Elektrisches Feld in Kugel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine kugelf¨ormige Wolke mit Radius a = 1 km besitze eine konstante Raumladungsdichte
ρV = 20 nC/m3. Gesucht ist das E-Feld, welches durch die Raumladungsdichte verursacht wird, innerhalb und außerhalb der Kugel. |
Hallo
Ich komme bei der gegeben Aufgabe gerade nicht recht weiter.
Zuerst habe ich die Raumladungsdichte pv über das Volumen der Kugel integriert damit ich die Ladung der Gesamtanordnung habe. Dann habe ich Q in die Gl. : E = Q/ [mm] \varepsilon0*4*\pi*r^2 [/mm] eingesetzt
Aber das scheint mir nicht ganz richtig zu sein, ich weiß allerdings nicht wirklich, wie ich die Sache über die MAXXwellgl. angehen soll!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Di 06.07.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") ,
da ja
[mm] $\rho(\vec{x})=\begin{cases} \rho_0 = \text{const} & \text{fuer } \vec{x} \in V \\ 0 & \text{fuer } \vec{x}\not\in V \end{cases} [/mm] $
ist [mm] $Q_\text{ges} [/mm] = [mm] \int\mathrm{d}^3 [/mm] x [mm] \,\rho [/mm] = [mm] \rho \int_V\mathrm{d}^3x [/mm] = [mm] \rho \cdot [/mm] V$, d.h. man kann sich die Integration eigentlich ersparen, um [mm] $Q_\text{ges}$ [/mm] zu bestimmen.
Zunaechst zu deiner Formel, die du benutzt:
Das ist eine Formel, die fuer das Radialsymmetrische [mm] $\vec{E}$-Feld [/mm] einer Punktladung im Ursprung gilt.
Das kann man dann fuer $r>a$ in deinem Fall anweden (warum?), was man auch mit Hilfe der Maxwell-Gleichung berechnen kann.
Im inneren ist es aber doch so, dass man nur eine geringere Gesamtladung spuert, da man ja [mm] $\rho$ [/mm] jetzt nur bis $r<a$ integriert, und auch die Oberflaeche, ueber die man integriert, entsprechend kleiner ist und deshalb die Formel, die du anwenden wolltest, etwas anders ausschaut.
Fuer deine Berechnung brauchst du dann noch den Gauss'schen Satz:
[mm] $\int\mathrm{d}^3 [/mm] x [mm] \, \nabla \cdot\vec{E} [/mm] = [mm] \int\mathrm{d}\sigma\,\vec{n}\cdot\vec{E}$, [/mm] wobei [mm] $\vec{n}$ [/mm] die Oberflaechennormale ist und [mm] $\mathrm{d}\sigma$ [/mm] das infinitesimale Oberflaechenelement meint.
In deinem Fall ist es aber ja aufgrund der Symmetrie der Ladungsverteilung so, dass [mm] $\vec{E}\propto \vec{e}_r$, [/mm] also dass das E-Feld in radiale Richtung zeigt, und wenn man dann ueber eine Kugeloberflaeche integriert einfach den Betrag des [mm] $\vec{E}$-Feldes [/mm] als [mm] $\vec{n}\cdot\vec{E}$ [/mm] dort stehen hat.
Dieser Hinweis zeigt dir eigentlich schon, welche der Maxwell-Gleichungen du benutzen musst, obwohl es ja nun, da du ja das $E$-Feld bestimmen sollst, wo man eine Quelle hat, mit ein bisschen Erfahrung einleuchtend ist, [mm] $\nabla \cdot \vec{E} [/mm] = [mm] \rho$ [/mm] (bis auf Einheitentechnische Vorfaktoren) zu verwenden.
Hilft dir der Tip schon weiter? Falls du noch weitere Fragen hast, dann einfach nochmal fragen 
LG
Kroni
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Also danke erstmal für die schnelle und ausfühliche Antwort.
Ich habe das jetzt so verstanden, dass ich bei dem E-Feld im inneren der Kugel garnicht die Ladungsdichte aufintegrieren muss, sondern einfach schreiben kann:
(20* [mm] 1/3r^3-cos\pi*2\pi)/\varepsilon0*4\pi*r^2
[/mm]
ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 07.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie du auf die Formel kommst ist mir schleierhaft. Kannst du das erläutern? Welche maxwellgl hast du denn benutzt?
irgendwo muss doch auch die ladungsdichte stehen?
wie kann man von [mm] 1/r^3 [/mm] ne Zahl abziehen? was ist [mm] 5*1/m^3 [/mm] -1??
Gruss leduart
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Ich habe keine Maxwellgl. verwendet. Ich habe Ladungsdichte mal Kugelvolumen = Gesamtladung in folgende Gl. eingesetzt.
E = Q / [mm] \varepsilon0 [/mm] * [mm] 4\pi*r^2
[/mm]
Grüße
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Hallo!
Abgesehen davon, daß uns nicht klar ist, wo z.B. der COS herkommt, ist diese Formel nicht ganz richtig. (Sie stimmt halt für das Feld einer punkt/kugelförmigen Quelle, wenn der Abstand größer als der Radius ist)
Letztendlich gibt es eine Maxwellgleichung, die dir im Falle einer geschlossenen Oberfläche einen Zusammenhang zwischen Oberfläche, E-Feld an der Oberfläche und der eingeschlossenen Ladung verrät.
Das ist erstmal ein Integral, aber durch Nachdenken kommst du anders einfacher auf die Lösung:
Ziehe um deine Ladungswolke mal eine Kugel. Aus Symmetriegründen steht an jedem Punkt ihrer Oberfläche das E-Feld senkrecht dazu, und der Betrag des E-Feldes ist auch überall gleich.
Dieser Satz reicht aus, um das Integral durch Hinschreiben zu lösen!
Wenn deine Kugel so groß ist, daß die ganze Wolke hinein paßt, dann ist die Ladung stets konstant. Vergrößerst du die Kugel, vergrößert sich die Oberfläche, und zwar mit r². Dann muß sich das E-Feld aber mit 1/r² verkleinern. Und so kommst du auf das Abstandsgesetz, das du da schon hingeschrieben hast.
Wenn du die Kugel verkleinerst, verläuft die Kugeloberfläche immernoch mit r², aber irgendwann ist die eingeschlossene Ladung nicht mehr konstant, und DIESEN Zusammenhang mußt du noch einarbeiten.
Kleiner Hinweis: Die Abhängigkeit vom Abstand zum Zentrum ist extrem simpel!
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