Element mit Ordnung p < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und p eine Primzahl, die die Gruppenordnung von G teilt. Sei [mm] g\in G\backslash\{e\}, [/mm] so dass p die Elementordnung von g nicht teilt.
Gibt es dann in der Faktorgruppe G/<g> ein Element der Ordnung p? |
Hallo,
in einem mir vorliegenden Beweis wird eben diese Existenz eines Elements mit Ordnung p in der Faktorgruppe angenommen, ohne aber überhaupt zu begründen, dass ein solches Element existiert.
Wenn nun p die Elementordnung von f nicht teilt, aber die Gruppenordnung von G, dann gilt nach Lagrange, dass p | |G/<g>|. Die Ordnung jedes Elements aus der Faktorgruppe teilt nun wieder die Gruppenordnung selbst. Gilt nun aber |G/<g>|=kp für ein [mm] k\in[/mm] [mm] \mathbb{N} [/mm], so muss doch theoretisch nicht unbedingt ein Element in der Faktorgruppe existieren, dass Ordnung p hat oder?
Naja scheinbar schon, ansonsten ist der mir vorliegende Beweis falsch, aber ich sehe das nicht wirklich.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:53 Mi 29.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei G eine Gruppe und p eine Primzahl, die die
> Gruppenordnung von G teilt. Sei [mm]g\in G\backslash\{e\},[/mm] so
> dass p die Elementordnung von g nicht teilt.
> Gibt es dann in der Faktorgruppe G/<g> ein Element der
> Ordnung p?
>
> in einem mir vorliegenden Beweis wird eben diese Existenz
> eines Elements mit Ordnung p in der Faktorgruppe
> angenommen, ohne aber überhaupt zu begründen, dass ein
> solches Element existiert.
>
> Wenn nun p die Elementordnung von f nicht teilt, aber die
> Gruppenordnung von G, dann gilt nach Lagrange, dass p |
> |G/<g>|. Die Ordnung jedes Elements aus der Faktorgruppe
> teilt nun wieder die Gruppenordnung selbst. Gilt nun aber
> |G/<g>|=kp für ein [mm]k\in[/mm] [mm]\mathbb{N} [/mm], so muss doch
> theoretisch nicht unbedingt ein Element in der Faktorgruppe
> existieren, dass Ordnung p hat oder?
Du hast Recht, a priori muss so ein Element nicht existieren. Dass es dennoch existiert, sagt der ![[]](/images/popup.gif) Satz von Cauchy. (Man kann diesen leicht mit den Sylow-Sätzen beweisen.)
In deinem Fall brauchst du aber, dass $G$ abelsch ist, damit [mm] $\langle [/mm] g [mm] \rangle$ [/mm] ein Normalteiler ist. (Oder eine andere, passende Voraussetzung, die dies garantiert.) In diesem Fall kann man die Aussage auch leicht aus dem Klassifikationssatz fuer endliche abelsche Gruppen folgern.
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Moin!
>
> > Sei G eine Gruppe und p eine Primzahl, die die
> > Gruppenordnung von G teilt. Sei [mm]g\in G\backslash\{e\},[/mm] so
> > dass p die Elementordnung von g nicht teilt.
> > Gibt es dann in der Faktorgruppe G/<g> ein Element der
> > Ordnung p?
> >
> > in einem mir vorliegenden Beweis wird eben diese Existenz
> > eines Elements mit Ordnung p in der Faktorgruppe
> > angenommen, ohne aber überhaupt zu begründen, dass ein
> > solches Element existiert.
> >
> > Wenn nun p die Elementordnung von f nicht teilt, aber die
> > Gruppenordnung von G, dann gilt nach Lagrange, dass p |
> > |G/<g>|. Die Ordnung jedes Elements aus der Faktorgruppe
> > teilt nun wieder die Gruppenordnung selbst. Gilt nun aber
> > |G/<g>|=kp für ein [mm]k\in[/mm] [mm]\mathbb{N} [/mm], so muss doch
> > theoretisch nicht unbedingt ein Element in der Faktorgruppe
> > existieren, dass Ordnung p hat oder?
