Elektrischer Widerstand < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Di 22.12.2009 | | Autor: | johnyan |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Sorry für die schlechte Zeichnung. Also die Aufgabe lautet: Ein elektrischer Leiter mit quadratischen Querschnitt soll das im Bild sein.
r1=6mm, r2=12mm. b=6mm. Der Winkel zwischen A und B ist 90°.
Der spezifische Widerstand ändert sich längs des Leiters wie folgend: [mm] \rho(\phi)=\rho_0-\bruch{\phi*\rho_0}{\pi}. [/mm]
Für die Feldstärke ist folgender Ansatz gegeben: [mm] E(\phi)=\bruch{I*\rho(\phi)}{br}. [/mm] Wobei r1<=r<=r2.
zusätzlich ist [mm] \rho(0)=20 [/mm] Ohmmeter.
Die Frage ist, welcher Widerstand zwischen den Flächen A und B ist.
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Ich habe das über den Ansatz R=U/I probiert.
Dann [mm] U=\integral_{r1}^{r2}{E ds}. [/mm] Wobei ich zuerst [mm] \rho=\integral_{0}^{\pi/2}{\rho_0-\bruch{\phi*\rho_0}{\pi}} [/mm] berechnet habe und dann in die Formel von E eingesetzt habe.
Dann hatte ich sowas für [mm] U=\bruch{I*\rho}{b}*\integral_{r1}^{r2}{\bruch{1}{r} dr}
[/mm]
und am Ende mit den Zahlenwerten hatte ich 2722 Ohm.
Aber irgendwie fühle ich mich nicht so gut bei der lösung, kann mir jemand sagt, ob ich das richtig gemacht habe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Di 22.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo johnyan, herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich habe gerade Deinen Anhang gesperrt, weil das ein typischer Scan aus einer Aufgabe ist und Du ja nicht Fragen zur Erstellung eines Aufgabenzettels hast, sondern die Aufgabe zu lösen versuchst.
Das ist ein eindeutiges Indiz, dass es sich bei diesem Scan um eine Urheberrechtsverletzung handelt.
So leicht kannst Du es Dir also nicht machen. Du bist nicht Urheber dieser Aufgabe, sondern faktisch Raubkopierer, und das sollte kein Forum dulden. Wir jedenfalls möchten nicht wegen solcher Verletzungen mit strafbewehrten Abmahnungen oder gar Schadensersatzforderungen rechnen müssen.
Wesentliche Teile der Aufgabenstellung kannst du aber sehr wohl in eigene Worte fassen, auch selbst eine Skizze erstellen - also nicht vom Blatt scannen, es sei denn, Du hast selbst mit einem Zeichenprogramm die Skizze gefertigt und scanst nur Deinen eigenen Ausdruck oder auch Deine eigene handschriftliche Skizze.
Wir bitten Dich aber, Deine Rechnungen so einzugeben, wie Du es getan hast, also direkt an der Tastatur und unter weitestmöglicher Nutzung unseres Formeleditors. Dann können Antwortgeber sie wesentlich leichter bearbeiten.
Du kannst Deine Anfrage selber editieren oder mit einem weiteren Beitrag ergänzen. Eine wiederholte Einstellung eines solchen Scans werden wir aber schnellstmöglich unterbinden müssen. Sorry.
Trotzdem wünsche ich Dir, dass dieses Forum für Dich nützlich ist und wird, so wie für viele Tausende andere. Antworten bekommst Du hier gern und nach Möglichkeit oft schnell. Lass Dich also von dem rechtlichen Gewese nicht abschrecken, wir können nur leider nicht anders. Angesichts der derzeitigen Rechtssprechung ist das ein Damoklesschwert, das über allen Internetforen schwebt. Dafür haften die Personen, die den Vorstand des Trägervereins bilden, sogar ggf. mit ihrem Privatvermögen. Dazu gehöre ich zwar nicht, aber gerade deswegen möchte ich mich für den Schutz meiner KollegInnen einsetzen. Für ein ehrenamtliches Forum bringen sie schon so genug Zeit, Geld und Engagement ein.
