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| Aufgabe | Hallo ich probiere gerade eine neue Aufgabe aus und bin wieder mal auf probleme gestoßen.
Und bitte euch wieder mal um hilfe.
Ein Leiter der Länge l besteht aus den Teilleitern I, II, III und IV, die wie abgebildet die
unterschiedlichen Leitfähigkeiten γA und γB besitzen und deren Querschnitte die Form eines
Quadrats (Seitenlänge a) oder eines Viertelkreises (Radius a) haben. Die Stirnflächen sind
durch ideal leitende Kontaktierungen kurzgeschlossen. Über diese wird der Strom I
eingeprägt.
(3.1) Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild für die angegebene Anordnung mit angeschlossener
Gleichstromquelle.
(3.2) Berechnen Sie die elektrischen Feldstärken EI, EII, EIII und EIV sowie die elektrischen
Stromdichten JI, JII, JIII und JIV für die Teilstücke des Leiters.
(3.3) Berechnen Sie die Spannung U, die über dem gesamten Leiterstück abfällt sowie
dessen Widerstand R.
Es wird angenommen, dass es sich bei den verwendeten Materialien bisher um Aluminium
(γA) und Kupfer (γB) handelt. Kupfer besitzt etwa die 1,5 fache Leitfähigkeit von Aluminium.
Aus Kostengründen soll der Leiter nun vollständig aus Aluminium gefertigt werden.
(3.4) Berechen Sie für beide Möglichkeiten (1: teils Kupfer, teils Aluminium; 2: vollständig
Aluminium) die Wirkverlustleistung PV, die im Leiterstück entsteht, und geben Sie die
relativen Mehrverluste in Prozent an, die so durch die Materialeinsparung zustande
kommen würden.
(3.5) Beschreiben Sie, weshalb im vorliegenden Fall die Verschiebungsstromdichte
vernachlässigt werden kann. |
Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> Hallo ich probiere gerade eine neue Aufgabe aus und bin
> wieder mal auf probleme gestoßen.
> Und bitte euch wieder mal um hilfe.
Wieso postest du denn nicht auch einmal deine eigenen Ansätze? Wenn du dir die Aufgaben immer nur vorrechnen lässt, wirst du einen eher bescheidenen Lernfortschritt erfahren.
> Ein Leiter der Länge l besteht aus den Teilleitern I, II,
> III und IV, die wie abgebildet die
> unterschiedlichen Leitfähigkeiten γA und γB besitzen
> und deren Querschnitte die Form eines
> Quadrats (Seitenlänge a) oder eines Viertelkreises
> (Radius a) haben. Die Stirnflächen sind
> durch ideal leitende Kontaktierungen kurzgeschlossen.
> Über diese wird der Strom I
> eingeprägt.
>
>
> (3.1) Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild für die angegebene
> Anordnung mit angeschlossener
> Gleichstromquelle.
> (3.2) Berechnen Sie die elektrischen Feldstärken EI, EII,
> EIII und EIV sowie die elektrischen
> Stromdichten JI, JII, JIII und JIV für die Teilstücke
> des Leiters.
> (3.3) Berechnen Sie die Spannung U, die über dem gesamten
> Leiterstück abfällt sowie
> dessen Widerstand R.
> Es wird angenommen, dass es sich bei den verwendeten
> Materialien bisher um Aluminium
> (γA) und Kupfer (γB) handelt. Kupfer besitzt etwa die
> 1,5 fache Leitfähigkeit von Aluminium.
> Aus Kostengründen soll der Leiter nun vollständig aus
> Aluminium gefertigt werden.
> (3.4) Berechen Sie für beide Möglichkeiten (1: teils
> Kupfer, teils Aluminium; 2: vollständig
> Aluminium) die Wirkverlustleistung PV, die im Leiterstück
> entsteht, und geben Sie die
> relativen Mehrverluste in Prozent an, die so durch die
> Materialeinsparung zustande
> kommen würden.
> (3.5) Beschreiben Sie, weshalb im vorliegenden Fall die
> Verschiebungsstromdichte
> vernachlässigt werden kann.
> Ich habe die frage in keinem forum gestellt.
Ich poste mal einige grundsätzliche Überlegungen in der Hoffnung, dass du sie nicht wieder ignorierst. Die Maxwell´schen Gleichungen für den Fall des stationären Strömungsfeldes [mm] (\bruch{d}{dt}=0) [/mm] lauten wie folgt
(1) [mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{H}*d\vec{s}}=\integral_{A}^{}{\vec{J}*d\vec{A}}\gdw{rot\vec{H}=\vec{J}}
[/mm]
(2) [mm] \integral_{\partial{A}}^{}{\vec{E}*d\vec{s}}=0\gdw{rot\vec{E}=\vec{0}}\Rightarrow\vec{E}=-grad\Phi [/mm] (diese Folgerung stellt einen alternativen Lösungsweg dar!)