>
> Du hast Recht, a priori muss so ein Element nicht
> existieren. Dass es dennoch existiert, sagt der
> Satz von Cauchy.
> (Man kann diesen leicht mit den
> Sylow-Sätzen
> beweisen.)
>
> In deinem Fall brauchst du aber, dass [mm]G[/mm] abelsch ist, damit
> [mm]\langle g \rangle[/mm] ein Normalteiler ist. (Oder eine andere,
> passende Voraussetzung, die dies garantiert.) In diesem
> Fall kann man die Aussage auch leicht aus dem
> Klassifikationssatz fuer endliche abelsche Gruppen
> folgern.
>
> LG Felix
>
Das ist gut zu wissen. Im Prinzip ist es aber genau der Satz, der bewiesen werden sollte und in dessen Beweis das verwendet wird.
Die Behauptung war hier: G sei endliche, abelsche Gruppe, p Primzahl, die die Gruppenordnung von G teilt. Zeige, dass es ein [mm] g\in [/mm] G gibt mit ord(g)=p.
Dazu soll man eine Fallunterscheidung machen. 1. Fall: p teilt ord(g) [mm] (g\neq [/mm] e). Das ist klar.
Im 2. Fall (p teilt nicht ord(g)) wird eben die Faktorgruppe betrachtet.
In diesem Fall gilt, da p teilt ord(G) aber nicht ord(g): p teilt ord(G/<g>). Und daraus folgt jetzt ("angeblich"), dass ein h [mm] \in [/mm] G/<g> existiert, mit ord(h)=p. Dann kann man sich mit dem kanonischen Epimorphismus [mm] G\rightarrow [/mm] G/<g> ein entsprechendes g mit ord(g)=p konstruieren.
Ist auch alles soweit klar, bis auf die Existenz von h.
Folgt das vielleicht irgendwie induktiv? Kann ich mir aber auch nicht vorstellen...
Die Sylow Sätze sollen zu diesem Zeitpunkt nicht verwendet werden. Ansonsten wäre es auch offensichtlich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:37 Mi 29.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Sei G eine Gruppe und p eine Primzahl, die die
> > > Gruppenordnung von G teilt. Sei [mm]g\in G\backslash\{e\},[/mm] so
> > > dass p die Elementordnung von g nicht teilt.
> > > Gibt es dann in der Faktorgruppe G/<g> ein Element
> der
> > > Ordnung p?
> > >
> > > in einem mir vorliegenden Beweis wird eben diese Existenz
> > > eines Elements mit Ordnung p in der Faktorgruppe
> > > angenommen, ohne aber überhaupt zu begründen, dass ein
> > > solches Element existiert.
> > >
> > > Wenn nun p die Elementordnung von f nicht teilt, aber die
> > > Gruppenordnung von G, dann gilt nach Lagrange, dass p |
> > > |G/<g>|. Die Ordnung jedes Elements aus der Faktorgruppe
> > > teilt nun wieder die Gruppenordnung selbst. Gilt nun aber
> > > |G/<g>|=kp für ein [mm]k\in[/mm] [mm]\mathbb{N} [/mm], so muss doch
> > > theoretisch nicht unbedingt ein Element in der Faktorgruppe
> > > existieren, dass Ordnung p hat oder?
> >
> > Du hast Recht, a priori muss so ein Element nicht
> > existieren. Dass es dennoch existiert, sagt der
> >
> Satz von Cauchy.
> > (Man kann diesen leicht mit den
> >
> Sylow-Sätzen
> > beweisen.)
> >
> > In deinem Fall brauchst du aber, dass [mm]G[/mm] abelsch ist, damit
> > [mm]\langle g \rangle[/mm] ein Normalteiler ist. (Oder eine andere,
> > passende Voraussetzung, die dies garantiert.) In diesem
> > Fall kann man die Aussage auch leicht aus dem
> >
> Klassifikationssatz fuer endliche abelsche Gruppen
> > folgern.
> >
> > LG Felix
> >
> Das ist gut zu wissen. Im Prinzip ist es aber genau der
> Satz, der bewiesen werden sollte und in dessen Beweis das
> verwendet wird.
