist es immer gut die Elementordnungen zu betrachten und Elemente gleicher Ordnung aufeinander abzubilden.
Davon abgesehen schreibt man selten einen Isomorphismus explizit hin sondern man kennt eine ganze Reihe von isomorphen Gruppen.
So kann man wie bereits erwähnt etwa zeigen, dass die [mm] $S_3$ [/mm] die einzige nicht kommutative Gruppe mit 6 Elementen (bis auf Isomorphie) ist, also ist jede nicht abelsche Gruppe mit 6 Elementen sofort isomorph zur [mm] $S_3$ [/mm] und in deinem Fall würde es also reichen zwei Elemente deiner Gruppe zu finden, die nicht kommutieren.
Das ist eigentlich das übliche Vorgehen, um Isomorphie zu zeigen (mit einer ganzen Reihe von Sätzen, die man später bekommt, wird es immer leichter), Isomorphismen explizit anzugeben und nachzuweisen ist teils sehr unschön.
> Oder
> hat jemand ein gutes Bsp. Oder einen link zu einem Bsp.?
> Das mit dem isomorphismus "basteln" will noch nicht so
> klappen.
Das Verfahren kann man ganz gut bei Vektorräumen trainieren (hattest du schon Vektorraumisomorphismen?), denn hier bildet man einfach eine Basis auf eine andere Basis ab und hat dann einen Isomorphismus.
Bei Gruppen ist es von Fall zu Fall unterschiedlich, da Gruppen sehr unterschiedliche Strukturen haben können.
Deshalb sollte man als erstes die Strukturen der zu betrachtenden Gruppen genau beleuchten.
Als Beispiel nehmen wir mal die [mm] $A_3 [/mm] := [mm] \{ \pi \in S_3 \mid sign(\pi) = 1 \}$, [/mm] was eine Untergruppe der [mm] $S_3$ [/mm] mit genau 3 Elementen ist.
Da jede Elementordnung ein Teiler der Gruppenordnung (also der 3 in diesem Fall) ist und da 3 freundlicherweise eine Primzahl ist, gibt es ein Element der Ordnung 3 in der [mm] $A_3$, [/mm] wir nennen es mal $a$, und die [mm] $A_3$ [/mm] hat damit die Form [mm] $A_3 [/mm] = [mm] \{ e,a,a^2\}$, [/mm] denn da $a$ die Ordnung 3 hat sind diese 3 Elemente verschieden und somit die gesamte [mm] $A_3$.
[/mm]
Eine andere Gruppe, die diese Gestalt hat, ist zum Beispiel [mm] $(\IZ_3,+)$.
[/mm]
Denn [mm] $\IZ_3$ [/mm] kann man schreiben als [mm] $\{ 0,1,1+1\}$.
[/mm]
Möchte man jetzt einen Isomorphismus haben so empfiehlt es sich, $a$ auf die $1$ abzubilden.
Dann geht $e [mm] \mapsto [/mm] 0$, $a [mm] \mapsto [/mm] 1$, [mm] $a^2 \mapsto [/mm] 1+1$.
Bijektiv ist diese Abbildung (nennen wir sie mal [mm] $\phi$), [/mm] es ist also noch die Homomorphismuseigenschaft nachzurechnen:
Seien dafür $x,y [mm] \in A_3$. [/mm] Dann gibt es $i,j [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $x=a^i$, $y=a^j$ [/mm] und es gilt: [mm] $\phi(x*y) [/mm] = [mm] \phi(a^i*a^j) [/mm] = [mm] \phi(a^{i+j}) [/mm] = 1*(i+j) = 1*i + 1*j = [mm] \phi(x) [/mm] + [mm] \phi(y)$.
[/mm]
Damit ist [mm] $\phi$ [/mm] wirklich ein bijektiver Gruppenhomomorphismus, also ein Isomorphismus und [mm] $\IZ_3$ [/mm] mit der Addition ist isomorph zur [mm] $A_3$.
[/mm]
Wie du siehst ist schon ein so kleines Beispiel sehr viel Schreibarbeit, weswegen man größere Gruppen (ich sag mal oberhalb von 10 Elementen) nicht auf diese Art angeht sondern wie oben angedeutet eine ganze Reihe passender Sätze drüberhaut.
Die [mm] $S_3$ [/mm] wird erzeugt von der Transposition $(1 2)$ und dem Zykel $(1 2 3)$ (sagt dir Zykelschreibweise schon was?).
Du solltest also zwei Elemente in deiner Gruppe finden, eines der Ordnung 2, eines der Ordnung 3, die zusammen alle Elemente deiner Gruppe erzeugen.
Das klingt jetzt zwar nach viel Arbeit, aber hast du ein Element der Ordnung $3$, nennen wir es $a$, und ein Element der Ordnung 2, nennen wir das mal $b$, so hast du bereits die Elemente [mm] $a,a^2,b,1$.
[/mm]
Da die beiden Elemente weiterhin nicht kommutieren sollten (da (1 2) und (1 2 3) in der [mm] $S_3$ [/mm] nicht kommutieren) erhälst du die letzten beiden Elemente mit $a*b$ und $b*a$.
Alternativ kannst du wie gesagt auch die Tatsache benutzen, dass die [mm] $S_3$ [/mm] die einzige nicht kommutative Gruppe mit $6$ Elementen ist; natürlich nur, falls ihr die schon bewiesen habt.
lg
Schadow
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