(3) [mm] \integral_{\partial{V}}^{}{\vec{D}*d\vec{A}}=\integral_{V}^{}{\varrho{dV}}\gdw{div\vec{D}=\varrho}
[/mm]
(4) [mm] \integral_{\partial{V}}^{}{\vec{B}*d\vec{A}}=0\gdw{div\vec{B}=0}
[/mm]
mit den Materialbeziehungen
(5) [mm] \vec{D}=\varepsilon\vec{E}
[/mm]
(6) [mm] \vec{J}=\kappa\vec{E}
[/mm]
(7) [mm] \vec{B}=\mu\vec{H}
[/mm]
Das Problem sollte zunächst in zwei inhomogene Bereiche aufgetrennt werden. Den linken zylindrischen Teil des Werkstücks (nachfolgend Werkstück (a) genannt) würde man dann im Zylinderkoordinatensystem [mm] (\varrho,\varphi,z) [/mm] betrachten, während man den rechten quaderförmigen Teil (nachfolgend Werkstück (b) genannt) in kartesischen Koordinaten (x,y,z) bearbeiten könnte. Die jeweiligen Stirnseiten liegen dabei in der [mm] \varrho\varphi-Ebene, [/mm] bzw. in der xy-Ebene.
Der Strom wird nun über die Stirnseite des gesamten Werkstücks eingespeist. Unter der Voraussetzung homogener, isotroper und linearer Leitfähigkeiten weist die elektrische Stromdichte gemäß Gleichung (1) und somit auch die elektrische Feldstärke gemäß Gleichung (6) in longitudinale Richtung.
Ferner weist nun der linke Teil des Werkstücks, (a), eine Abhängigkeit vom Azimutwinkel [mm] \varphi [/mm] auf. Der rechte Teil des Werkstücks wiederum ist abhängig von der kartesischen Richtung y. Diesbezüglich kann man sich überlegen, von welchen Raumrichtungen Äquipotentialflächen aufgespannt werden. Für Werkstück (a) erhält man diese durch die Spannvektoren [mm] \vec{e}_{\varrho} [/mm] und [mm] \vec{e}_{z}. [/mm] Für das Werkstück (b) hingegen erhält man diese durch die Richtungsvektoren [mm] \vec{e}_{x} [/mm] und [mm] \vec{e}_{z}. [/mm] Es ergibt sich also für
(8) Werkstück (a): [mm] \vec{J}=J_{z}(\varphi)\vec{e}_{z} [/mm] bzw. [mm] \vec{E}=E_{z}(\varphi)\vec{e}_{z} [/mm] und für
(9) Werkstück (b): [mm] \vec{J}=J_{z}(y)\vec{e}_{z} [/mm] bzw. [mm] \vec{E}=E_{z}(y)\vec{e}_{z} [/mm]
Mit Hilfe dieser Überlegungen kann man dann sofort auch verwendbare Stetigkeitsbedingungen herausfiltern, auf die man im weiteren Verlauf der Rechnung sicherlich zurückgreifen wird. Im Rahmen einer Problembetrachtung im stationären elektrischen Strömungsfeld liegen bezüglich einer Grenzflächenbetrachtung die folgenden Kandidaten vor
(10) [mm] \vec{n}_{12}*\vektor{\vec{D}_{2}-\vec{D}_{1}}=\sigma
[/mm]
(11) [mm] \vec{n}_{12}*\vektor{\vec{J}_{2}-\vec{J}_{1}}=0
[/mm]
(12) [mm] \vec{n}_{12}\times\vektor{\vec{E}_{2}-\vec{E}_{1}}=0,
[/mm]
wobei der [mm] \vec{n}_{12} [/mm] jeweils den Normalenvektor beschreibt, der von Raumteil 1 in Raumteil 2 zeigt. Gleichung (10) scheidet sofort aus, da die Ladungsverteilung gemäß Aufgabenstellung a priori nicht bekannt ist. Gleichung (11) scheidet ebenfalls aus, da bezüglich der gegebenen Anordnung des stromdurchflossenen Leiters lediglich Tangentialkomponenten der vektoriellen Größen [mm] \vec{J} [/mm] und [mm] \vec{E} [/mm] vorliegen; Normalkomponenten existieren hier also nicht. Für die vorliegende Problematik ist also das Wissen über die Stetigkeit der Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärke am Grenzübergang in ein Medium mit abweichender elektrischer Leitfähigkeit brauchbar.
Aufgabenteil 1 müsstest du jetzt eigentlich recht einfach lösen können. Kannst du einen Vorschlag machen? Bezüglich Aufgabenteil 2 folgt mit Gleichung (1) unmittelbar
(13) [mm] I=\integral_{A}^{}{\vec{J}_{1z}*d\vec{A}_{1}}+\integral_{A}^{}{\vec{J}_{2z}*d\vec{A}_{2}}+\integral_{A}^{}{\vec{J}_{3z}*d\vec{A}_{3}}+\integral_{A}^{}{\vec{J}_{4z}*d\vec{A}_{4}}, [/mm]
wobei man für die Bereiche 1 und 3 jeweils die Terme
(14) [mm] \integral_{\varphi=0}^{\bruch{\pi}{2}}{}\integral_{\varrho=0}^{a}{J_{z}\vec{e}_{z}*\vec{e}_{z}\varrho{d\varrho}{d\varphi}}=...?
