Element außerhalb Spans finden < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist 1 + x + [mm] x^2, [/mm] 1 - x + [mm] 3x^2, [/mm] 1 + 3x - [mm] x^2 [/mm] eine Basis für [mm] P_2(\IR)? [/mm] |
Hey, wieder eine Frage :)
Ich habe zunächst mal geschaut, ob die drei Funktionen linear unabhängig sind. Also:
a(1 + x + [mm] x^2) [/mm] + b(1 - x + [mm] 3x^2) [/mm] + c(1 + 3x - [mm] x^2) [/mm] = 0, a, b, c [mm] \in \IR
[/mm]
Ich habe dann ein lineares Gleichungssystem aufgestellt. Die Anfangsmatrix ist:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -1 }
[/mm]
Hier kriege ich raus, dass a = -2c und b = c. Wenn ich jetzt in der Gleichung oben a und b ersetze, erhalte ich:
(-2c)(1 + x + [mm] x^2) [/mm] + c(1- x + [mm] 3x^2) [/mm] + 1(1 + 3x - [mm] x^2) [/mm] = 0, c [mm] \in \IR
[/mm]
Hier kann ich dann einen konkreten Wert für c verwenden, z.B. c = 1, was mir gibt:
(-2)(1 + x + [mm] x^2) [/mm] + (1- x + [mm] 3x^2) [/mm] + (1 + 3x - [mm] x^2) [/mm] = 0
Jetzt kann ich die letzte Gleichung auf beiden Seiten subtrahieren und schließlich mit (-1) multiplizieren:
2(1 + x + [mm] x^2) [/mm] - (1- x + [mm] 3x^2) [/mm] = (1 + 3x - [mm] x^2) [/mm]
Hiermit müsste ich dann ja gezeigt haben, dass die drei Gleichungen nicht linear unabhängig sind, weil ich eine der Gleichungen in diesem konkreten Fall schreiben kann als lineare Kombination der anderen zwei.
Jetzt kommt das Problem. Laut Dozent müssen wir jetzt eine Gleichung finden, wofür das Folgende nicht gilt:
a(1 + x + [mm] x^2) [/mm] + b(x - x + [mm] 3x^2) [/mm] = (a + b) + (a - b)x + (a + [mm] 3b)x^2, [/mm] a, b [mm] \in \IR
[/mm]
weil ja a(1 + x + [mm] x^2) [/mm] + b(1 - x + [mm] 3x^2) [/mm] = a + ax + [mm] ax^2 [/mm] + b - bx + [mm] 3bx^2 [/mm] = (a + b) + (a - b)x + (a + [mm] 3b)x^2. [/mm] Da wir ja gezeigt haben, dass man eigentlich nur die ersten zwei Gleichungen als Basis braucht, kann man die dritte hier weglassen. Nur wie finde ich jetzt eine Gleichung, die die Gleichung oben nicht aufgehen lässt? Was mich, glaub ich, verwirrt, ist, dass der Teil auf der rechten Seite ja im Prinzip äquivalent mit dem auf der linken Seite ist.
Vielen Dank an alle Helfer :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 14.09.2014 | | Autor: | hippias |
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> Jetzt kommt das Problem. Laut Dozent müssen wir jetzt eine
> Gleichung finden, wofür das Folgende nicht gilt:
>
> a(1 + x + [mm]x^2)[/mm] + b(x - x + [mm]3x^2)[/mm] = (a + b) + (a - b)x + (a
> + [mm]3b)x^2,[/mm] a, b [mm]\in \IR[/mm]
>
> weil ja a(1 + x + [mm]x^2)[/mm] + b(1 - x + [mm]3x^2)[/mm] = a + ax + [mm]ax^2[/mm] +
> b - bx + [mm]3bx^2[/mm] = (a + b) + (a - b)x + (a + [mm]3b)x^2.[/mm] Da wir
> ja gezeigt haben, dass man eigentlich nur die ersten zwei
> Gleichungen als Basis braucht, kann man die dritte hier
> weglassen. Nur wie finde ich jetzt eine Gleichung, die die
> Gleichung oben nicht aufgehen lässt? Was mich, glaub ich,
> verwirrt, ist, dass der Teil auf der rechten Seite ja im
> Prinzip äquivalent mit dem auf der linken Seite ist.
