Einige Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Folgen sind auf Konvergenz zu prüfen und gegebenenfalls den Grenzwert bestimmen:
a) [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{4^{k}}
[/mm]
b) (1- [mm] \bruch{1}{4})*(1 [/mm] - [mm] \bruch{1}{9})*...*(1-\bruch{1}{(n+1)^{2}}
[/mm]
c) [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1}
[/mm]
d) [mm] (-1)^{n}*\bruch{n^{2}}{2n^{2}+5} [/mm] |
Also mein gespür sagt mir:
a) Konvergent. Die Funktion macht zwar Sprünge, aber nähert sich wegen der Summe meiner Meinung nach trotzdem einen Wert an.
b) Konvergent.
c) Spontan weiss ich das nicht.
d)unbestimmt Divergent, da es um [mm] \pm \bruch{1}{2} [/mm] springt.
Mein Problem ist die mathematisch korrekte Ausdruckweise.
Ich weiss nicht wie ich das zeigen kann.
Bei der a) muss ich vermutlich [mm] \bruch{1-q^{k}}{1-q} [/mm] benutzen nur daran scheitere ich.
Bei der b) fehlt mir gänzlich der Ansatz
Bei der d) fehlt mir auch der mathematisch korrekte termini.
Kann da jemand aushelfen wie man sowas aufschreibt?
Vielen dank, frage natürlich nirgends sonst gestellt.
|
|
| |
|
> Die Folgen sind auf Konvergenz zu prüfen und
> gegebenenfalls den Grenzwert bestimmen:
>
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{(-1)^{k}}{4^{k}}[/mm]
>
> b) [mm](1- \bruch{1}{4})*(1-\bruch{1}{9})*...*\left(1-\bruch{1}{(n+1)^{2}}\right)[/mm]
>
> c) [mm]\wurzel{n}[/mm] - [mm]\wurzel{n-1}[/mm]
>
> d) [mm](-1)^{n}*\bruch{n^{2}}{2n^{2}+5}[/mm]
> Also mein gespür sagt mir:
>
> a) Konvergent. Die Funktion macht zwar Sprünge, aber
> nähert sich wegen der Summe meiner Meinung nach trotzdem
> einen Wert an.
> b) Konvergent.
> c) Spontan weiss ich das nicht.
> d)unbestimmt Divergent, da es um [mm]\pm \bruch{1}{2}[/mm]
> springt.
>
> Mein Problem ist die mathematisch korrekte Ausdruckweise.
>
> Ich weiss nicht wie ich das zeigen kann.
> Bei der a) muss ich vermutlich [mm]\bruch{1-q^{k}}{1-q}[/mm]
> benutzen nur daran scheitere ich.
>
> Bei der b) fehlt mir gänzlich der Ansatz
>
> Bei der d) fehlt mir auch der mathematisch korrekte
> termini.
>
> Kann da jemand aushelfen wie man sowas aufschreibt?
Hallo,
bei (a) handelt es sich (für [mm] n\to [/mm] infty) um eine geome-
trische Reihe mit dem Quotienten [mm] q=-\frac{1}{4} [/mm] .
In (b) hast du ein Produkt aus Faktoren, welche alle
kleiner als 1 sind und für sich eine Folge bilden, die
streng monoton steigend gegen 1 strebt. Daraus kann
man die notwendigen Schlüsse ziehen. Die konkrete
Berechnung des Grenzwerts ist allerdings nicht so einfach.
Den Term in (c) solltest du mit der Summe der beiden
Wurzeln erweitern.
Bei (d) betrachtest du am besten zuerst die beiden
Teilfolgen aus den Gliedern mit geraden bzw. mit
ungeraden Indices.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Wie hast du denn so schnell q=1/4 bestimmt?
Lässt sich das etwa direkt ablesen oder hast du etwas umgeformt?
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du unterschlägst hier das Minuszeichen.
Potenzgesetz