Einsetzungshomomorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien a, b [mm] \in \IZ [/mm]
Sei
[mm] \nu [/mm] : [mm] \IZ[/mm] [t] [mm] \to \IZ/a\IZ
[/mm]
die Verknüpfung des Einsetzhomomorphismus [mm] \mu_{b}:\IZ[/mm] [t][mm] \to\IZ, [/mm] f [mm] \to [/mm] f(b) mit dem kanonischen
Epimorphismus [mm] \pi_{a} [/mm] : [mm] \IZ \to \IZ/a\IZ, [/mm] x [mm] \to [/mm] x + [mm] a\IZ.
[/mm]
Als Verknüpfung von Epimorphismen ist selbst ein Epimorphismus.
a) Zeigen Sie:
[mm] ker(\nu [/mm] ) = [mm] a\IZ[/mm] [t] + (t - [mm] b)\IZ[/mm] [t]
Sie dürfen ohne Beweis verwenden: Für jedes f [mm] \in \IZ[/mm] [t] gibt es g [mm] \in \IZ[/mm] [t] mit f =
f(b) + (t - b)g (dies folgt durch Division mit Rest von f durch t - b und Einsetzen
von b). |
Hallo!
Zunächst einmal entschuldige ich mich für die Schreibweise der Aufgabenstellung, aber ich habe es nicht besser hinbekommen.
So nun zu der Aufgabe:
Ich weiß nicht genau, was ich hier tun soll. Ich weiß wohl, dass ein Epimorhismus ein surjektiver Homomorphismus ist. Außerdem bildet ja der der Kern auf die Null ab aber wie setze ich hier an?
Kann mir da jemand helfen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Di 09.09.2014 | | Autor: | hippias |
Zu zeigen ist eine Mengengleichheit, also dass die linke Menge in der rechten enthalten ist und umgekehrt.
Fange doch damit an zu zeigen, dass [mm] $a\IZ[/mm] [t] + (t - [mm] b)\IZ[/mm] [t]$ im Kern liegt. Dazu sei [mm] $p\in a\IZ[/mm] [t] + (t - [mm] b)\IZ[/mm] [t]$ beliebig. Nach Definition existieren [mm] $f,g\in \IZ[/mm] [t]$ so, dass $p= af+(t-b)g$. Ueberlege Dir nun, was Du fuer [mm] $p^{\mu_{b}}$ [/mm] erhaelst, und dann nocheinmal, dass [mm] $\pi_{a}$ [/mm] das Ergebnis auf die Null (in [mm] $\IZ/a\IZ$) [/mm] abbildet.
Erst fuer die Umkehrung wirst Du den Hinweis brauchen.
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