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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Fr 24.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
"Sei die Basis a1, . . . ,an des Rn vorgegeben. Der Vektor b ungleich Nullvektor soll in die Basis transformiert
werden. Er hat bekanntlich eine eindeutige Darstellung bezüglich der gegebenen
Basis
b = Summe aus Xi · ai (für i bis n)
Da b vom Nullvektor verschieden ist, muss für mindestens ein i zwischen 1 und n gelten:
xi ungleich Nullvektor. Wir wollen diesen ganz speziellen Index mit j bezeichnen, da i ja als
Platzhalter für alle Werte von 1 bis n steht. Dieser spezielle Index j spielt für die folgende
Transformation die entscheidende Rolle. Denn der zugehörige Vektor aj kann
durch den Vektor b ersetzt werden, ohne dass das System die Eigenschaften einer Basis
verliert, das heißt: auch a1, . . . ,a j−1,b,a j+1, . . . ,an bleibt eine Basis des Rn."
Ich verstehe diesen Satz aber nur solange es nur ein aj gibt weil dann ist der alte Basisvektor und der neue Basisvektor einfach nur ein vielfaches voneinander. Kompliziert wird es für mich wenn der neue Basisvektor mehr als nur ein aj hat, kann er dann beliebig die Basisvektoren ersetzen? und warum ist dies so?
Ich hoffe mir kann das jemand erklären, das Thema macht wirklich Spaß aber das ist schon schwer zu begreifen...
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Sa 25.04.2015 | | Autor: | gsmv4 |
"Sei die Basis a1, . . . ,an des Rn vorgegeben. Der Vektor b ungleich Nullvektor soll in die Basis transformiert
werden. Er hat bekanntlich eine eindeutige Darstellung bezüglich der gegebenen
Basis
b = Summe aus Xi · ai (für i bis n)
Da b vom Nullvektor verschieden ist, muss für mindestens ein i zwischen 1 und n gelten:
xi ungleich Nullvektor. Wir wollen diesen ganz speziellen Index mit j bezeichnen, da i ja als
Platzhalter für alle Werte von 1 bis n steht. Dieser spezielle Index j spielt für die folgende
Transformation die entscheidende Rolle. Denn der zugehörige Vektor aj kann
durch den Vektor b ersetzt werden, ohne dass das System die Eigenschaften einer Basis
verliert, das heißt: auch a1, . . . ,a j−1,b,a j+1, . . . ,an bleibt eine Basis des Rn."
Ich verstehe diesen Satz aber nur solange es nur ein aj gibt weil dann ist der alte Basisvektor und der neue Basisvektor einfach nur ein vielfaches voneinander. Kompliziert wird es für mich wenn der neue Basisvektor mehr als nur ein aj hat, kann er dann beliebig die Basisvektoren ersetzen? und warum ist dies so?
Ich hoffe mir kann das jemand erklären, das Thema macht wirklich Spaß aber das ist schon schwer zu begreifen...
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Mi 29.04.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo gsmv4!
> "Sei die Basis a1, . . . ,an des Rn vorgegeben. Der Vektor
> b ungleich Nullvektor soll in die Basis transformiert
> werden. Er hat bekanntlich eine eindeutige Darstellung
> bezüglich der gegebenen
> Basis
> b = Summe aus Xi · ai (für i bis n)
Es soll sicherlich "für $i=1$ bis $n$" heißen.
Nennen wir diese Gleichung mal (*).
> Da b vom Nullvektor verschieden ist, muss für mindestens
> ein i zwischen 1 und n gelten:
> xi ungleich Nullvektor.
Hier muss es heißen: [mm] $x_i\not=0$, [/mm] wobei 0 hier die reelle Zahl 0 (also einen Skalar, keinen Vektor) bezeichnet.
> Wir wollen diesen ganz speziellen
> Index mit j bezeichnen, da i ja als
> Platzhalter für alle Werte von 1 bis n steht. Dieser
> spezielle Index j spielt für die folgende
> Transformation die entscheidende Rolle. Denn der
> zugehörige Vektor aj kann
> durch den Vektor b ersetzt werden, ohne dass das System
> die Eigenschaften einer Basis
> verliert, das heißt: auch a1, . . . ,a j−1,b,a j+1, . .
> . ,an bleibt eine Basis des Rn."
>
> Ich verstehe diesen Satz aber nur solange es nur ein aj
> gibt weil dann ist der alte Basisvektor und der neue
> Basisvektor einfach nur ein vielfaches voneinander.