Herzliche Grüße
reverend
(einer der vielen Moderatoren)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Di 22.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich denke, du hast die aufgabe falsch verstanden.
Der Strom fliesst von A nach B nicht von r1 nach r2, sonst wuerde [mm] \rho(\phi) [/mm] ja keinen Sinn machen.
Also messt du anders rechnen.
eine abschaetyung kriegst du mit ner mittleren Länge des Leitungsstücks und konstantem [mm] \rho
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Di 22.12.2009 | | Autor: | johnyan |
ich weiß, dass der Strom von A nach B fließt, bei einer ähnlichen Aufgabe haben wir das aber schon mal so gerechnet, nur [mm] \rho [/mm] war da konstant.
eine Abschätzung mit mittlerer Länge und mittlerem [mm] \rho [/mm] ist eine gute idee. da bin ich so vorgegangen:
mittlerer Länge: [mm] \bruch{\pi}{2}*(\bruch{r2-r1}{2}+r1)
[/mm]
mittlerer [mm] \rho: [/mm] laut der Formel für [mm] \rho(\phi), [/mm] ist [mm] \rho [/mm] maximal 20 und minimal 10, hab also 15 als Durchschnitt genommen.
dann in die Formel: [mm] R=\bruch{\rho*l}{A} [/mm] eingesetzt.
[mm] R=\bruch{15Ohmmeter*9mm}{36mm^2}=3750 [/mm] Ohm
Hmm, relativ weit von meinem Ergebnis entfernt, wie ist das zu bewerten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Di 22.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du weisst, dass der strom von a nach B geht, warum integrierst du dann E von r1 bis r2 um U zu kriegen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Di 22.12.2009 | | Autor: | johnyan |
also dann von [mm] \phi=0 [/mm] bis [mm] \phi=\pi/2 [/mm] integrieren?
Dann hätte ich:
[mm] U=\integral_{0}^{\pi/2}{\bruch{I}{b*r}*(\rho_0-\phi*\bruch{\rho_0}{\pi}) d\phi}=\bruch{\rho_0*I*3*\pi}{b*r*8}
[/mm]
Und wie geht es dann weiter? r ist noch unbestimmt, nochmal integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Mi 23.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab dein Integral nicht nachgerechnet, anscheinend hast du aber ds=d/phi gesetzt? ds=r*d/phi ist aber das wahre.
U kann nicht von r abhaengen, es ist also egal auf welchem Weg du integrierst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 23.12.2009 | | Autor: | johnyan |
aso, [mm] r*d\phi [/mm] muss das also sein, dann kürzen sich die r weg.
[mm] U=\integral_{0}^{\pi/2}{\bruch{I}{b*r}*(\rho_0-\phi*\bruch{\rho_0}{\pi})r*d\phi}=\bruch{I*\rho_0}{b*r}*r\integral_{0}^{\pi/2}{(1-\bruch{\phi}{\pi})d\phi}=\bruch{I*\rho_0}{b}*[\phi-\bruch{\phi^2}{2\pi}]^{\pi/2}_0=\bruch{I*\rho_0}{b}*(\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{8})=\bruch{\rho_0*I}{b}*\bruch{3*\pi}{8}
[/mm]
[mm] R=\bruch{U}{I}=\bruch{\rho_0}{b}*\bruch{3*\pi}{8}=\bruch{20}{0,006}*\bruch{3*\pi}{8}\approx3927\Omega
[/mm]
Hmm, das würde ja mit dem Wert der Abschätzung von oben gut hinkommen. Ist das jetzt richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 23.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab dein Integral nicht nachgerechnet, aber die dimension und die groessenordnung stimmen jetzt. Das Integral kannst du ja von wolfran alpha verifizieren lassen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mi 23.12.2009 | | Autor: | johnyan |
Vielen Dank an alle, die geholfen haben. Wie meinst du das jetzt mit wolfran alpha? Wie lasse ich mein Ergebnis mit wolfran alpha verifizieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Do 24.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wolfram alpha rechnet dir die meisten bestimmten und unbestimmten integrale aus.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mi 23.12.2009 | | Autor: | Infinit |
Hallo johnyan,
der Zahlenwert ist okay, ich habe ihn auch rausbekommen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mi 23.12.2009 | | Autor: | GvC |
Ist der Ansatz
[mm] E(\phi) [/mm] = [mm] \bruch{I*\rho(\phi)}{br}
[/mm]
in der Aufgabenstellung vorgegeben oder hast Du Dir den selber zusammengebastelt. Da fehlt nämlich eigentlich noch was.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mi 23.12.2009 | | Autor: | johnyan |
> Ist der Ansatz
>
> [mm]E(\phi)[/mm] = [mm]\bruch{I*\rho(\phi)}{br}[/mm]
>
> in der Aufgabenstellung vorgegeben oder hast Du Dir den
> selber zusammengebastelt. Da fehlt nämlich eigentlich noch
> was.
