Einsetzen in Abbildung < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben ist die Abbildung f: [mm] C\{-i} [/mm] -> C mit f(z) = w = [mm] \frac{1}{z+1}.
[/mm]
b) Bestimmte die Bilder des Einheitskreises und der rellen Achse.
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Guten Abend,
Setze ich hier die Gleichungen des Einheitskreises und der reellen Achse in die komplexe Funktion ein?
Also für die reelle Achse wäre die Gleichung ja [mm] z-\overline{z}=0 [/mm] und für den Einheitskreis [mm] z\overline{z}=1... [/mm]
Doch wie weiter?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 So 01.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
zerlege dir doch erstmal dein $z=a+ib$, also in Real- und Imaginärteil.
Den Einheitskreis lässt sich auch anders als [mm] $z\overline{z}$ [/mm] darstellen, nämlich in Polarkoordinaten:
[mm] $a=\cos\varphi$ [/mm] und [mm] $b=\sin\varphi$
[/mm]
Damit kann man dann die Abbildung des Einheitskreises hinschreiben.
Für die reelle Achse gilt dann was für a und was für b? Damit hast du dann die Abbildung für deine beiden Objekte hingeschrieben.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi Kroni,
so für den EK ?
[mm] z=\frac{1}{\overline{z}} [/mm] = [mm] \frac{1}{a-bi} [/mm] dann einsetzen??
oder ausgerechnet mit z als a+bi
[mm] a^{2}+b^{2}=1 [/mm] ?
Für die R.A. dementsprechend
z=a+bi oder z=a-bi
oder
2bi=0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 So 01.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, [mm] $a^2+b^2=1$ [/mm] gilt ja für den Einheitskreis. Das jetzt in deine Abbildung einsetzen und du bist fertig. Oder du machst es halt über die Polarkoordinaten. Dann kannst du ja das Bild des Einheitskreises (was ja eine Menge ist) hinschreiben.
Aus deiner Gleichung $2bi=0$ kannst du ja eine Bedingung für b ableiten, die man sich ja auch sofort via Überlegung (Was gilt für den Imaginärteil, wenn ein Punkt auf der reellen Achse liegt) erschließen.
Dann einsetzen und die Menge hinschreiben.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Ich habe jetzt beim EK zwei Beziehungen [mm] a^{2}+b^{2}=1 [/mm] und [mm] z=\frac{1}{a-bi} [/mm] ... muss ich beide einsetzen? also für 1 [mm] a^{2}+b^{2} [/mm] und für z dann [mm] \frac{1}{a-bi}? [/mm] oder nur eines der beiden?
Genau die gleiche Frage bei der R.A. ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 01.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
naja, gesucht ist doch das Bild zB der reellen Achse unter deiner Abbildung f.
Wenn du jetzt die reelle Achse hernimmst, also z=a, wobei [mm] $a\in\IR$. [/mm] Dann nimmste die Funktion [mm] $f(z)=\frac{1}{z+1}$ [/mm] her, und setzt da jetzt für z einfach a ein. Dann wäre zB das Bild der reellen Achse
[mm] $\{\frac{1}{a+1}|a\in\IR\}$.
[/mm]
Genauso mit dem Einheitskreis, wobei man dann ja zB das b durch [mm] $a^2+b^2=1$ [/mm] durch a ausdrücken kann.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi Koni,
[mm] w=\frac{a^{2}+b^{2}}{a+bi+i} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 So 01.03.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wofür soll das stehen? Wenn du mir noch den Rechenweg gibst, könnte ich dazu mehr sagen.
Ansich aber bringt die Darstellung recht wenig, weil du ja immer noch ein a und b drinstehen hast. Du kannst natürlich auch einfach hinschreiben: [mm] $\{\frac{1}{z+1}| |z|=1 \gdw a^2+b^2=1\}$, [/mm] aber das will man da ja eigentlich nicht sehen.
Versuche doch einfach die Menge durch einen einzigen Paramter auszudrücken, denn wenn du zB a schon festlegst, ist b ja automatisch auch über die Relation [mm] $b^2=1-a^2$ [/mm] festgelegt. Jetzt gibt das dann nur Probleme, wenn du hinterher b erstezen willst, weil du dann wieder aufpassen musst, weil du ja einmal die positivie und einmal die negative Wurzel rausbekommst.
Die Alternative, die ich persönlich schöner finde, ist einfach den Realteil und Imaginärteil durch Polarkoordinaten auszudrücken, und dann kannst du die Bildmenge durch den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] ausdrücken.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
falsche frage....
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