> Kompliziert wird es für mich wenn der neue Basisvektor
> mehr als nur ein aj hat, kann er dann beliebig die
> Basisvektoren ersetzen? und warum ist dies so?
>
> Ich hoffe mir kann das jemand erklären, das Thema macht
> wirklich Spaß aber das ist schon schwer zu begreifen...
Auch ich halte diesen Zusammenhang nicht für trivial; er bedarf eines Beweises (der in der zugrundeliegenden Quelle anscheinend fehlt).
Wir wollen also nun zeigen, dass [mm] $a_1, [/mm] . . . [mm] ,a_{j−1},b,a_{j+1},\ldots,a_n$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist.
Nach Definition einer Basis müssen wir dazu zwei Dinge nachweisen:
1. die lineare Unabhängigkeit dieses Systems
2. dass das System ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^n$ [/mm] bildet.
Je nachdem, was ihr schon an Theorie habt, wisst ihr vielleicht, dass es schon genügt, eine der beiden Eigenschaften 1. und 2. zu zeigen.
Die andere der beiden Eigenschaften lässt sich dann daraus folgern, dass das System aus genau $n$ Vektoren besteht.
Zu 1.:
Rechnen wir die lineare Unabhängigkeit des Systems [mm] $a_1,\ldots,a_{j-1},b,a_{j+1},\ldots,a_n$ [/mm] anhand von deren Definition nach:
Seien [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\IR$ [/mm] mit der Eigenschaft
(**) [mm] $\lambda_1a_1+\ldots+\lambda_{j-1}a_{j-1}+\lambda_jb+\lambda_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\lambda_na_n=0$
[/mm]
beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0$.
[/mm]
Setze (*) in (**) ein.
Sortiere dann nach den auftretenden [mm] $a_i$.
[/mm]
Wenn du dadurch eine Gleichung der Form
[mm] $\mu_1a_1+\ldots+\mu_{j-1}a_{j-1}+\mu_ja_j+\mu_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\mu_na_n=0$
[/mm]
für gewisse [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_n$ [/mm] erhältst, kannst du aus der linearen Unabhängigkeit des Systems
[mm] $a_1,\ldots,a_{j-1},a_j,a_{j+1},\ldots,a_n$
[/mm]
schlussfolgern, dass [mm] $\mu_1=\ldots=\mu_n=0$ [/mm] gilt.
Der letzte Schritt besteht dann darin, [mm] $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0$ [/mm] zu folgern.
Dabei benötigt man die Eigenschaft [mm] $x_j\not=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 15.07.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Hm...
irgendwie habe ich das vorgehen immer noch nicht so ganz verstanden, wenn ich die erste Gleichung in die 2te einsetze kommt da nix sinnvolles bei raus. Außerdem verstehe ich nicht wo das [mm] \mu [/mm] herkommt.
Also in Worten ausgedrückt verstehe ich es glaube ich:
Der neue Vektor b kann nur durch bestimmte ai ungleich 0 des Vektorsystems der Basis ausgedrückt werden (mindestens ein ai ungleich null höchstens alle ai ungleich null). Es gibt nur eine Kombination der ai's weil sie die Koordinaten von b zur Basis sind. Wenn ein Basisvektor mit einem ai ungleich null durch b ersetzt wird , kann er nicht mehr durch die verbliebenen Basisvektoren dargestellt werden dadurch sind dann alle Basisvektoren linear unabhängig. Ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mi 15.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Gut, dass du nachfragst!
> irgendwie habe ich das vorgehen immer noch nicht so ganz
> verstanden, wenn ich die erste Gleichung in die 2te
> einsetze kommt da nix sinnvolles bei raus.
Ich erhalte
[mm] $\lambda_1a_1+\ldots+\lambda_{j-1}a_{j-1}+\lambda_j(\sum_{i=1}^nx_ia_i)+\lambda_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\lambda_na_n=0$.
[/mm]
Nun "sortieren wir nach den [mm] $a_i$":
[/mm]
[mm] $0=\lambda_1a_1+\ldots+\lambda_{j-1}a_{j-1}+\lambda_j(\sum_{i=1}^nx_ia_i)+\lambda_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\lambda_na_n$
[/mm]
[mm] $=\lambda_1a_1+\ldots+\lambda_{j-1}a_{j-1}+(\sum_{i=1}^n\lambda_jx_ia_i)+\lambda_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\lambda_na_n$
[/mm]
[mm] $=\lambda_1a_1+\ldots+\lambda_{j-1}a_{j-1}+\lambda_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\lambda_na_n+(\sum_{i=1}^n\lambda_jx_ia_i)$
[/mm]
[mm] $=(\lambda_1a_1+\ldots+\lambda_{j-1}a_{j-1}+\lambda_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\lambda_na_n)\;+\;(\lambda_jx_1a_1+\lambda_jx_2a_2+\ldots+\lambda_jx_na_n)$
[/mm]
[mm] $=(\lambda_1+\lambda_jx_1)a_1+\ldots+(\lambda_{j-1}+\lambda_jx_{j-1})a_{j-1}+(\lambda_jx_j)a_j+(\lambda_{j+1}+\lambda_jx_{j+1})a_{j+1}+\ldots+(\lambda_n+\lambda_jx_n)a_n$.