jo, der Ansatz wurde vorgegeben, und was [mm] \rho(\phi) [/mm] ist, ist auch gegeben, siehe meine erste post
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:55 Do 24.12.2009 | | Autor: | GvC |
Na ja, eigentlich müsste es heißen
[mm] E(\phi)=\bruch{I*\rho(\phi)}{b*r*ln\bruch{r_2}{r_1}}
[/mm]
Das solltest Du nochmal mit Deinem Prof. besprechen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Do 24.12.2009 | | Autor: | johnyan |
ja, dieses [mm] ln\bruch{r2}{r1} [/mm] fehlt meiner meinung nach auch, in einer ähnlichen aufgabe tauchte [mm] ln\bruch{r2}{r1} [/mm] durch [mm] \integral_{r1}^{r2}{\bruch{1}{r} dr} [/mm] auf.
Kann man hier [mm] ln\bruch{r2}{r1} [/mm] irgendwie reinbringen? Oder ist die Aufgabe, so wie sie gestellt ist, ohne [mm] ln\bruch{r2}{r1} [/mm] richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Do 24.12.2009 | | Autor: | GvC |
Ich bin mir gar nicht mehr sicher, ob meine vorige Mitteilung wirklich richtig war. Denn mein Ansatz war
E = [mm] \bruch{U}{\bruch{\pi*r}{2}}
[/mm]
Das kann aber nicht sein, da wegen des mit dem Winkel veränderlichen spez. Widerstandes die Feldstärke E entlang einer Feldlinie nicht konstant ist.
Da muss ich noch ein bisschen länger drüber nachdenken, aber nicht jetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Sa 26.12.2009 | | Autor: | isi1 |
> ist die Aufgabe, so wie sie gestellt ist, ohne $ [mm] ln\bruch{r2}{r1} [/mm] $ richtig?
Nur der Vollständigkeit halber: Nein ist sie nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Do 24.12.2009 | | Autor: | isi1 |
Vielleicht interessiert Dich noch die Berechnung per 'Konformer Abbildung'?
[Dateianhang nicht öffentlich]
In dem Bild wird die Kapazität berechnet, analog hierzu ist die Berechnung des Widerstands
[mm] \rho(\phi)=\rho_0*(1-\frac{\phi}{\pi}) [/mm] Wegen des linearen Zusammenhangs bei 90°: [mm] \rho_m=\frac{3}{4}*\rho_0
[/mm]
[mm] R=\frac{\rho(\phi)*\alpha}{b*\Delta x}=\frac{\rho_0 *3*\frac{\pi}{2}}{4*b*ln{\frac{r_2}{r_1}}}=\frac{20\Omega m*3*\pi}{8*0,006m*ln{\frac{12}{6}}}=5665\Omega
[/mm]
Sollte die Abschätzung von johnyan als Länge nicht [mm] \pi/2*9mm [/mm] sein?