>
> Die Behauptung war hier: G sei endliche, abelsche Gruppe, p
> Primzahl, die die Gruppenordnung von G teilt. Zeige, dass
> es ein [mm]g\in[/mm] G gibt mit ord(g)=p.
>
> Dazu soll man eine Fallunterscheidung machen. 1. Fall: p
> teilt ord(g) [mm](g\neq[/mm] e). Das ist klar.
>
> Im 2. Fall (p teilt nicht ord(g)) wird eben die
> Faktorgruppe betrachtet.
> In diesem Fall gilt, da p teilt ord(G) aber nicht ord(g): p
> teilt ord(G/<g>). Und daraus folgt jetzt ("angeblich"),
> dass ein h [mm]\in[/mm] G/<g> existiert, mit ord(h)=p. Dann kann man
> sich mit dem kanonischen Epimorphismus [mm]G\rightarrow[/mm] G/<g>
> ein entsprechendes g mit ord(g)=p konstruieren.
> Ist auch alles soweit klar, bis auf die Existenz von h.
> Folgt das vielleicht irgendwie induktiv? Kann ich mir aber
> auch nicht vorstellen...
Ja, es ist Induktion nach $|G|$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Moin!
>
> > > > Sei G eine Gruppe und p eine Primzahl, die die
> > > > Gruppenordnung von G teilt. Sei [mm]g\in G\backslash\{e\},[/mm] so
> > > > dass p die Elementordnung von g nicht teilt.
> > > > Gibt es dann in der Faktorgruppe G/<g> ein
> Element
> > der
> > > > Ordnung p?
> > > >
> > > > in einem mir vorliegenden Beweis wird eben diese Existenz
> > > > eines Elements mit Ordnung p in der Faktorgruppe
> > > > angenommen, ohne aber überhaupt zu begründen, dass ein
> > > > solches Element existiert.
> > > >
> > > > Wenn nun p die Elementordnung von f nicht teilt, aber die
> > > > Gruppenordnung von G, dann gilt nach Lagrange, dass p |
> > > > |G/<g>|. Die Ordnung jedes Elements aus der Faktorgruppe
> > > > teilt nun wieder die Gruppenordnung selbst. Gilt nun aber
> > > > |G/<g>|=kp für ein [mm]k\in[/mm] [mm]\mathbb{N} [/mm], so muss doch
> > > > theoretisch nicht unbedingt ein Element in der Faktorgruppe
> > > > existieren, dass Ordnung p hat oder?
> > >
> > > Du hast Recht, a priori muss so ein Element nicht
> > > existieren. Dass es dennoch existiert, sagt der
> > >
> >
> Satz von Cauchy.
> > > (Man kann diesen leicht mit den
> > >
> >
> Sylow-Sätzen
> > > beweisen.)
> > >
> > > In deinem Fall brauchst du aber, dass [mm]G[/mm] abelsch ist, damit
> > > [mm]\langle g \rangle[/mm] ein Normalteiler ist. (Oder eine andere,
> > > passende Voraussetzung, die dies garantiert.) In diesem
> > > Fall kann man die Aussage auch leicht aus dem
> > >
> >
> Klassifikationssatz fuer endliche abelsche Gruppen
> > > folgern.
> > >
> > > LG Felix
> > >
> > Das ist gut zu wissen. Im Prinzip ist es aber genau der
> > Satz, der bewiesen werden sollte und in dessen Beweis das
> > verwendet wird.
> >
> > Die Behauptung war hier: G sei endliche, abelsche Gruppe, p
> > Primzahl, die die Gruppenordnung von G teilt. Zeige, dass
> > es ein [mm]g\in[/mm] G gibt mit ord(g)=p.
> >
> > Dazu soll man eine Fallunterscheidung machen. 1. Fall: p
> > teilt ord(g) [mm](g\neq[/mm] e). Das ist klar.
> >
> > Im 2. Fall (p teilt nicht ord(g)) wird eben die
> > Faktorgruppe betrachtet.
