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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $ A \in \M_{m \times n} (\IR) $ und $b,c \in \IR^n $.
i) Beweise, dass $A(b+c)=Ab+Ac$.
Sei außerdem $A^t$ die Transponierte von $A$ und eine $n \times n$-Matrix, sodass $(A)^_{ij}=A_{ji}$ und $B \in \M_{m \times n}(\IR)$.
ii) Beweise, dass $(A^t)^t=A$ und dass $(A+B)^t=A^t+B^t$.
iii) Leite her, dass $(A+B)C=AC+BC$.
iv) Sei $AI_n=A$ mit $I_n$ die Einheitsmatrix mit $n \times n$. Leite her, dass $I_mA=A$ |
Hallo :)
Ich habe einige Fragen zur Schreibweise dieser Beweise. Bei manchen Dingen bin ich mir nämlich nicht sicher, ob es so, wie ich es aufschreibe, gültig ist.
Teilaufgabe i)
Sei Matrix $A = \pmat{a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ \vdots \quad \ddots \quad \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn}} $, Vektor $b = \vektor{b_1 \\ \vdots \\ b_n}$ und Vektor $c = \vektor{c_1 \\ \vdots \\ c_n}$. Dann:
$A(b+c)=\pmat{a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ \vdots \quad \ddots \quad \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn}} * \vektor{b_1+c_1 \\ \vdots \\ b_n+c_n} = \pmat{a_{11}(b_1+c_1)+a_{12}(b_2+c_2)+\ldots+a_{1n}(b_n+c_n) \\ \vdots \\ a_{m1}(b_1+c_1)+a_{m2}(b_2+c_2)+\ldots+a_{mn}(b_n+c_n)}=\pmat{(a_{11}b_1+a_{12}b_2+\ldots+a_{1n}b_n)+(a_{11}c_1+a_{12}c_2+\ldots+a_{1n}c_n) \\ \vdots \\ (a_{m1}b_1+a_{m2}b_2+\ldots+a_{mn}b_n)+(a_{m1}c_1+a_{m2}c_2+\ldots+a_{mn}c_n)}$
$\quad =\pmat{a_{11}b_1+a_{12}b_2+\ldots+a_{1n}b_n \\ \vdots \\ a_{m1}b_1+a_{m2}b_2+\ldots+a_{mn}b_n}+\pmat{a_{11}c_1+a_{12}c_2+\ldots+a_{1n}c_n \\ \vdots \\ a_{m1}c_1+a_{m2}c_2+\ldots+a_{mn}c_n}$
Die $b_i$'s kommen aus $b$ und die $c_i$'s aus $c$. Nach der Definition von Matrixmultiplikation folgt dann, dass
$ \pmat{a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ \vdots \quad \ddots \quad \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn}} * \vektor{b_1 \\ \vdots \\ b_n} + \pmat{a_{11} a_{12} \cdots a_{1n} \\ \vdots \quad \ddots \quad \vdots \\ a_{m1} a_{m2} \cdots a_{mn}} * \vektor{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = Ab+Ac$,
womit bewiesen ist, dass $A(b+c)=Ab+Ac$.
Teilaufgabe ii)
Wenn wir den Eintrag aus der $i$-ten Reihe und $j$-Spalte einer Matrix $A$ haben wollen, nehmen wir den Eintrag $A_{ij}$. Laut der Definition der transponierten Matrix ist der Eintrag $A_{ij}$ der Matrix $A$ der Eintrag $A_{ji}$ der Matrix $A^t$. Wenn wir diese Matrix wieder transponieren, erhalten wir den Eintrag $A_{ij}$, was wieder Matrix $A$ ergibt.
Wenn ich beweisen will, dass $(A+B)^t=A^t+B^t$, kann ich folgendermaßen vorgehen. Für Matrixaddition gilt, dass $A+B=a_{ij]+b_{ij}$ für alle $i,j$, wobei $A_{ij} := a_{ij}$ und $B_{ij} := b_{ij}$. Für $A^t+B^t$ heißt das, dass
$A^t+B^t=a_{ji}+b_{ji}=(a+b)_{ji}=(A+B)^t$.
Ich hoffe, das ist verständlich. Um das rauszufinden, stelle ich diese Frage :) Wenn es schöner kann (wovon ich fast ausgehe...), hör ich das gerne.