$ [mm] R=\bruch{15\Omega m\cdot \frac{\pi}{2}*9mm}{36mm^2}=5890\Omega [/mm] $
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Do 24.12.2009 | | Autor: | johnyan |
Achso, man darf hier also [mm] \rho(\phi) [/mm] durch einen Durchschnittswiderstand ersetzen? ich kann also einen spezifischen Widerstand von [mm] 15\Omega [/mm] m statt der Gleichung benutzen?
Wenn das so wäre, könnte ich den Leiter in infinitesimal kleine parallele Widerstände aufteilen. Und dann über den Leitwert den Widerstand berechnen.
[mm] R=\bruch{1}{G}
[/mm]
[mm] G=\bruch{A}{\rho*l}
[/mm]
[mm]dA=b*dr[/mm] , [mm] l=\bruch{\pi}{2}*r
[/mm]
[mm] G=\integral_{r1}^{r2}{\bruch{b}{\rho*\bruch{\pi}{2}*r} dr}=\bruch{b}{\rho*\bruch{\pi}{2}}*\integral_{r1}^{r2}{\bruch{1}{r} dr}=\bruch{b}{\rho*\bruch{\pi}{2}}*ln\bruch{r2}{r1}
[/mm]
[mm] R=\bruch{1}{\bruch{b}{\rho*\bruch{\pi}{2}}*ln\bruch{r2}{r1}}=\bruch{\rho*\bruch{\pi}{2}}{b*ln\bruch{r2}{r1}}
[/mm]
Was meint ihr, geht das so? Ich wüsste sonst leider nicht, wie man dieses ln(r2/r1) reinbekommt. Komforme Abbildung hatten wir noch nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Do 24.12.2009 | | Autor: | isi1 |
Sehr gut, johnyan!
Noch zur Frage $ [mm] \rho_m [/mm] = [mm] 15\Omega [/mm] m $
Das geht deshalb, weil Deine Streifen [mm] (r*\pi/2)*b*dr [/mm] auf der Länge [mm] (r*\pi/2) [/mm] jeweils ein [mm] \rho [/mm] haben, das von 20 bis 10 sinkt.
Wenn Du den Widerstand des Streifens integrierst über [mm] d\varphi [/mm] , dann erhältst Du den Mittelwert.
Noch zur 'Konformen Abbildung' - ist recht nützlich auch in der Hochspannungstechnik. Fraglich, ob das in der Vorlesung behandelt wird.
Die Transformation habe ich in der Zeichnung angegeben.
Der Trick dabei ist, dass die kleinen Vierecke $ [mm] (r*d\varphi) [/mm] * dr Quadrate (oder Rechtecke) sind
und zwar in der Originalzeichnung und auch in der transformierten
- das meint man mit 'konform'
Deshalb kann man die gleichen Formeln anwenden.
Frohes Fest!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Fr 25.12.2009 | | Autor: | johnyan |
Gut, jetzt weiß ich endlich, wie das Ergebnis richtig sein sollte. Ich habe jetzt noch einen zweiten Lösungsweg gefunden, könnt ihr mal gucken, ob der auch richtig ist?
Also, man geht erstmal so vor wie ich es oben schon gemacht habe. Also über R=U/I, und dann U ausrechnen.