Anders gesagt sollst Du ein Element des [mm] $P_2(\IR)$ [/mm] angeben, das nicht in dem von $1 + x + [mm] x^2$, [/mm] $1 - x + [mm] 3x^2$ [/mm] aufgespanntem Raum liegt. Da der ganze Raum immer "viel mehr" Elemente hat als einer seiner Teilraeume, koenntest Du ein zufaelliges Element [mm] $\in P_2(\IR)$ [/mm] hernehmen: wahrscheinlich hat es die Eigenschaft nicht in dem Unterraum zu liegen.
Aber so ist es systematischer: Du hast bestimmt auch schon Basen von Unterraeumen zu Basen des ganzen Raumes erweitert. Wenn Du das hier auch machst, erhaelst Du ja auch ein Polynom, das nicht in dem Unterraum liegt.
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> Vielen Dank an alle Helfer :)
>
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Danke für die Antwort.
Ich muss nur dazu sagen, dass ich kein Mathematikstudent bin und deshalb auch noch nie eine solche Basiserweiterung vorgenommen habe. Ich brauche daher leider mehr Anstöße und Hilfe, um so ein Problem angehen zu können. Und soweit ich weiß, muss ich eine konrekte Funktion haben, die nicht zu machen ist mit Hilfe der linearen Kombination der unten genannten Funktionen.
Wenn ich so eine Funktion gefunden habe, kann ich die Aufgabenstellung, ob die drei Funktionen eine Basis für [mm] P_2(\IR) [/mm] sind, doch mit einem "Nein" beantworten, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 14.09.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Danke für die Antwort.
>
> Ich muss nur dazu sagen, dass ich kein Mathematikstudent
> bin und deshalb auch noch nie eine solche Basiserweiterung
> vorgenommen habe. Ich brauche daher leider mehr Anstöße
> und Hilfe, um so ein Problem angehen zu können. Und soweit
> ich weiß, muss ich eine konrekte Funktion haben, die nicht
> zu machen ist mit Hilfe der linearen Kombination der unten
> genannten Funktionen.
>
> Wenn ich so eine Funktion gefunden habe, kann ich die
> Aufgabenstellung, ob die drei Funktionen eine Basis für
> [mm]P_2(\IR)[/mm] sind, doch mit einem "Nein" beantworten, oder?
Das kannst du doch schon nachdem du erkannt hast, dass die drei gegebenen Funktionen linear abhängig sind.
Abgesehen davon, dass man recht bald sieht, dass die Summe der letzten beiden Funktionen das Doppelte der ersten ergibt, folgt das u.a. auch schon daraus dass die Koeffizientenmatrix deines lin. Gleichungssystems Null ist. Das bedeutet, dass es keine eindeutige Lösung gibt. Aslo entweder keine, oder mehr als eine. Da a=b=c=0 auf jeden Fall eine Lösung ist ergibt sich daraus, dass es auch noch mind. eine weitere Lösung für a,b,c gibt, bei der nicht jeder der drei Koeffizienen a,b,c Null ist - daraus folgt auch die lineare Abhängigkeit.
Gruß RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:08 Mo 15.09.2014 | | Autor: | hippias |
> Danke für die Antwort.
>
> Ich muss nur dazu sagen, dass ich kein Mathematikstudent
> bin und deshalb auch noch nie eine solche Basiserweiterung
> vorgenommen habe.
Das ist wirklich kein Problem.
> Ich brauche daher leider mehr Anstöße
> und Hilfe, um so ein Problem angehen zu können. Und soweit
> ich weiß, muss ich eine konrekte Funktion haben, die nicht
> zu machen ist mit Hilfe der linearen Kombination der unten
> genannten Funktionen.
Wie bereits gesagt: Wenn Du irgendein Polynom aus [mm] $P_{2}(\IR)$ [/mm] nimmst, wird es mit hoher Wahrscheinlichkeit die gewuenschte Eigenschaft haben. Dann muesstest Du nur noch $a(1 + x + $ [mm] x^2) [/mm] + b(x - x + $ [mm] 3x^2) [/mm] = $ ausgedachte Funktion setzen und nachrechnen, dass die Gleichung nicht aufgeht.