Teilaufgabe iii)
Ich will beweisen, dass $(A+B)C=AC+BC$. Aus der Addition von Matrices folgt, dass $(AC)_j+(BC)_j=(AC+BC)_j$, wobei $A_j$ die $j$-te Spalte der Matrix $A$ ist. Durch Ausklammern von $C$ erhalten wir $(AC+BC)_j=((A+B)*C)_j=(A+B)*C_j$, für alle $j$. Hieraus leitet sich ab, dass $(A+B)C=AC+BC$.
Teilaufgabe iv)
Wir wissen, dass $(A^t)^t=A$. Hieraus folgt
$(A^t)^t=((AI_n)^t)^t$.
Wir wissen außerdem, dass $(AB)^t=B^tA^t$. Hiermit erhalten wir:
$((AI_n)^t)^t=(I_mA)^t$,
weil $A$ eine $m \times n$-Matrix ist und $I_nA$ also nicht definiert wäre. Wenn wir weiterrechnen, kriegen wir
$(I_mA)^t=AI_n=A$.
Es folgt also, dass $I_mA=A$.
Danke für jeden Tipp. Ich hoffe, es ist nicht allzu chaotisch.
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 So 16.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
(i) passt
(ii)
> Wenn wir den Eintrag aus der $ i $-ten Reihe und $ j $-Spalte einer Matrix $ A > $ haben wollen, nehmen wir den Eintrag $ [mm] A_{ij} [/mm] $. Laut der Definition der transponierten Matrix ist der Eintrag $ [mm] A_{ij} [/mm] $ der Matrix $ A $ der Eintrag $ [mm] A_{ji} [/mm] $ der Matrix $ [mm] A^t [/mm] $. Wenn wir diese Matrix wieder transponieren, erhalten wir den Eintrag $ [mm] A_{ij} [/mm] $, was wieder Matrix $ A $ ergibt.
Ja verwende einfach die Definition:
Sei A [mm] \in M_{m\times n} (\IR)
[/mm]
[mm] ({A^t})^{t}_{ij}=(A^t)_{ji} [/mm] = [mm] A_{ij} \Rightarrow {(A^t)}^t=A
[/mm]
Im Prinzip hast du es richtig gezeigt:
Seinen A,B [mm] \in M_{m\times n} (\IR)
[/mm]
[mm] (A+B)^t_{ij} =(A+B)_{ji}=A_{ji}+B_{ji}=(A^t)_{ij}+(B^t)_{ij}=(A^t+B^t)_{ij} \Rightarrow (A+B)^{t} =A^t+B^t
[/mm]
(iii)
(A+B)C=AC+BC
[mm] ((A+B)C)_{ij}=\sum_{k} (A+B)_{ik} C_{kj} [/mm] = [mm] \sum_{k}(A_{ik} +B_{ik})C_{kj}=\sum_{k}(A_{ik}C_{kj}+B_{ik}C_{kj})=\sum_{k}A_{ik}C_{kj}+\sum_{k}B_{ik}C_{kj}=(AC)_{ij}+(BC)_{ij}=(AC+BC)_{ij}
[/mm]
> (iv)
> Wir wissen, dass $ [mm] (A^t)^t=A [/mm] $. Hieraus folgt
> $ [mm] (A^t)^t=((AI_n)^t)^t [/mm] $.
> Wir wissen außerdem, dass $ [mm] (AB)^t=B^tA^t [/mm] $. Hiermit erhalten wir:
> $ [mm] ((AI_n)^t)^t=(I_mA)^t [/mm] $,
Die unterste Zeile verstehe ich nicht. Beachte auch [mm] I_n^t=I_n.
[/mm]
Rechne doch nach:
[mm] (I_m A)_{ij}=\sum_{k} (I_m)_{ik} A_{kj}=...
[/mm]
überlege dazu wann [mm] (I_m)_{ik} [/mm] den Wert 1 hat.
LG,
sissi
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Hey, danke für Deine Antwort :)
> > [mm]((AI_n)^t)^t=(I_mA)^t [/mm],
> Die unterste Zeile verstehe ich nicht. Beachte auch
> [mm]I_n^t=I_n.[/mm]
>
> Rechne doch nach:
> [mm](I_m A)_{ij}=\sum_{k} (I_m)_{ik} A_{kj}=...[/mm]
> überlege
> dazu wann [mm](I_m)_{ik}[/mm] den Wert 1 hat.
>
[mm] $(I_m A)_{ij}=\sum_{k} (I_m)_{ik} A_{kj}= A_{ij}$ [/mm] und [mm] $(I_m)_{ik} [/mm] = 1$, wenn $k=i$, oder?
