Eisenstein-Kriterium < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 So 02.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo!
Beim Beweis des Eisenstein-Kriterium ist es wichtig, dass man ein primitives Polynom f gegeben hat. Warum ? Was folgt daraus ?
LG
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 So 02.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian
> Beim Beweis des Eisenstein-Kriterium ist es wichtig, dass
> man ein primitives Polynom f gegeben hat. Warum ? Was folgt
> daraus ?
Nimm doch mal das Polynom $f = 3 [mm] x^2 [/mm] + 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \in \IZ[x]$. [/mm] Dieses erfuellt die Voraussetungen von Eisenstein mit $p = 2$, allerdings ist es nicht primitiv: es gilt naemlich $f = 3 [mm] \cdot (x^2 [/mm] + 2)$. Und daran sieht man auch gleich, dass es nicht irreduzibel ist.
Oder allgemeiner: nicht primitive Polynome koennen niemals irreduzibel sein!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 So 02.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hi Felix
danke für deine Beispiele.
Allerdings bezog sich meiner Frage her auf den Beweis des Kritieriums.
Welche Folgerungen kann man aus "f primitiv" ableiten ?
Habe im Internet gefunden, dass dann grad g,h > 0 folgt. Warum ?
(man hat f=g*h, f reduzibel vorausgesetzt)
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian
> danke für deine Beispiele.
> Allerdings bezog sich meiner Frage her auf den Beweis des
> Kritieriums.
> Welche Folgerungen kann man aus "f primitiv" ableiten ?
> Habe im Internet gefunden, dass dann grad g,h > 0 folgt.
> Warum ?
> (man hat f=g*h, f reduzibel vorausgesetzt)
Schreib doch mal $f = [mm] \lambda \cdot [/mm] g$ mit [mm] $\lambda \in [/mm] R [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] und $g [mm] \in [/mm] R[x]$. Das ist doch gerade der Fall [mm] $\deg \lambda [/mm] =0 $ und [mm] $\deg [/mm] g = [mm] \deg [/mm] f$.
Wenn du es so schreibst heisst das gerade, dass [mm] $\lambda$ [/mm] alle Koeffizienten von $f$ teilt. Da diese aber teilerfremd sind (da $f$ primitiv ist), folgt [mm] $\lambda \in [/mm] R^* = R[x]^*$.
Wenn also $f$ reduzibel ist, dann muss die Zerlegung in nicht-triviale Faktoren immer zwei Faktoren von Grad $> 0$ haben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:48 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Fry |
Super, vielen Dank Felix,
jetzt hats Klick! gemacht ; )
LG
Christian
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