Aber das ist nicht so schoen. Wenn Du Basisergaenzungen noch nicht gelernt hast, dann mach es so: Du weisst bereits, dass die Linearkombinationen die Gestalt $(a + b) + (a - b)x + (a + [mm] 3b)x^2 [/mm] $ mit $ a, b [mm] \in \IR [/mm] $ haben. Waehle also irgendwelche Beispiele fuer $a,b$ und berechne dementsprechend die Koeffizienten der Linearkombination. Ein Polynom, das nicht in dem Unterraum liegt, erhaelst Du dann so, indem Du einen der Koeffizienten in dem eben berechneten Polynom abaenderst. Mache auch die Probe!
In diesem Beispiel spielt es keine Rolle, welchen Koeffizient Du abaenderst, bei einem anderen muesste man vielleicht genauer aufpassen.
>
> Wenn ich so eine Funktion gefunden habe, kann ich die
> Aufgabenstellung, ob die drei Funktionen eine Basis für
> [mm]P_2(\IR)[/mm] sind, doch mit einem "Nein" beantworten, oder?
Gegenfrage: Wann bilden $3$ Vektoren eines $3$-dimensionalen Raumes eine Basis?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist 1 + x + [mm]x^2,[/mm] 1 - x + [mm]3x^2,[/mm] 1 + 3x - [mm]x^2[/mm] eine Basis für
> [mm]P_2(\IR)?[/mm]
> Hey, wieder eine Frage :)
>
> Ich habe zunächst mal geschaut, ob die drei Funktionen
> linear unabhängig sind. Also:
>
> a(1 + x + [mm]x^2)[/mm] + b(1 - x + [mm]3x^2)[/mm] + c(1 + 3x - [mm]x^2)[/mm] = 0, a,
> b, c [mm]\in \IR[/mm]
>
> Ich habe dann ein lineares Gleichungssystem aufgestellt.
> Die Anfangsmatrix ist:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -1 }[/mm]
hier gilt ja offensichtlich (ich schreibe [mm] $(a,b,c)^T=\vektor{a\\b\\c}$ [/mm] - falls Du die Notation
für's Transponieren nicht kennen solltest)
[mm] $2*(1,1,1)^T=(1,-1,3)^T+(1,3,-1)^T$
[/mm]
Damit ist der Spaltenraum der Matrix gegeben durch
[mm] $\text{SR}=\{r*(1,1,1)^T+s*(1,-1,3)^T:\;\;r,s \in \IR\}$
[/mm]
(Nachvollziehbar? "Kleiner" kann man das nicht schreiben - warum?)
Jedes Element des Spaltenraums hat also eine Darstellung
[mm] $(r_0+s_0,r_0-s_0,r_0+3s_0)^T$ [/mm] mit festen [mm] $r_0,s_0 \in \IR\,.$
[/mm]
Um nun ein [mm] $(a_0,b_0,c_0)^T \in \IR^3$ [/mm] zu finden, dass nicht in dem Spaltenraum liegt,
muss also das durch die folgende Gleichung gegebene Gleichungssystem
[mm] $\pmat{1 & 1 & 0\\1&-1&0\\1&3&0}*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{a_0\\b_0\\c_0}$
[/mm]
so geschaffen sein, dass es keine Lösung (in dem Tripel $(x,y,z) [mm] \in \IR^{1 \times 3}$) [/mm] hat.
Da
[mm] $A*\vec{x}=\vec{b}$
[/mm]
genau dann lösbar ist, wenn
[mm] $\text{Rang}(A)=\text{Rang}(A|\vec{b})\,,$
[/mm]
suchst Du hier folglich [mm] $(a_0,b_0,c_0)^T$ [/mm] mit
[mm] $\det(\;\pmat{1 & 1 & a_0\\1&-1&b_0\\1&3&c_0}\;) \not=0\,.$
[/mm]
Letzteres liegt hier daran, dass oben
[mm] $\text{Rang}(\;\pmat{1 & 1 & 0\\1&-1&0\\1&3&0}\;)=2$
[/mm]
ist.
Sobald Du ein Tripel [mm] $(a_0,b_0,c_0)$ [/mm] wie oben gewünscht gefunden hast, berechnest
Du natürlich noch
[mm] $a_0*1+b_0*x+c_0*x^2$
[/mm]
Dieses Element liegt nicht in dem Span der ganz oben angegebenen Polynome,
weil [mm] $(a_0,b_0,c_0)^T$ [/mm] nicht zu [mm] $\text{SR}$ [/mm] gehört.