Mein Gedanke war, dass ich ja [mm] $I_n$ [/mm] nicht mit einer $m [mm] \times [/mm] n$-Matrix multiplizieren kann, d.h. [mm] $I_n*A$ [/mm] mit $A [mm] \in M_{m \times n}(\IR)$, [/mm] wodurch ich aus [mm] $I_n$ $I_m$ [/mm] machen muss. Und ich muss auch mit den Regeln
[mm] $(A^t)^t=A$,
[/mm]
[mm] $(AB)^t=B^tA^t$ [/mm] und
$I_nA=A$
arbeiten. War der Gedanke so falsch?
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 So 16.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
> $ [mm] (I_m A)_{ij}=\sum_{k} (I_m)_{ik} A_{kj}= A_{ij} [/mm] $ und $ [mm] (I_m)_{ik} [/mm] = 1 $, wenn $ k=i $, oder?
Genau, aber führe doch den beweis weiter anstelle gleich das Ergebnis hinzuschreiben?Mit Hilfe des Kronecker-Delta kannst du das elegant hinschreiben.
> Und ich muss auch mit
> den Regeln
>
> [mm](A^t)^t=A[/mm],
> [mm](AB)^t=B^tA^t[/mm] und
> [mm]I_nA=A[/mm]
>
> arbeiten. War der Gedanke so falsch?
>
Dann wende mal $ [mm] AI_n=A [/mm] $ mit der transponierten von A anstelle von A an.
LG,
sissi
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> Hallo,
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> > [mm](I_m A)_{ij}=\sum_{k} (I_m)_{ik} A_{kj}= A_{ij}[/mm] und
> [mm](I_m)_{ik} = 1 [/mm], wenn [mm]k=i [/mm], oder?
> Genau, aber führe doch den beweis weiter anstelle gleich
> das Ergebnis hinzuschreiben?Mit Hilfe des Kronecker-Delta
> kannst du das elegant hinschreiben.
Ja, klar, sorry. Ich war irritiert, weil der Rechenweg, den ich gehe muss, anders ist als der, den du vorschlägst. Also noch ein Versuch. Das Kronecker-Delta habe ich bisher noch nicht so oft benutzt, aber ich versuch's mal:
$ [mm] (\star) \quad (I_m A)_{ij}=\sum_{k} (I_m)_{ik} A_{kj} [/mm] = [mm] \sum_{k} \delta_{i,k} A_{kj} [/mm] = [mm] \delta_{i,i} A_{ij} [/mm] = [mm] A_{ij}$ [/mm]
für alle $i,j$. Das heißt, dass $I_mA=A$.
>
> > Und ich muss auch mit
> > den Regeln
> >
> > [mm](A^t)^t=A[/mm],
> > [mm](AB)^t=B^tA^t[/mm] und
> > [mm]I_nA=A[/mm]
> >
> > arbeiten. War der Gedanke so falsch?
> >
>
> Dann wende mal [mm]AI_n=A[/mm] mit der transponierten von A
> anstelle von A an.
>
Also, wir nehmen wieder eine Matrix $A [mm] \in M_{m \times n}(\IR)$. [/mm] Dann folgt:
[mm] $(\underbrace{A^t}_{n \times m})^t [/mm] = [mm] ((I_m\underbrace{A}_{m \times n})^t)^t=(\underbrace{A^t}_{n \times m} I_m)^t=I_m\underbrace{A}_{m \times n}$
[/mm]
Aus [mm] $(\star)$ [/mm] ergibt sich dann, dass $I_mA=A$. Ist das so ok?
Liebe Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Mo 17.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ja das obere passt, das untere bis auf deine Bermerkung auch.
> Aus $ [mm] (\star) [/mm] $ ergibt sich dann, dass $ I_mA=A $.
Nein, dass sind nur zwei unabhängige Beweise für die [mm] Aussage:I_m [/mm] A=A
Wenn du bei deiner Beweiskette ein A links schreibst da ja [mm] (A^t)^t=A [/mm] ist:
[mm] A=(\underbrace{A^t}_{n \times m})^t [/mm] = [mm] ((I_m\underbrace{A}_{m \times n})^t)^t=(\underbrace{A^t}_{n \times m} I_m)^t=I_m\underbrace{A}_{m \times n} [/mm]
=> [mm] A=I_m [/mm] A
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Mo 17.11.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Prima, danke sehr :) Nach einem Tag Pause dazwischen hab ich die Fehler gesehen. Manchmal braucht man Abstand von einer Aufgabe, um die Lösung zu finden.
Liebe Grüße.
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