Einheitskugel + Kompaktheit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:30 Di 15.06.2010 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Im unendlichdimensionalen Hilbertraum ist die (abgeschlossene) Einheitskugel nicht kompakt. |
Ich habe versucht das so zu machen: annehmen, dass die Einheitskugel im unendlichdimensionalen Hilbertraum kompakt ist und dann mit der Definition (Fuer jede Folge ex. eine Teilfolge ... ) einen Widerspruch erhalten. Na ja, geht irgendwie nicht.
Ich kann mich nicht vorstellen, wie soll ich das beruecksichtigen, dass hier um unendlichdimensionalen Hilbertraum geht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie: Im unendlichdimensionalen Hilbertraum ist die
> (abgeschlossene) Einheitskugel nicht kompakt.
> Ich habe versucht das so zu machen: annehmen, dass die
> Einheitskugel im unendlichdimensionalen Hilbertraum kompakt
> ist und dann mit der Definition (Fuer jede Folge ex. eine
> Teilfolge ... ) einen Widerspruch erhalten. Na ja, geht
> irgendwie nicht.
Doch. Du kannst in einem unendlichdimensionalen normierten Raum zeigen: es gibt eine Folge [mm] $(v_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Vektoren mit [mm] $\| v_n \| [/mm] = 1$ und [mm] $\| v_n [/mm] - [mm] v_m \| \ge [/mm] 1$ fuer $n [mm] \neq [/mm] m$.
In einem Hilbertraum hast du ein Skalarprodukt, also reicht es aus, ein (abzaehlbar) unendliches Orthonormalsystem zu finden. Das solltest du jetzt aber alleine hinbekommen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Mi 16.06.2010 | | Autor: | waruna |
Ok, ich weiss also, dass jede unendlichdim. Hilbertraum eine ONB hat.
Meine ONB besteht aus unendlich viele Vektoren, die folgende Eigenschaften haben:
[mm] ||u_{n}|| [/mm] = 1
[mm] [/mm] = [mm] \delta_{nm}
[/mm]
Ich bekomme also (m [mm] \not= [/mm] n):
[mm] ||u_{n} [/mm] - [mm] u_{m}||^{2} [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] [/mm] - [mm] [/mm] - [mm] [/mm] + [mm] [/mm] = 2
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] ||u_{n} [/mm] - [mm] u_{m}|| [/mm] > 1, fuer alle m, n, so dass m [mm] \not= [/mm] n
Offensichtlich ex. keine Teilfolge der Folge, die aus den Vektoren der ONB besteht, die konvergiert (Cauchybedingung).
Einheitskugel im unendlichdim. Hilbertraum ist also nicht kompakt.
Geht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mi 16.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok, ich weiss also, dass jede unendlichdim. Hilbertraum
> eine ONB hat.
> Meine ONB besteht aus unendlich viele Vektoren, die
> folgende Eigenschaften haben:
> [mm]||u_{n}||[/mm] = 1
> [mm][/mm] = [mm]\delta_{nm}[/mm]
> Ich bekomme also (m [mm]\not=[/mm] n):
> [mm]||u_{n}[/mm] - [mm]u_{m}||^{2}[/mm] = [mm][/mm] =
> [mm][/mm] - [mm][/mm] - [mm][/mm] +
> [mm][/mm] = 2
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]||u_{n}[/mm] - [mm]u_{m}||[/mm] > 1, fuer alle m, n, so dass m [mm]\not=[/mm] n
> Offensichtlich ex. keine Teilfolge der Folge, die aus den
> Vektoren der ONB besteht, die konvergiert
> (Cauchybedingung).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Einheitskugel im unendlichdim. Hilbertraum ist also nicht
> kompakt.
> Geht das so?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich weiss also, dass jede unendlichdim. Hilbertraum
> eine ONB hat.
> Meine ONB besteht aus unendlich viele Vektoren, die
> folgende Eigenschaften haben:
> [mm]||u_{n}||[/mm] = 1
> [mm][/mm] = [mm]\delta_{nm}[/mm]
> Ich bekomme also (m [mm]\not=[/mm] n):
> [mm]||u_{n}[/mm] - [mm]u_{m}||^{2}[/mm] = [mm][/mm] =
> [mm][/mm] - [mm][/mm] - [mm][/mm] +
> [mm][/mm] = 2
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]||u_{n}[/mm] - [mm]u_{m}||[/mm] > 1, fuer alle m, n, so dass m [mm]\not=[/mm] n
> Offensichtlich ex. keine Teilfolge der Folge, die aus den
> Vektoren der ONB besteht, die konvergiert
> (Cauchybedingung).
> Einheitskugel im unendlichdim. Hilbertraum ist also nicht
> kompakt.
> Geht das so?
Ja
beachte: die ONB kann überabzählbar sein, aber Du kannst eine Folge [mm] (u_n) [/mm] aus dieser ONB wählen mit den obigen Eigenschaften
Edit: gerade sehe ich, dass Felix diese Frage 2 Minuten vor mir beantwortet hat
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Im unendlichdimensionalen Hilbertraum ist die
> (abgeschlossene) Einheitskugel nicht kompakt.
> Ich habe versucht das so zu machen: annehmen, dass die
> Einheitskugel im unendlichdimensionalen Hilbertraum kompakt
> ist und dann mit der Definition (Fuer jede Folge ex. eine
> Teilfolge ... ) einen Widerspruch erhalten. Na ja, geht
> irgendwie nicht.