Ein bisschen wichtig ist übrigens, dass Du den [mm] $P_2(\IR)$ [/mm] mit [mm] $\IR^3$ [/mm] identifizierst
vermöge
[mm] $(\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] 1 [mm] \in \IR) \mapsto (1,0,0)^T,$
[/mm]
[mm] $(\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \in \IR) \mapsto (0,1,0)^T,$
[/mm]
[mm] $(\IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto x^2 \in \IR) \mapsto (0,0,1)^T.$
[/mm]
Und rechts stehen offensichtlich Basisvektoren einer Basis des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] zudem
steht auch linkerhand eine Basis von [mm] $P_2(\IR).$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Ok, danke sehr :)
Wenn ich jetzt für [mm] (a_0, b_0, c_0)^{T} [/mm] (1, 0, [mm] 0)^{T} [/mm] wähle, dann erhalte ich
1*1 + 0*x + [mm] 0*x^2
[/mm]
Den Vektor habe ich gewählt, weil die Determinante von [mm] \pmat{1&1&1\\1&-1&0\\1&3&0} [/mm] gleich 4 vier ist.
Dann müsste ja gelten a(1 + x + [mm] x^2) [/mm] + b(1 - x + [mm] 3x^2) \not= [/mm] 1*1 + 0*x + [mm] 0*x^2 [/mm] für bestimmte a, b [mm] \in \IR, [/mm] oder? Sprich, das Element 1*1 + 0*x + [mm] 0*x^2 [/mm] liegt nicht im Span der genannten Polynome.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, danke sehr :)
>
> Wenn ich jetzt für [mm](a_0, b_0, c_0)^{T}[/mm] (1, 0, [mm]0)^{T}[/mm]
> wähle, dann erhalte ich
>
> 1*1 + 0*x + [mm]0*x^2[/mm]
>
> Den Vektor habe ich gewählt, weil die Determinante von
> [mm]\pmat{1&1&1\\1&-1&0\\1&3&0}[/mm] gleich 4 vier ist.
>
> Dann müsste ja gelten a(1 + x + [mm]x^2)[/mm] + b(1 - x + [mm]3x^2) \not=[/mm]
> 1*1 + 0*x + [mm]0*x^2[/mm] für bestimmte a, b [mm]\in \IR,[/mm] oder?
Deine Logik ist verquert:
Es darf kein Paar $(a,b) [mm] \in \IR^{1 \times 2}$ [/mm] so geben, dass
[mm] $a*(1+x+x^2)+b*(1-x+3x^2)=1*1+0*x+0*x^2$ [/mm] für alle(!) [mm] $x\,$
[/mm]
gilt. Anders gesagt:
Für alle Paare $(a,b) [mm] \in \IR^{1 \times 2}$ [/mm] muss
[mm] $a*(1+x+x^2)+b*(1-x+3x^2) \red{\;\neq\;}1*1+0*x+0*x^2$ [/mm] für wenigstens ein(!) [mm] $x\,$
[/mm]
sein.
Wobei Du hier schon eine gewisse *Reduktion* vorgenommen hast.
> Sprich, das Element 1*1 + 0*x + [mm]0*x^2[/mm] liegt nicht im Span
> der genannten Polynome.
Ohne die *Reduktion* wäre nachzuweisen:
Es gibt kein Tripel $(a,b,c) [mm] \in \IR^{1 \times 3}$ [/mm] derart, dass
[mm] $a*(1+x+x^2)+b*(1-x+3x^2)+c*(1+3x-x^2) \equiv 1\,.$
[/mm]
Hinweis: [mm] $f(x)\equiv g(x)\,$ [/mm] ist eine Kurznotation, die bedeutet, dass [mm] $f(x)=g(x)\,$ [/mm]
für alle(!) [mm] $x\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Gut, ich hab dann mit dem Vektor (1, 0, [mm] 0)^T [/mm] noch mal versucht
[mm] a\cdot{}(1+x+x^2)+b\cdot{}(1-x+3x^2) \equiv 1\
[/mm]
zu lösen (denn ich hab ja gezeigt, dass die dritte Gleichung nicht notwendig ist):
$ a+b=1 $
$ a-b=0 $
$ a+3b=0 $
Woraus sich ergibt:
$ [mm] a+0=\bruch{1}{2} [/mm] $
$ [mm] 0+b=-\bruch{1}{2} [/mm] $
$ 0+0+0=-2 $
Die letzte Zeile gibt damit an, dass es keine Lösung für das Gleichungssystem gibt, wenn ich das richtig verstehe.