[/mm]
> Außerdem
> verstehe ich nicht wo das [mm]\mu[/mm] herkommt.
Die erhaltene Gleichung
[mm] $\underbrace{(\lambda_1+\lambda_jx_1)}_{=:\mu_1}a_1+\ldots+\underbrace{(\lambda_{j-1}+\lambda_jx_{j-1})}_{=:\mu_{j-1}}a_{j-1}+\underbrace{(\lambda_jx_j)}_{=:\mu_j}a_j+\underbrace{(\lambda_{j+1}+\lambda_jx_{j+1})}_{=:\mu_{j+1}}a_{j+1}+\ldots+\underbrace{(\lambda_n+\lambda_jx_n)}_{=:\mu_n}a_n=0$
[/mm]
hat also mit den dargestellten Definitionen von [mm] $\mu_1,\ldots,\mu_n$ [/mm] die Gestalt
[mm] $\mu_1a_1+\ldots+\mu_na_n=0$.
[/mm]
Da [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] linear unabhängig sind, folgt
[mm] $\mu_1=\ldots=\mu_n=0$,
[/mm]
also ausgeschrieben
[mm] $0=\mu_1=\lambda_1+\lambda_jx_1$
[/mm]
...
[mm] $0=\mu_{j-1}=\lambda_{j-1}+\lambda_jx_{j-1}$
[/mm]
[mm] $0=\mu_j=\lambda_jx_j$
[/mm]
[mm] $0=\mu_{j+1}=\lambda_{j+1}+\lambda_jx_{j+1}$
[/mm]
...
[mm] $0=\mu_n=\lambda_n+\lambda_jx_n$.
[/mm]
Zur Erinnerung: Unser Ziel war, [mm] $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0$ [/mm] zu zeigen.
Bringe nun die Voraussetzung [mm] $x_j\not=0$ [/mm] ins Spiel.
> Also in Worten ausgedrückt verstehe ich es glaube ich:
>
> Der neue Vektor b kann nur durch bestimmte ai ungleich 0
> des Vektorsystems der Basis ausgedrückt werden
Ja, wie jeder Vektor des [mm] $\IR^n$ [/mm] kann auch $b$ als Linearkombination von [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] dargestellt werden (da [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] als Basis insbesondere ein Erzeugendensystem bilden), d.h. es existieren [mm] $x_1,\ldots,x_n\in\IR$ [/mm] mit
(*) [mm] $b=\sum_{i=1}^nx_ia_i=x_1a_1+\ldots+x_na_n$.
[/mm]
> (mindestens
> ein ai ungleich null höchstens alle ai ungleich null).
Die Basisvektoren [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] sind sicherlich alle jeweils verschieden vom Nullvektor, wie man sich mithilfe der linearen Unabhängigkeit von [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] überlegen kann.
Vermutlich meintest du mit den [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] aus (*):
Mindestens ein [mm] $x_i\not=0$.
[/mm]
Das stimmt (denn wäre [mm] $x_1=\ldots=x_n=0$, [/mm] so würde aus (*) folgen, dass $b$ der Nullvektor wäre, was jedoch bei Wahl von b ausgeschlossen wurde).
> Es
> gibt nur eine Kombination der ai's weil sie die Koordinaten
> von b zur Basis sind.
Du meinst sicherlich:
Die Skalare [mm] $x_1,\ldots,x_n$ [/mm] sind durch (*) eindeutig bestimmt.
> Wenn ein Basisvektor mit einem ai
> ungleich null durch b ersetzt wird ,
Du meinst sicherlich:
Wenn ein Basisvektor [mm] $a_j$ [/mm] mit [mm] $x_j\not=0$ [/mm] durch b ersetzt wird,
> kann er nicht mehr
> durch die verbliebenen Basisvektoren dargestellt werden
Du meinst, [mm] $a_j$ [/mm] könne nicht als Linearkombination von [mm] $a_1,\ldots,a_{j-1},b,a_{j+1},\ldots,a_n$ [/mm] dargestellt werden?
