Einheitskugel und Zylinder < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Aus der Einheitskugel werden die zwei Zylinder [mm] x^{2}-x+y^{2} \le [/mm] 0 und [mm] x^{2}+x+y^{2} \le [/mm] 0 ausgebohrt. Berechnen sie das Volumen des Restkörpers in Zylinderkoordinaten |
Also ich würde das Integral von der Einheitskugel als "Rotationsintegral" um die x-Achse schreiben sprich:
[mm] \pi \integral_{-1}^{1}{(\wurzel{1-x^{2}})^{2} dx}
[/mm]
nun würde ich davon das Volumen der beiden Zylinder abziehen. Aber ich kann diese ja nicht um die y-achse rotieren lassen. Sonst würde ja so ein Art Rettungsring dabei rauskommen. Meine Frage wäre wie die Integrale für die Zylinder aussehen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Di 23.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Aus der Einheitskugel werden die zwei Zylinder
> [mm]x^{2}-x+y^{2} \le[/mm] 0 und [mm]x^{2}+x+y^{2} \le[/mm] 0 ausgebohrt.
> Berechnen sie das Volumen des Restkörpers in
> Zylinderkoordinaten
> Also ich würde das Integral von der Einheitskugel als
> "Rotationsintegral" um die x-Achse schreiben sprich:
>
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> [mm]\pi \integral_{-1}^{1}{(\wurzel{1-x^{2}})^{2} dx}[/mm]
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> nun würde ich davon das Volumen der beiden Zylinder
> abziehen. Aber ich kann diese ja nicht um die y-achse
> rotieren lassen. Sonst würde ja so ein Art Rettungsring
> dabei rauskommen. Meine Frage wäre wie die Integrale für
> die Zylinder aussehen
Um einen Zylinder um die y-Achse zu erhalten, kann man ein achsenparalelles Rechteck um die y-Achse rotieren lassen.
Schneiden sich die beiden Zylinder?
Gruß
meili
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Hallo EdwinMoses,
> Aus der Einheitskugel werden die zwei Zylinder
> [mm]x^{2}-x+y^{2} \le[/mm] 0 und [mm]x^{2}+x+y^{2} \le[/mm] 0 ausgebohrt.
> Berechnen sie das Volumen des Restkörpers in
> Zylinderkoordinaten
> Also ich würde das Integral von der Einheitskugel als
> "Rotationsintegral" um die x-Achse schreiben sprich:
>
>
>
> [mm]\pi \integral_{-1}^{1}{(\wurzel{1-x^{2}})^{2} dx}[/mm]
>
> nun würde ich davon das Volumen der beiden Zylinder
> abziehen. Aber ich kann diese ja nicht um die y-achse
> rotieren lassen. Sonst würde ja so ein Art Rettungsring
> dabei rauskommen. Meine Frage wäre wie die Integrale für
> die Zylinder aussehen
Dazu musst Du die Grenzen der beiden Zylinder
mit der Einheitskugel berechnen.
Dann gibt das ein Dreifach-Integral.
[mm]V=\integral_{x_{0}}^{x_{1} }{ \integral_{y_{0}\left(x\right)}^{y_{1}\left(x\right)}{\integral_{z_{0}\left(x,y\right)}^{z_{1}\left(x,y\right)}{ dz } \ dy} \ dx}[/mm]
Gruss
MathePower
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hmmmmmm also bin mir nicht ganz sicher wie das dann aussehen muss. Dann brauch ich mein Einheitskugelntegral gar nicht mehr und kann die Aufgabe gleich durch dieses 3-fache Integral lösen oder? würde das dann so aussehen?
[mm] \integral_{-1}^{1}{} \integral_{0}^{\wurzel{1-x^{2}}}{} \integral_{x^{2}-x+y^{2}}^{x^{2}+x-y^{2}}{1 dz dy dx}
[/mm]
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Hallo EdwinMoses,
> hmmmmmm also bin mir nicht ganz sicher wie das dann
> aussehen muss. Dann brauch ich mein Einheitskugelntegral
> gar nicht mehr und kann die Aufgabe gleich durch dieses
> 3-fache Integral lösen oder? würde das dann so aussehen?
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{} \integral_{0}^{\wurzel{1-x^{2}}}{} \integral_{x^{2}-x+y^{2}}^{x^{2}+x-y^{2}}{1 dz dy dx}[/mm]
>
Nein.
Der Rand des Zylinders [mm]x^{2}+x+y^{2} \le 0[/mm]
[mm]x^{2}+x+y^{2}=0[/mm]
lässt sich mit Hilfe quadratischer Ergänzung so schreiben:
[mm]\left(x+\bruch{1}{2}\right)^{2}+y^{2}= \bruch{1}{4}[/mm]
Hieraus ist ersichtlich, daß [mm]-1 \le x \le 0[/mm].
Durch Auflösen dieser Gleichung erhält man y:
[mm]y=\pm \wurzel{-x^{2}-x}[/mm]
Und schliesslich aus
[mm]x^{2}+x+y^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1 \Rightarrow z=\pm \wurzel{1+x}[/mm]
Damit ergibt sich das zu berechnende Integral zu:
[mm]\integral_{-1}^{0}{\integral_{-\wurzel{-x^{2}-x}}^{+\wurzel{-x^{2}-x}}{\integral_{-\wurzel{1+x}}^{+\wurzel{1+x}}{ \ dz} \ dy} \ dx}[/mm]
Analog geht das für den Zylinder [mm]x^{2}-x+y^{2} \le 0[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Di 23.11.2010 | | Autor: | EdwinMoses |
okay vielen danke :) jetzt hab ich es verstanden! Wir sind erst ganz neu in die Mehrfachintegrale eingestiegen deswegen wusste ich das nicht so genau
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