Ist hiermit dann bewiesen, dass es kein Paar $ (a, b) [mm] \in \IR^{(1 \times 2)} [/mm] $ gibt, das die oben genannte Gleichung für alle $ x $ wahr macht? Ist das jetzt ein besserer Ansatz?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gut, ich hab dann mit dem Vektor (1, 0, [mm]0)^T[/mm] noch mal
> versucht
>
> [mm]a\cdot{}(1+x+x^2)+b\cdot{}(1-x+3x^2) \equiv 1\[/mm]
>
> zu lösen (denn ich hab ja gezeigt, dass die dritte
> Gleichung nicht notwendig ist):
soweit ich mich erinnere, hatte ich gezeigt, dass die dritte Variable nicht
gebraucht wird. Kann sein, dass sowas bei Dir auch drin steht. Aber welche
dritte Gleichung nicht nötig sein soll, das weiß ich nicht...
(I) [mm]a+b=1[/mm]
(II) [mm]a-b=0[/mm]
(III) [mm]a+3b=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Woraus sich ergibt:
>
> [mm]a+0=\bruch{1}{2}[/mm]
Du solltest aber erwähnen, was Du gerechnet hast. ((I)+(II).)
> [mm]0+b=-\bruch{1}{2}[/mm]
Hier hast Du wohl (I)-(III) gerechnet und weiter umgeformt. Ich hätte
einfach $a=1/2$ in (I) (oder zwei) eingesetzt und dann [mm] $b=1/2\,$ [/mm] erhalten,
und dann gesehen, dass damit (III) nicht erfüllt sein kann. (Ist die Logik klar?
Das LGS, welches nur aus (I) und (II) besteht, hat nur die Lösung [mm] $a=b=1/2\,.$
[/mm]
Diese erfüllt aber (III) nicht!)
> [mm]0+0+0=-2[/mm]
>
> Die letzte Zeile gibt damit an, dass es keine Lösung für
> das Gleichungssystem gibt, wenn ich das richtig verstehe.
Wenn Du mal dazuschreibst, was Du rechnest, kann ich das auch beurteilen.
So kann es richtig sein, aber ich kann es nicht beurteilen, weil Du Deine
Rechenschritte nicht nachvollziehbar hinschreibst!
> Ist hiermit dann bewiesen, dass es kein Paar [mm](a, b) \in \IR^{(1 \times 2)}[/mm]
> gibt, das die oben genannte Gleichung für alle [mm]x[/mm] wahr
> macht? Ist das jetzt ein besserer Ansatz?
Ja. Aber wenn Du mal guckst: Da steht nichts erstaunlich Neues. Du hast
Dich nur noch mal durch konkretes Nachrechnen davon überzeugt, dass
die Methode, mit der wir ein Element, was nicht in dem genannten Span
liegt, *konstruieren* konnten, uns auch tatsächlich ein konkretes Element
wie gewünscht erzeugt hat.
Wenn Du mal oben guckst:
Im Endeffekt schreibst Du nochmal die Frage hin, ob das GLS
[mm] $\pmat{1 & 1 & 0\\1&-1&0\\1&3&0}*\vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
lösbar ist in den Variablen [mm] $x,y,z\,$ [/mm] (die heißen bei Dir nur [mm] $a,b,c\,$).
[/mm]
Und jetzt begutachtest Du diese Frage nur mit einem "Lösungsalgorithmus".
(I.A. schmeißt man wohl immer mal schnell das Gaußverfahren drauf.)
Aber da ich die Beweise der Theorie ja kenne, verwundert es mich nicht,
dass das konkrete Nachrechnen genau das liefert, was ich vorhersagte. 
Gruß,
Marcel
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Hallo,
>
> Wenn Du mal dazuschreibst, was Du rechnest, kann ich das
> auch beurteilen.
