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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mi 05.11.2008 | | Autor: | tugba |
| Aufgabe | Sei V:= [mm] e^{\bruch{2i\pi}{7}} \in\IC, [/mm] sowie [mm] a:=V+V^{2}+V^{4} [/mm] und [mm] b:=V+V^{6}
[/mm]
1.Bestimme das Minimalpolynom [mm] f:=min_{\IQ}(a)\in \IQ[x]
[/mm]
von a über [mm] \IQ [/mm] und zeige, dass [mm] \IQ(a)=\IQ(\wurzel{-7}).
[/mm]
2.Bestimme das Minimalpolynom [mm] f:=min_{\IQ}(b)\in \IQ[x]
[/mm]
von b über [mm] \IQ [/mm] und zeige, dass [mm] \IQ(b)=\IQ(V)\cap\IR.
[/mm]
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Hallo,
Könnte jemand mir erklären wie die Aufgaben zu lösen sind, weil ich habe keine Ahnung wie ich sie lösen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mi 05.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei V:= [mm]e^{\bruch{2i\pi}{7}} \in\IC,[/mm] sowie [mm]a:=V+V^{2}+V^{4}[/mm]
> und [mm]b:=V+V^{6}[/mm]
>
> 1.Bestimme das Minimalpolynom [mm]f:=min_{\IQ}(a)\in \IQ[x][/mm]
>
> von a über [mm]\IQ[/mm] und zeige, dass [mm]\IQ(a)=\IQ(\wurzel{-7}).[/mm]
was hast du denn schon probiert? aus dem zweiten teil folgt schon, welchen grad das minimalpolynom von $a$ haben wird. rechne doch einfach mal ganz stupide [mm] $a^2$ [/mm] aus. kannst du den ausdruck den du erhälst vielleicht auch als [mm] $\mathbb{Q}$-linearkombination [/mm] aus $1$ und $a$ darstellen (überleg dir dazu zuerst, welche gleichungen $V$ erfüllt).
zeig mal, wie weit du mit diesem ansatz kommst.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mi 05.11.2008 | | Autor: | tugba |
mir ist schon bewusst, dass der Polynom den Grad 2 haben sollte, aber ich weiß immer noch nicht, wie zu dieser Polynom hinkommen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mi 05.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
hast du denn nun mal [mm] $a^2$ [/mm] berechnet?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 05.11.2008 | | Autor: | tugba |
hi,
[mm] a^{2}=(V+V^{2})^{2}+2(V+V^{2})V^{4}+V= V^{2}+2V^{3}+V^{4}+2(V^{5}+V^{6})+V [/mm] und weiter :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mi 05.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
was ist $1 + V + [mm] V^2 [/mm] + ... + [mm] V^6$? [/mm] das musst du dann (zweimal) anwenden, dann sollte wieder etwas bekanntes dastehen.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mi 05.11.2008 | | Autor: | tugba |
hi,
erstmal danke für deine Mühe, > hi
>
> was ist [mm]1 + V + V^2 + ... + V^6[/mm]?
ist es 7 und was heißt ich soll es zweimal anwenden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mi 05.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> > was ist [mm]1 + V + V^2 + ... + V^6[/mm]?
>
> ist es 7
wie kommst du darauf? welche besonderen eigenschaften hat $V$? denk mal etwas länger darüber nach.
stelle dein fragen besser auch als fragen, dann antwortet dir eher jemand. ich bin jetzt weg, aber dir antwortet bestimmt jemand anders.
grüße
andreas
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:34 Do 06.11.2008 | | Autor: | tugba |
hallo,
Ich habe jetzt die Aufgaben zumteil gelöst. Kann jemand nachgucken, ob es soweit richtig ist:
[mm] 1.a=V+V^{2}+V^{4}
[/mm]
[mm] a^{2}=V^{2}+2V^{3}+V^{4}+2V^{5}+2V^{6}+V
[/mm]
= [mm] (V+V^{2}+V^{3}+V^{4}+V^{5}+V^{6})+V^{3}+V^{5}+V^{6}
[/mm]
Da jetzt [mm] 1+V+V^{2}+V^{3}+V^{4}+V^{5}+V^{6}=0 [/mm] ist folgt:
= [mm] -1-1-V-V^{2}-V^{4}
[/mm]
[mm] =-2-(V+V^{2}+V^{4})= [/mm] -2-a
=> [mm] a^{2}+a+2=0
[/mm]
2. [mm] b=V+V^{6}
[/mm]
[mm] b^{3} [/mm] = [mm] V^{3}+3V+3V^{6}+V^{4}
[/mm]
[mm] (V+V^{3}+V^{4}+V^{6})+2(V+V^{6})
[/mm]
= [mm] (-1-V^{2}-V^{5})+b
[/mm]
=> [mm] b^{3}-2= -1-(V^{2}-V^{5}-2)+2b
[/mm]
=> [mm] 0=b^{3}+b^{2}-2b-1
[/mm]
und jetzt brauche ich Hilfe bei der zweiten Teil der Aufgaben und ich soll noch alle Nullstellen der beiden Polynome im Körper [mm] \IQ(V) [/mm] bestimmen. Als Hinweis habe ich [mm] (1,V,....,V^{5}) [/mm] ist [mm] eine\IQ [/mm] Basis von [mm] \IQ(V).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 08.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Tugba,
Ja, ich höre auch die Vorlesung bei Herrn Wewers:) Warum hast du denn die Fälligkeit so eingestellt? Wir haben doch noch bis Montag Morgen Zeit.
Doch jetzt zur Aufgabe:
Die Minimalpolynome sind meiner Meinung nach richtig. Allerdings ist mir noch nicht klar, wie man zeigt, dass [mm]\IQ (a)=\IQ (\wurzel{-7})[/mm] bzw [mm]\IQ(b)=\IQ(V) \cap \IR [/mm] gilt. Hast du da schon eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 So 09.11.2008 | | Autor: | tugba |
Hallo,
Ich habe die Fälligkeit nicht so eingestellt, es wurde automatisch gemacht. Nur ich habe es dann nicht mehr gewächselt.
> Doch jetzt zur Aufgabe:
> Die Minimalpolynome sind meiner Meinung nach richtig.
> Allerdings ist mir noch nicht klar, wie man zeigt, dass [mm]\IQ (a)=\IQ (\wurzel{-7})[/mm]
> bzw [mm]\IQ(b)=\IQ(V) \cap \IR[/mm] gilt. Hast du da schon eine
> Idee?
Na ja so einigermaßen, ich habe bei der ersten Augabe die Nullstelle ausgerechnet und mit der pq-Formel bekommt man dann etwas mit [mm] \wurzel{-7}. [/mm] Den Rest habe ich nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Di 11.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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