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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das Einzelschrittverfahren (Gauß-Seidel-Verfahren) zur Lösung von Ax=b mit A [mm] \in \IR^{nxn}, [/mm]
[mm] A=\pmat{ 1 & 1 & & \\ 1 & 2 & 1 & & & \\ 1 & 1 & 3 & 1 & & & & \\ ... & ... & ... & & \\ ... & ...& & & & 1 \\ 1 & 1 & ... & ... & 1 & n }
[/mm]
für alle rechten Seiten b [mm] \in \IR^{n} [/mm] konvergiert. |
Hallo!
Hier komme ich nicht weiter.
Ich hätte mehrere Ansätze:
1. es konvergiert genau dann, wenn [mm] p((D+L)^{-1} [/mm] U) <1 (mit [mm] p(T)=max{|\lambda_{j}| | \lambda Eigenwert von T, j=1,...,n} [/mm] )
aber da weiß ich nicht, wie ich das mit dieser allgemeinen Matrix umsetzen könnte.
2. es konvergiert genau dann, wenn A reell, symmetrisch und positiv definit.
aber A ist ja gar nicht symmetrisch!
3. Sei [mm] A_{ii} [/mm] (i=1,...,n), [mm] |A_{ii}| \ge \summe_{j=1, j \not= i}^{n}|A_{ij}| [/mm] (i=1,...,n) mit einem i, sd. Ungleichheit.
A unzerlegbar
Aber [mm] |A_{ii}| \ge \summe_{j=1, j \not= i}^{n}|A_{ij}| [/mm] stimmt ja nicht...
Hab ich irgendwas übersehen oder falsch verstanden?
Kann mir da jemand helfen?
Grüßle, Lily 
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Hallo Lily,
die Bedingung unter "3." ist doch erfüllt.
In Worten steht dort: für jede Zeile muss der Betrag des Diagonalelements (A_ii) größer gleich der Summe der Beträge der nicht-diagonal Elemente (A_ij, mit i ungleich j) sein. Für die Matrix A gilt ganz offensichtlich:
1. Zeile: 1 = 1
2. Zeile: 2 = 1+1 = 2*1
3. Zeile: 3 = 1+1+1 = 3*1
...
n. Zeile: n = n*1
Somit ist diese Bedingung erfüllt - zumindest mit dem Gleichheitszeichen.
(Was du mit "sd. Ungleichheit" meinst, verstehe ich nicht.)
Schöne Grüße
franzzink
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> In Worten steht dort: für jede Zeile muss der Betrag des
> Diagonalelements (A_ii) größer gleich der Summe der
> Beträge der nicht-diagonal Elemente (A_ij, mit i ungleich
> j) sein.
oh! ich hab das mit spalten gedacht, und dafür stimmts ja nicht!
aber klar! danke!
> n. Zeile: n = n*1
ist hier nicht: n-1 die summe der restlichen zeileneinträge?
> (Was du mit "sd. Ungleichheit" meinst, verstehe ich
> nicht.)
dass mindestens ein i existieren muss, dass die Gleichung > ist und nicht [mm] \ge
[/mm]
das ist ja, mit n>n-1 gegeben.
Danke
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> > n. Zeile: n = n*1
> ist hier nicht: n-1 die summe der restlichen
> zeileneinträge?
Da hast du natürlich Recht - mein Fehler.
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