[mm] U=\integral_{0}^{\pi/2}{\bruch{I}{b\cdot{}r}\cdot{}(\rho_0-\phi\cdot{}\bruch{\rho_0}{\pi})r\cdot{}d\phi}=\bruch{I\cdot{}\rho_0}{b\cdot{}r}\cdot{}r\integral_{0}^{\pi/2}{(1-\bruch{\phi}{\pi})d\phi}=\bruch{I\cdot{}\rho_0}{b}\cdot{}[\phi-\bruch{\phi^2}{2\pi}]^{\pi/2}_0=\bruch{I\cdot{}\rho_0}{b}\cdot{}(\bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{8})=\bruch{\rho_0\cdot{}I}{b}\cdot{}\bruch{3\cdot{}\pi}{8}
[/mm]
So, und dann darf man nicht einfach U durch I teilen, wie ich das weiter oben gemacht habe, sonder I über den Ansatz
[mm] I=\int \int J*\,dA=\int_{r1}^{r2} \int_0^b \bruch{E}{\rho}\,b\,dr=\int_{r1}^{r2} \int_0^b \bruch{I}{b*r}\,b\,dr=I*(\int_{r1}^{r2} \bruch{1}{r}*(\int_0^b \bruch{1}{b}\,b)\,dr)=I*\int_{r1}^{r2} \bruch{1}{r}dr=I*ln\bruch{r2}{r1}
[/mm]
Hier weiß ich nicht, ob die Umformung legitim ist, da ja ein Integral verschwunden ist. Aber wenn man dann weiterrechnet:
[mm] R=\bruch{U}{I}=\bruch{\bruch{\rho_0\cdot{}I}{b}\cdot{}\bruch{3\cdot{}\pi}{8}}{I*ln\bruch{r2}{r1}}=\bruch{\rho_0*3*\pi}{b*8*ln\bruch{r2}{r1}}=\bruch{20*3*\pi}{0,006*8*ln\bruch{12}{6}}=5665\Omega
[/mm]
Vom Ergebnis her wäre das richtig, und man hat dann auch den gegebenen Ansatz für die Feldstärke E benutzt. Nur die Frage ist, ob man das Doppelintegral so lösen darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Fr 25.12.2009 | | Autor: | isi1 |
Zumindest in der zweiten Zeile ist eine Ungereimtheit:
$ [mm] I=\int \int J\cdot{}\,dA=\int_{r1}^{r2} \int_0^b \bruch{E}{\rho}\,b\,dr=\int_{r1}^{r2} \int_0^b \bruch{I}{b\cdot{}r}\,b\,dr=I\cdot{}(\int_{r1}^{r2} \bruch{1}{r}\cdot{}(\int_0^b \bruch{1}{b}\,b)\,dr)=I\cdot{}\int_{r1}^{r2} \bruch{1}{r}dr=I\cdot{}ln\bruch{r2}{r1} [/mm] $
Letzten Endes heißt das doch $ [mm] I=I\cdot{}ln\bruch{r2}{r1} [/mm] $ ... und das kann doch nicht sein, oder?
Auch in der ersten Zeile verstehe ich nicht, wofür I steht.
Wenn I der Gesamtstrom ist, darf man schon schreiben $ U = I*R $
M.E. sollte man beim Volumenelement anfangen und daraus R bestimmen
oder, da entlang der Kante b sich die Stromdichte nicht ändert, mit dem
Streifenelement Fläche $dA = b*dr $ der Länge $ [mm] (r*d\varphi) [/mm] $
Dann wäre der Gesamtstrom I richtig wie Du schreibst
$ [mm] I=\int \int J\cdot{}\,dA=\int_{r1}^{r2} \int_0^b \,db*\bruch{E(r)}{\rho(\varphi)}\,dr=\int_{r1}^{r2} b*\bruch{E(r)}{\rho}\,dr=? [/mm] $
Jetzt müssen wir das E(r) bestimmen: $ dU = [mm] E(r)*r*d\varphi [/mm] $ daraus $ E(r) = [mm] \frac{dU}{r*d\varphi} [/mm] $
Du siehst schon, auch nicht so ganz der gerade Weg,
obwohl wir natürlich wissen, wie sich $ [mm] \frac{dU}{r*d\varphi} [/mm] $ verhält.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Fr 25.12.2009 | | Autor: | johnyan |
Ja, $ [mm] I=I\cdot{}ln\bruch{r2}{r1} [/mm] $ finde ich auch komisch, hab das nur mal so aufgeschrieben, weil am Ende irgendwie das richtige rauskommt.