[/mm]
und für die Bereiche 2 und 4 jeweils die Terme
(15) [mm] \integral_{y=0}^{a}{}\integral_{x=0}^{a}{J_{z}\vec{e}_{z}*\vec{e}_{z}{dx}{dy}}=...?
[/mm]
erhält. Nimm dir jetzt mal etwas Zeit und versuche die Dinge einmal nachzuvollziehen. Deine weiteren Berechnungen sollten fortan auf Gleichung (13) beruhen. Dazu versuche einmal Gleichung (13) mit den Gleichungen (6), (8), (9), (12), (14) und (15) zu kombinieren. Denke vor allem an die Stetigkeit der Tangentialkomponenten der elektrischen Feldstärke am Grenzübergang in ein Medium mit abweichender Materialeigenschaft. Welche wichtige Aussage kannst du diesbezüglich über die elektrische Feldstärke in Gleichung (13) machen? Auch ein Blick auf deine hoffentlich korrekte Lösungsskizze aus Aufgabenteil 1 kann dir bei der Beantwortung dieser Frage helfen.
Viele Grüße und frohes Schaffen, Marcel
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Die Fläche gamma 2 und gamma 4 habe ich mit der Formel = [mm] a^2 [/mm] berechnet , da es ein Quadrat ist.
Aber wie mache ich das mit den Teilstüchen 1 und 3 .
Da ist ja ein viertelkreis.
Kreisfläche berechnet man ja mit der Fromel [mm] pi*r^2
[/mm]
Aber wie von einem Viertelkreis?
Und hier noch mein ansatz was ich bisher gerechnet habe .
Ist es soweit richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 08.02.2012 | | Autor: | GvC |
Nun mach' Dich aber mal nicht lächerlich! Wenn Du die Fläche eines Vollkreises berechnen kannst, dann wirst Du doch wohl noch ein Viertel davon bestimmen können.
Wenn Du weiterhin solche Fragen stellst, brauchst Du Dich nicht zu wundern, wenn Du keine Antworten mehr bekommst. Wir sind hier doch nicht im Kindergarten!
Im Übrigen bist Du bereits mehrfach gebeten worden, den Formeleditor zu benutzen. Ich weigere mich, Dein Gekrakel auch nur anzuschauen.
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Hallo!
> Die Fläche gamma 2 und gamma 4 habe ich mit der Formel =
> [mm]a^2[/mm] berechnet , da es ein Quadrat ist.
>
> Aber wie mache ich das mit den Teilstüchen 1 und 3 .
> Da ist ja ein viertelkreis.
> Kreisfläche berechnet man ja mit der Fromel [mm]pi*r^2[/mm]
>
> Aber wie von einem Viertelkreis?
Gleichung (14) aus meinem vorherigen Post liefert die Antwort auf deine Frage. Alternativ tut´s auch eine Formelsammlung, bzw. ein Mathebuch aus der Schulzeit.
> Und hier noch mein ansatz was ich bisher gerechnet habe .
>
> Ist es soweit richtig?
Nein. Deine Rechnung scheitert bereits bei der Aufstellung des Durchflutungsgesetzes. Es fehlt, bzw. zu bemängeln ist
a) ein weiteres Integral zwecks Kennzeichnung einer Flächenintegration
b) die Orientierung des infinitesimal kleinen Flächenteilstücks [mm] d\vec{A}. [/mm] Wie lautet diesbezüglich der Normalenvektor?
c) Außerdem stimmt die Indexbezeichnung der Stromdichte nicht. Beachte, dass die Stromdichte im Zuge der longitudinalen Stromeinspeisung gemäß Gleichung (1) in z-Richtung weist. Dies gilt sowohl im kartesischen als auch im Zylinderkoordinatensystem.
d) Ferner handelt es sich bei der vorliegenden Anordnung um eine Parallelschaltung von Widerständen (Tipp: Skizze!), sodass sich die Ströme gemäß des Durchflutungsgesetzes (und wegen [mm] \bruch{d}{dt}=0 [/mm] auch wegen des ersten Kirchhoff´schen Gesetzes) jeweils aufteilen. Die rechte Seite von Gleichung (1) besteht also aus ingesamt vier Summanden, da das vorliegende Werkstück in insgesamt vier homogene Bereiche aufgetrennt werden kann. (vgl. dazu auch Gleichung (13)!)
Schaue dir doch einfach meinen ersten Post an. Ich habe dir die ganze Geschichte extra mehr als ausführlich erläutert. Du brauchst im Prinzip nur noch richtig einsetzen und vereinfachen.
Viele Grüße, Marcel
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Hallo ich hab bisschen was gerechnet und bekomme folendes raus.
Tut mir leid das ich wieder eine paint datei schicke .
Das mit dem formeleditor funktioniert nicht so gut bei mir.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo!
> Hallo ich hab bisschen was gerechnet und bekomme folendes
> raus.
> Tut mir leid das ich wieder eine paint datei schicke .
> Das mit dem formeleditor funktioniert nicht so gut bei
> mir.
Deine Rechnung ist falsch; es fehlen jeweils zwei Summanden.
Viele Grüße, Marcel
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