Elementanzahl im Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Di 07.02.2006 | | Autor: | wilma |
| Aufgabe 1 | | Wieviele Elemente hat ein Körper genau, wenn er mindestens 48 und höchstens 52 Elemente enthalten soll? |
| Aufgabe 2 | | Warum kann es keinen Körper mit 12 Elementen geben? |
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung wie soetwas zu lösen ist. Durch das Script des Professors blicke ich in diesem Kapitel nicht durch. Kann mir jemand weiterhelfen?
Es wäre auch schön, wenn jemand vielleicht eine Seite kennt, auf der Körper gut erklärt sind.
Ich danke euch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Di 07.02.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
die Aufgaben sind eigentlich nicht so tragisch, man muss sich nur klar machen, dass für jeden endlichen Körper die Anzahl der Elemente eine Primzahlpotenz sein muss: [mm] \IF_p [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ [/mm] ist für eine Primzahl p ein Körper und jeder andere endliche Körper lässt sich auch als Vekotrraum über diesem darstellen.
Eine kurze Zusammenstellung über endliche Körper findest du z.B. in ![[]](/images/popup.gif) diesem Wikipedia-Artikel.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 Mi 08.02.2006 | | Autor: | wilma |
Danke, das hat mir sehr geholfen.
Meine Antworten zu den Aufgaben lauten jetzt:
- Es kann keinen Körper mit 12 Elementen geben, weil Restklassenkörper immer der Form [mm] F_{p^{n}} [/mm] entsprechen, also [mm] p^{n} [/mm] Elemente enthalten, wobei p eine Primzahl und n eine beliebige natürliche Zahl ist. Folglich lässt sich aus keinem p,n [mm] F_{p^{n}}=12 [/mm] bilden.
- Er hat genau 49 Elemente, da [mm] F_{7^{2}}=49 [/mm] der einzige Restklassenkörper ist, der im Interval zwischen 48 und 52 Elementen liegt.
[mm] F_{47^{1}} [/mm] bzw. [mm] F_{53^{1}} [/mm] währen die nächstmöglichen Restklassenkörper, die aber nicht im vorgegebenen Interval liegen.
Ist so richtig, oder?
Ich bedanke mich vielmals.
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Hallo Wilma,
> Danke, das hat mir sehr geholfen.
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> Meine Antworten zu den Aufgaben lauten jetzt:
>
> - Es kann keinen Körper mit 12 Elementen geben, weil
> Restklassenkörper immer der Form [mm]F_{p^{n}}[/mm] entsprechen,
> also [mm]p^{n}[/mm] Elemente enthalten, wobei p eine Primzahl und n
> eine beliebige natürliche Zahl ist. Folglich lässt sich aus
> keinem p,n [mm]F_{p^{n}}=12[/mm] bilden.
genau, das stimmt!
>
> - Er hat genau 49 Elemente, da [mm]F_{7^{2}}=49[/mm] der einzige
> Restklassenkörper ist, der im Interval zwischen 48 und 52
> Elementen liegt.
> [mm]F_{47^{1}}[/mm] bzw. [mm]F_{53^{1}}[/mm] währen die nächstmöglichen
> Restklassenkörper, die aber nicht im vorgegebenen Interval
> liegen.
Könnte man noch etwas besser begründen, aber 49 ist genau richtig!
>
> Ist so richtig, oder?
>
> Ich bedanke mich vielmals.
Viele Grüße
Daniel
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