In der ersten Zeile sollte das I schon für den Gesamtstrom stehen, denke ich, jedenfalls ist der Ansatz [mm] E=\bruch{I}{b*r}*\rho(\phi) [/mm] in der Aufgabenstellung gegeben.
Und würde man das mit dem Volumenelement machen? Das haben wir bisher noch nicht gebraucht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 25.12.2009 | | Autor: | isi1 |
Und könnte es so gehen, dass man die Streifen $ [mm] (r\cdot{}\pi/2)\cdot{}b\cdot{}dr [/mm] $ auf der Länge $ [mm] (r\cdot{}\pi/2) [/mm] $ berechnet und dann parallel schaltet (bzw. wie schon erwähnt, die Leitwerte von [mm] r_1 [/mm] bis [mm] r_2 [/mm] aufaddiert)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 Fr 25.12.2009 | | Autor: | johnyan |
Das sollte auf jeden Fall gehen, wenn man annehmen kann, dass der spezifische Widerstand im Leiter konstant ist. Was wir ja hier machen könnten, oder? Also so wie das im meiner Post mit dem Leitwert funktioniert das schon.
Ich wollte das nur nochmal so lösen, dass man die Feldstärke noch irgendwie benutzt, weil sie ja in der Aufgabe gegeben wurde und ich deshalb denke, dass es damit auch gehen müsste.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Sa 26.12.2009 | | Autor: | GvC |
Während ich nachgedacht habe, hat isi1 das Problem auf elegante Art und Weise gelöst. Glückwunsch. Ich hätte es - nach einigem Nachdenken - genauso gemacht.
Zunächst den differentiell kleinen Widerstand eines Segmentes mit den Abmessungen [mm] r_2 [/mm] - [mm] r_1, [/mm] b und [mm] d\phi [/mm] als Parallelschaltung differentiell kleiner "Streifen" [mm] b*dr*d\phi [/mm] von [mm] r_1 [/mm] bis [mm] r_2 [/mm] bestimmen und dann alle diese Segmente widerstandsmäßig addieren (integrieren) von 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Der vorgegebene Ansatz E = [mm] \bruch{I*\rho(\phi)}{b*r} [/mm] ist jedenfalls falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 26.12.2009 | | Autor: | johnyan |
Dann stimmt doch mein Beitrag weiter oben oder? Hier nochmal reinkopiert:
Achso, man darf hier also [mm] \rho(\phi) [/mm] durch einen Durchschnittswiderstand ersetzen? ich kann also einen spezifischen Widerstand von [mm] 15\Omega [/mm] m statt der Gleichung benutzen?
Wenn das so wäre, könnte ich den Leiter in infinitesimal kleine parallele Widerstände aufteilen. Und dann über den Leitwert den Widerstand berechnen.
[mm] R=\bruch{1}{G}
[/mm]
[mm] G=\bruch{A}{\rho*l}
[/mm]
[mm]dA=b*dr[/mm] , [mm] l=\bruch{\pi}{2}*r
[/mm]
[mm] G=\integral_{r1}^{r2}{\bruch{b}{\rho*\bruch{\pi}{2}*r} dr}=\bruch{b}{\rho*\bruch{\pi}{2}}*\integral_{r1}^{r2}{\bruch{1}{r} dr}=\bruch{b}{\rho*\bruch{\pi}{2}}*ln\bruch{r2}{r1}
[/mm]
[mm] R=\bruch{1}{\bruch{b}{\rho*\bruch{\pi}{2}}*ln\bruch{r2}{r1}}=\bruch{\rho*\bruch{\pi}{2}}{b*ln\bruch{r2}{r1}}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Sa 26.12.2009 | | Autor: | isi1 |
> Achso, man darf hier also $ [mm] \rho(\phi) [/mm] $ durch einen Durchschnittswiderstand ersetzen?
> ich kann also einen spezifischen Widerstand von $ [mm] 15\Omega [/mm] $ m
> statt der Gleichung benutzen?