Doch:
Das System [mm] $a_1,\ldots,a_{j-1},b,a_{j+1},\ldots,a_n$ [/mm] bildet ja eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] (wie wir behaupten, aber noch nicht fertig bewiesen haben), also insbesondere ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^n$.
[/mm]
Somit lässt sich JEDER Vektor des [mm] $\IR^n$ [/mm] als Linearkombination dieses Systems darstellen, also insbesondere auch unser Vektor [mm] $a_j$.
[/mm]
> dadurch sind dann alle Basisvektoren linear unabhängig.
Du behauptest, die lineare Unabhängigkeit von [mm] $a_1,\ldots,a_{j-1},b,a_{j+1},\ldots,a_n$ [/mm] schlussfolgern zu können?
Mir ist dieser Schluss von dir unklar.
Vielleicht hast du eine korrekte Idee, die ich noch nicht richtig verstehe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Do 16.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Also in Worten ausgedrückt verstehe ich es glaube ich:
>
> Der neue Vektor b kann nur durch bestimmte ai ungleich 0
> des Vektorsystems der Basis ausgedrückt werden (mindestens
> ein ai ungleich null höchstens alle ai ungleich null). Es
> gibt nur eine Kombination der ai's weil sie die Koordinaten
> von b zur Basis sind. Wenn ein Basisvektor mit einem ai
> ungleich null durch b ersetzt wird , kann er nicht mehr
> durch die verbliebenen Basisvektoren dargestellt werden
> dadurch sind dann alle Basisvektoren linear unabhängig.
> Ist das soweit richtig?
Ich habe noch einmal über deine Gedanken nachgedacht und dank deiner Anregungen folgende Möglichkeit gefunden, die lineare Unabhängigkeit von [mm] $a_1,\ldots,a_{j-1},b,a_{j+1},\ldots,a_n$ [/mm] zu zeigen (ich beschränke mich auf eine Beweisskizze):
Seien [mm] $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\IR$ [/mm] mit
(*) [mm] $\lambda_1a_1+\ldots+\lambda_{j-1}a_{j-1}+\lambda_jb+\lambda_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\lambda_na_n=0$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0$.
[/mm]
Dazu führen wir eine Fallunterscheidung durch:
1. Fall: [mm] $\lambda_j=0$
[/mm]
Dann vereinfacht sich (*) zu
[mm] $\lambda_1a_1+\ldots+\lambda_{j-1}a_{j-1}+\lambda_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\lambda_na_n=0
[/mm]
und aus der linearen Unabhängigkeit von [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] folgt daher wie gewünscht [mm] $\lambda_1=\ldots=\lambda_n=0$.
[/mm]
2. Fall: [mm] $\lambda_j\not=0$
[/mm]
Dann lässt sich (*) nach b auflösen und somit b als Linearkombination von [mm] $a_1,\ldots,a_{j-1},a_{j+1},\ldots,a_n$ [/mm] darstellen, d.h. es existieren [mm] $\mu_1,\ldots\mu_{j-1},\mu_{j+1},\ldots,\mu_n\in\IR$ [/mm] mit
[mm] $b=\mu_1a_1+\ldots+\mu_{j-1}a_{j-1}+\mu_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\mu_na_n$.
[/mm]
Also gilt
[mm] $b=\mu_1a_1+\ldots+\mu_{j-1}a_{j-1}+0a_j+\mu_{j+1}a_{j+1}+\ldots+\mu_na_n$
[/mm]
und somit nach Wahl von [mm] $x_1,\ldots,x_n$:
[/mm]
[mm] $x_1=\mu_1,\;\ldots,\;x_{j-1}=\mu_{j-1},\;x_j=0,\;x_{j+1}=\mu_{j+1},\;\ldots,\;x_n=\mu_n$.
[/mm]
Der Widerspruch [mm] $x_j=0$ [/mm] zu [mm] $x_j\not=0$ [/mm] zeigt, dass der 2. Fall gar nicht möglich ist.
Schön an dieser von dir stammenden Idee ist, dass dieser Beweis konzeptioneller wirkt, als der von mir ursprünglich vorgeschlagene rechenlastigere Beweis!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:17 Do 16.07.2015 | | Autor: | gsmv4 |
Mir fällt es leider nur noch sehr schwer es korrekt in Fachsprache zu formulieren ich hoffe das ich mit der Zeit Übung bekomme, bin auch kein reiner Mathe Student deswegen bekommen wir das nicht so richtig beigebracht.
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