> > In diesem Fall gilt, da p teilt ord(G) aber nicht ord(g): p
> > teilt ord(G/<g>). Und daraus folgt jetzt ("angeblich"),
> > dass ein h [mm]\in[/mm] G/<g> existiert, mit ord(h)=p. Dann kann man
> > sich mit dem kanonischen Epimorphismus [mm]G\rightarrow[/mm] G/<g>
> > ein entsprechendes g mit ord(g)=p konstruieren.
> > Ist auch alles soweit klar, bis auf die Existenz von h.
> > Folgt das vielleicht irgendwie induktiv? Kann ich mir aber
> > auch nicht vorstellen...
>
> Ja, es ist Induktion nach [mm]|G|[/mm].
>
> LG Felix
>
Ok. Wie sähe das konkret aus. Also mache ich ganz allgemein Induktion oder nur für den zweiten Fall?
Ich hätte jetzt gesagt, ganz allgemein, etwa so:
Anfang: |G|=2, dann gibt es in G ein g mit ord(g)=2.
Was wäre nun mit der Voraussetzung? Die sollte, damit es nachher alles aufgeht, so aussehen: In einer Gruppe H mit |H|<|G|, p | |H| gibt es ein h mit ord(h)=p.
Das kann ich doch aber nirgends am Induktionsanfang sehen. Und wie würde dann das Ende aussehen, also lasse ich dann die Gruppenordnung von G von n nach n+1 gehen? Dann kann ich doch nichts mit der Faktorgruppe anfangen.
Es ist alle etwas verwirrend.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Do 30.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Dazu soll man eine Fallunterscheidung machen. 1. Fall: p
> > > teilt ord(g) [mm](g\neq[/mm] e). Das ist klar.
> > >
> > > Im 2. Fall (p teilt nicht ord(g)) wird eben die
> > > Faktorgruppe betrachtet.
> > > In diesem Fall gilt, da p teilt ord(G) aber nicht ord(g): p
> > > teilt ord(G/<g>). Und daraus folgt jetzt ("angeblich"),
> > > dass ein h [mm]\in[/mm] G/<g> existiert, mit ord(h)=p. Dann kann man
> > > sich mit dem kanonischen Epimorphismus [mm]G\rightarrow[/mm] G/<g>
> > > ein entsprechendes g mit ord(g)=p konstruieren.
> > > Ist auch alles soweit klar, bis auf die Existenz von h.
> > > Folgt das vielleicht irgendwie induktiv? Kann ich mir aber
> > > auch nicht vorstellen...
> >
> > Ja, es ist Induktion nach [mm]|G|[/mm].
> >
> > LG Felix
> >
> Ok. Wie sähe das konkret aus. Also mache ich ganz
> allgemein Induktion oder nur für den zweiten Fall?
Du machst ganz allgemein (starke) Induktion.
> Ich hätte jetzt gesagt, ganz allgemein, etwa so:
> Anfang: |G|=2, dann gibt es in G ein g mit ord(g)=2.
Fang mit $|G| = prim$ an.
> Was wäre nun mit der Voraussetzung? Die sollte, damit es
> nachher alles aufgeht, so aussehen: In einer Gruppe H mit
> |H|<|G|, p | |H| gibt es ein h mit ord(h)=p.
Nicht in einer Gruppe, in jeder Gruppe!
> Das kann ich doch aber nirgends am Induktionsanfang sehen.
?
> Und wie würde dann das Ende aussehen, also lasse ich dann
> die Gruppenordnung von G von n nach n+1 gehen? Dann kann
> ich doch nichts mit der Faktorgruppe anfangen.
Nein, du gehst von $H$ mit $|H| < |G|$ nach $G$.
Induktionsanfang: ist $G$ eine Gruppe von Primzahlordnung, dann ...
Induktionsvoraussetzung: Fuer jede Gruppe $|H|$ mit $|H| < |G|$ und jede Primzahl $p$, die $|H|$ teilt, gilt ...
Induktionsschluss: Ist $p$ eine Primzahl, die $|G|$ teilt, so gilt ... weil ... per Induktion ...
LG Felix
|
|
|
|