> Ich kann mich nicht vorstellen, wie soll ich das
> beruecksichtigen, dass hier um unendlichdimensionalen
> Hilbertraum geht...
Ergänzend zu Felix:
Diesen Satz hattet Ihr sicher:
Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis.
Nimm Dir eine solche her. Diese kann überabzählbar sein (falls der Hilbertraum unendlich dim. ist und nicht separabel). Das macht aber nichts. Aus dieser ONB wählst Du eine abzählbare Teilmenge (Folge) [mm] (u_n) [/mm] aus mit
[mm] $u_n \ne u_m$ [/mm] für n [mm] \ne [/mm] m
FRED
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:19 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Guten Morgen Fred!
> Ergänzend zu Felix:
>
> Diesen Satz hattet Ihr sicher:
>
> Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis.
>
> Nimm Dir eine solche her. Diese kann überabzählbar sein
> (falls der Hilbertraum unendlich dim. ist und nicht
> separabel). Das macht aber nichts. Aus dieser ONB wählst
> Du eine abzählbare Teilmenge (Folge) [mm](u_n)[/mm] aus mit
>
> [mm]u_n \ne u_m[/mm] für n [mm]\ne[/mm] m
Solch "schweren Geschuetze" braucht man gar nicht -- man nimmt einfach ein abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von Vektoren, und wendet Gram-Schmidt darauf an. Dann braucht man nichteinmal das Auswahlaxiom 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:28 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen Fred!
>
> > Ergänzend zu Felix:
> >
> > Diesen Satz hattet Ihr sicher:
> >
> > Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis.
> >
> > Nimm Dir eine solche her. Diese kann überabzählbar sein
> > (falls der Hilbertraum unendlich dim. ist und nicht
> > separabel). Das macht aber nichts. Aus dieser ONB wählst
> > Du eine abzählbare Teilmenge (Folge) [mm](u_n)[/mm] aus mit
> >
> > [mm]u_n \ne u_m[/mm] für n [mm]\ne[/mm] m
>
> Solch "schweren Geschuetze" braucht man gar nicht -- man
> nimmt einfach ein abzaehlbar unendliches linear
> unabhaengiges System von Vektoren, und wendet Gram-Schmidt
> darauf an. Dann braucht man nichteinmal das Auswahlaxiom
>
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
Du hast (teilweise) recht. Aber wenn man den von mir zitierten Satz schon hat, kann man ihn auch verwenden.
Zum Auswahlaxiom: bei "Deiner Methode" kommst Du da auch nicht drumrum.
" abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von Vektoren,"
Grüße FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:38 Di 15.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Fred,
> Du hast (teilweise) recht. Aber wenn man den von mir
> zitierten Satz schon hat, kann man ihn auch verwenden.
ja, da hast du voellig Recht :)
> Zum Auswahlaxiom: bei "Deiner Methode" kommst Du da auch
> nicht drumrum.
>
> " abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von
> Vektoren,"
Nun, da der Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, muss es ein solches System geben: andernfalls wuerde es ein maximales endliches linear unabhaengiges System geben, womit (ganz ohne Auswahlaxiom) der Vektorraum endlichdimensional waer.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:40 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Du hast (teilweise) recht. Aber wenn man den von mir
> > zitierten Satz schon hat, kann man ihn auch verwenden.
>
> ja, da hast du voellig Recht :)
>
> > Zum Auswahlaxiom: bei "Deiner Methode" kommst Du da auch
> > nicht drumrum.
> >
> > " abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von
> > Vektoren,"
>
> Nun, da der Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, muss es
> ein solches System geben: andernfalls wuerde es ein
> maximales endliches linear unabhaengiges System geben,
> womit (ganz ohne Auswahlaxiom) der Vektorraum
> endlichdimensional waer.
O.K. , ich ziehe meinen Einwand zurück. Noch etwas verschlafen dachte ich an:
"jeder Vektorraum besitzt eine Basis"
FRED
>
> LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Di 15.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Du hast (teilweise) recht. Aber wenn man den von mir
> > zitierten Satz schon hat, kann man ihn auch verwenden.
>
> ja, da hast du voellig Recht :)
>
> > Zum Auswahlaxiom: bei "Deiner Methode" kommst Du da auch
> > nicht drumrum.
> >
> > " abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von
> > Vektoren,"
>
> Nun, da der Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, muss es
> ein solches System geben: andernfalls wuerde es ein
> maximales endliches linear unabhaengiges System geben,
> womit (ganz ohne Auswahlaxiom) der Vektorraum
> endlichdimensional waer.
So ganz richtig bin ich damit nicht einverstanden.
Aber induktiv erhält man ein abzaehlbar unendliches linear unabhaengiges System von Vektoren:
Wähle in V ein [mm] u_1 \ne [/mm] 0. Da V nicht endlich erzeugt ist, gibt es ein [mm] u_2 [/mm] in V mit
[mm] $\{u_1,u_2 \}$ [/mm] ist linear unabhängig.
Wieder, weil V nicht endlich erzeugt ist, gibt es in V ein [mm] u_3 [/mm] mit
[mm] $\{u_1,u_2, u_3 \}$ [/mm] ist linear unabhängig.
Etc. ...............
FRED
>
> LG Felix
>
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