> So kann es richtig sein, aber ich kann es nicht
> beurteilen, weil Du Deine
> Rechenschritte nicht nachvollziehbar hinschreibst!
>
Werde ich jetzt tun. Ich hab jetzt noch mal mit dem Folgenden angefangen:
$ [mm] \pmat{1 & 1 & 0\\1&-1&0\\1&3&0}\cdot{}\vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\0\\0} [/mm] $
Hieraus ergibt sich:
$ x + y =1 $
$ x-y=0 $
$ x+3y=0 $
Jetzt rechne ich II - I sowie III - I
$ x + y = 1 $
$ 0-2y=-1 $
$ 0+2y=-1 $
multipliziere II mit $ [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] $ und erhalte
$ x+y=1 $
$ [mm] 0+y=\bruch{1}{2} [/mm] $
$ 0+2y=-1 $
Weiterhin rechne ich I - II und III - 2II:
$ x+0 = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
$ 0+y = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
$ 0+0=-2 $
Vorhin meinte ich, dass hier die letzte Zeile einen Widerspruch erzeugt, der mich dazu verleitet, zu sagen, dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat (wobei ich hoffe, dass der Rechenweg jetzt deutlicher ist).
Ich hab jetzt eigentlich nichts wirklich Anderes getan als vorhin, nur eben mit Rechenweg. Dass ich hier ein Element "konstruiert" habe $ [mm] (\vektor{1\\0\\0}) [/mm] $, das nicht mit den Basiselementen erzeugt werden kann, war ja das Ziel, oder? Es kann aber sein, dass ich wieder mal etwas Wichtiges übersehe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> >
> > Wenn Du mal dazuschreibst, was Du rechnest, kann ich das
> > auch beurteilen.
> > So kann es richtig sein, aber ich kann es nicht
> > beurteilen, weil Du Deine
> > Rechenschritte nicht nachvollziehbar hinschreibst!
> >
>
> Werde ich jetzt tun. Ich hab jetzt noch mal mit dem
> Folgenden angefangen:
>
> [mm]\pmat{1 & 1 & 0\\1&-1&0\\1&3&0}\cdot{}\vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\0\\0}[/mm]
>
> Hieraus ergibt sich:
>
> [mm]x + y =1[/mm]
> [mm]x-y=0[/mm]
> [mm]x+3y=0[/mm]
>
> Jetzt rechne ich II - I sowie III - I
>
> [mm]x + y = 1[/mm]
> [mm]0-2y=-1[/mm]
> [mm]0+2y=-1[/mm]
>
> multipliziere II mit [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] und erhalte
>
> [mm]x+y=1[/mm]
> [mm]0+y=\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]0+2y=-1[/mm]
Hier könntest Du aber schon aufhören. Die zweite Zeile besagt [mm] $y=1/2\,,$
[/mm]
die dritte [mm] $y=-1/2\,.$ [/mm]
> Weiterhin rechne ich I - II und III - 2II:
>
> [mm]x+0 = \bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]0+y = \bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]0+0=-2[/mm]
Ja klar, so hast Du auch einen Widerspruch.
> Vorhin meinte ich, dass hier die letzte Zeile einen
> Widerspruch erzeugt, der mich dazu verleitet, zu sagen,
> dass das Gleichungssystem keine Lösungen hat (wobei ich
> hoffe, dass der Rechenweg jetzt deutlicher ist).
> Ich hab jetzt eigentlich nichts wirklich Anderes getan als
> vorhin, nur eben mit Rechenweg. Dass ich hier ein Element
> "konstruiert" habe [mm](\vektor{1\\0\\0}) [/mm], das nicht mit den
> Bas iselementen erzeugt werden kann, war ja das Ziel, oder?
So habe ich Deine Aufgabe/Frage verstanden.
> Es kann aber sein, dass ich wieder mal etwas Wichtiges
> übersehe.
So ist's okay, denke ich (kann natürlich sein, dass ich auch mal einen
Rechenfehler mache oder übersehe).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Di 16.09.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Ich danke dir wieder einmal für deine Zeit und Hilfe. Ich denke, ich hab das Wichtigste verstanden.
Natürlich werde ich mich bald wieder melden :P
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