Ja das haben wir ja schon gesehen. Es könnte nur sein, dass diese Behauptung bewiesen werden soll, denn wenn sie Dir unmittelbar einleuchtete, würdest Du nicht so fragen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Sa 26.12.2009 | | Autor: | GvC |
Da hast Du meinen vorigen Beitrag falsch verstanden. Du brauchst keinen Durchschnittswert des spezifischen Widerstandes unbewiesen anzunehmen, der ergibt sich automatisch durch das Integrieren. Im Detail:
Nimm zunächst mal ein ganz schmales keilförmiges Segment an, Öffnungswinkel [mm] d\phi, [/mm] Radien [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] sowie Breite b. [mm] d\phi [/mm] ist dabei so klein (differentiell klein), dass [mm]\rho = const.[/mm] Wenn Du den differentiell kleinen Widerstand dR dieses Segmentes bestimmt hast, brauchst Du die in Reihe liegenden differentiell kleinen Widerstände von [mm] \phi=0 [/mm] bis [mm] \phi=\bruch{\pi}{2} [/mm] nur noch aufzusummieren (=integrieren).
Den Widerstand dR eines Segmentes bestimmst Du als Parallelschaltung differentiell kleiner "Streifen" mit den Abmessungen [mm]b*dr*ds = b*dr*r*d\phi[/mm]
[mm] d(\bruch{1}{dR}) [/mm] = [mm] \bruch{b*dr}{\rho*r*d\phi}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{dR} [/mm] = [mm] \int_{r_1}^{r_2}\bruch{b}{\rho*r*d\phi}\,dr [/mm] = [mm] \bruch{b}{\rho*d\phi}*ln \bruch{r_2}{r_1}
[/mm]
Kehrwert: dR = [mm] \bruch{\rho*d\phi}{b*ln\bruch{r_2}{r_1}}
[/mm]
R = [mm] \int_{0}^{\bruch{\pi}{2}}\bruch{\rho}{b*ln\bruch{r_2}{r_1}}\,d\phi [/mm] = [mm] \bruch{\rho_0}{b*ln\bruch{r_2}{r_1}}\int_{0}^{\bruch{\pi}{2}}(1-\bruch{\phi}{\pi})\,d\phi
[/mm]
Wenn Du das Integral ausrechnest, bekommst Du automatisch [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{\pi}{2} [/mm] raus. Das kannst Du mit [mm] \rho_0 [/mm] zusammenfassen zu [mm] \bruch{3}{4}\rho_0*\bruch{\pi}{2} [/mm] und hast automatisch den durchnittlichen spezifischen Widerstand zu [mm] \bruch{3}{4}\rho_0 [/mm] erhalten.
Endergebnis:
R = [mm] \bruch{3*\rho_0*\pi}{8*b*ln\bruch{r_2}{r_1}}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 So 27.12.2009 | | Autor: | johnyan |
ok, dann habe ich eure beiträge falsch verstanden, ich dachte, ihr wolltet den Leiter nur einmal in Parallelschaltungen aufteilen. es wird also zweimal aufgeteilt,
einmal so
[Dateianhang nicht öffentlich]
und einmal so:
[Dateianhang nicht öffentlich]
So stimmts oder? nur eine kurze Frage zu [mm] ds=r*d\phi, [/mm] hätte es auch [mm] ds=\phi*dr [/mm] sein können? Dann kann man die Aufgabe natürlich nicht lösen, aber nur rein von der Möglichkeit her gesehen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 So 27.12.2009 | | Autor: | GvC |
[mm]ds = \phi*dr[/mm] ist blödsinnig. Schau Dir Deine Skizze an. Welche Größe sollte das denn sein? ds ist doch die Bogenlänge (in Strömungsrichtung), und die ist immer Winkel (im vorliegenden Fall differentiell kleiner Winkel) mal Radius. Der Radius wird immer vom Scheitel des Winkels aus gemessen. Wie sonst ist denn ein Winkel definiert?
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