Einheitsmatrix - als einzigs sym. / ortho. / pos. definit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Sa 08.05.2004 | | Autor: | rossi |
Frisch angemeldet und gleich des erste Problem 
Die Einheitsmatrix ist die einzige Matrix, die symmetrisch, positiv definit und orthogonal zugleich ist - aber wie zeig ich es!
Habs mit Widerspruch versucht, aber so richtig komm ich nicht weiter....
Jemand nen schönen Vorschlag?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:41 So 09.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo rossi,
willkommen im MatheRaum !
> Die Einheitsmatrix ist die einzige Matrix, die symmetrisch,
> positiv definit und orthogonal zugleich ist - aber wie zeig
> ich es!
> Habs mit Widerspruch versucht, aber so richtig komm ich
> nicht weiter....
>
> Jemand nen schönen Vorschlag?!
Schau'n wir mal:
Sei $A$ symmetrisch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es existiert $T$, so dass [mm] $T^{-1}AT=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \lambda_n \end{pmatrix}$, [/mm] wobei [mm] $\lambda_i$ [/mm] die Eigenwerte sind.
(Das solltest du nochmal nachprüfen, ich bin mir da nicht sicher.)
Die inverse Matrix zu [mm] $T^{-1}AT$ [/mm] lautet [mm] $(T^{-1}AT)^{-1}=T^{-1}A^{-1}T=\begin{pmatrix} \bruch{1}{\lambda_1} & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \bruch{1}{\lambda_n} \end{pmatrix}$
[/mm]
Da $A$ orthogonal ist, gilt: [mm] $A^{-1}=A^T$, [/mm] wegen der Symmetrie [mm] $A^T=A$ [/mm] also [mm] $A^{-1}=A$; [/mm] damit ergibt sich folgende Gleichungskette:
[mm] $\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \lambda_n \end{pmatrix}=T^{-1}AT=T^{-1}\underbrace{A^{-1}}_{=A}T=(T^{-1}AT)^{-1}=\begin{pmatrix} \bruch{1}{\lambda_1} & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \bruch{1}{\lambda_n} \end{pmatrix}$
[/mm]
und durch Vergleich der Einträge:
[mm] $\lambda_1=\bruch{1}{\lambda_1}$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $\lambda_n=\bruch{1}{\lambda_n}$
[/mm]
also
[mm] $\lambda_1^2=1$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $\lambda_n^2=1$
[/mm]
Zum Glück ist $A$ positiv definit, und deswegen die Eigenwerte [mm] $\lambda_i$ [/mm] positiv [mm] ($\lambda_i>0$); [/mm] es folgt: [mm] $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=1$.
[/mm]
Die erste Gleichung ganz oben wird somit zu:
[mm] $T^{-1}AT=\begin{pmatrix} 1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & 1 \end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $TT^{-1}AT=TE_n$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $E_nAT=T$
[mm] $\Rightarrow$ $ATT^{-1}=TT^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $A=E_n$ $\Box$
[/mm]
So, ich hoffe, da ist kein Fehler drin, im Laufe des Tages wird das hier aber bestimmt noch mal korrekturgelesen werden.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 09.05.2004 | | Autor: | rossi |
Hi Marc....
danke für die Antwort - aber ich denk so leicht geht des net!
Weil
Es existiert , [mm] T [/mm] so dass [mm] T^{-1}AT=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \lambda_n \end{pmatrix} [/mm]
muss lauten [mm] T^{T}AT=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \lambda_n \end{pmatrix} [/mm]
und damit kommst du dann unten nicht auf die Einheitsmatrix!!!
Gruß
Rossi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 09.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Rossi,
> danke für die Antwort - aber ich denk so leicht geht des
> net!
Doch.
> Weil
>
> Es existiert , [mm]T[/mm] so dass [mm]T^{-1}AT=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \lambda_n \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> muss lauten [mm]T^{T}AT=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0& & \lambda_n \end{pmatrix}[/mm]
Da aber [mm]T[/mm] orthogonal gewählt werden kann, gilt: [mm]T^T=T^{-1}[/mm] und alles geht so, wie beschrieben.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 So 09.05.2004 | | Autor: | rossi |
Mmm ok - was ich wie man so frei wählen kann, des hab ich noch net so drauf - DANKE!!!
Rossi
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