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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 So 01.03.2015 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Verständnisfrage bei Beweis.
[mm] I=\produkt_{i=1}^{n}]a_i, b_i[ [/mm] (Kartesisches Produkt) *edit, Fehler ausgebessert, dies ist natürlich ein Kartesisches Produkt, kein Kreuzprodukt)
[mm] a_i, b_i\in \IR [/mm] |
Hallo,
bei einem durchlesen eines Beweises in einem Skript bin ich auf folgendes Konstrukt gestoßen:
[mm] (1+\varepsilon)I
[/mm]
I ist dabei wie oben angegeben und Epsilon wie üblich eine Zahl (klein).
Wie ist dieses Produkt definiert? Einfach die Intervallgrenzen mit [mm] (1+\varepsilon) [/mm] multiplizieren? Im Sinne des Beweises würde es am meisten Sinn machen, wenn die Menge über die Intervalle hinaus ein wenig vergrößert werden würde. (Was mit der schlichten Multiplikation an den Intervallsgrenzen in vielen Fällen Probleme machen würde)
Wie seht ihr das?
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> Verständnisfrage bei Beweis.
> [mm]I=\produkt_{i=1}^{n}]a_i, b_i[[/mm] (Kreuzprodukt)
> [mm]a_i, b_i\in \IR[/mm]
>
> Hallo,
>
> bei einem durchlesen eines Beweises in einem Skript bin ich
> auf folgendes Konstrukt gestoßen:
> [mm](1+\varepsilon)I[/mm]
> I ist dabei wie oben angegeben und Epsilon wie üblich
> eine Zahl (klein).
> Wie ist dieses Produkt definiert? Einfach die
> Intervallgrenzen mit [mm](1+\varepsilon)[/mm] multiplizieren? Im
> Sinne des Beweises würde es am meisten Sinn machen, wenn
> die Menge über die Intervalle hinaus ein wenig
> vergrößert werden würde. (Was mit der schlichten
> Multiplikation an den Intervallsgrenzen in vielen Fällen
> Probleme machen würde)
>
> Wie seht ihr das?
Hallo,
zuerst mal hat dieses "Kreuzprodukt" nichts mit einem
vektoriellen Produkt (von Vektoren) zu tun, sondern soll
ein Produkt von Mengen, genauer von Intervallen sein.
Zweitens müsste in einem Skript eine Darstellungsweise,
die nicht dem bekannten Standard entspricht, erläutert
werden, bevor sie verwendet wird.
Wenn ich versuche, mir auf das Ganze einen Reim zu machen,
könnte es vielleicht sein, dass man das (mehrdimensionale)
Intervall I um ein wenig ausdehnen möchte. Falls z.B. jeweils
[mm] a_i+b_i=0 [/mm] ist, könnte man dies so erreichen, wie du
vorschlägst: alle Intervallgrenzen werden mit [mm] (1+\varepsilon)
[/mm]
multipliziert. Trifft dies nicht zu, könnte man z.B. jedes
einzelne Intervall [mm] ]a_i,b_i[ [/mm] von seinem Mittelpunkt aus
strecken durch die Transformation:
$\ [mm] a_i\,:=\ m_i\,+\,(1+\varepsilon)*(\,a_i\,-\,m_i\,)$
[/mm]
$\ [mm] b_i\,:=\ m_i\,+\,(1+\varepsilon)*(\,b_i\,-\,m_i\,)$
[/mm]
mit $\ [mm] m_i\,:=\ \frac{a_i\,+\,b_i}{2}$
[/mm]
Um diesen Interpretationsversuch zu testen, müsste man
sich den Beweis näher ansehen (dazu hast du nichts gesagt)
oder eben: den Autor des Skripts fragen, was er eigentlich
gemeint hat ...
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:30 Mo 02.03.2015 | | Autor: | fred97 |
Das nennt man "rändern" einer Menge.
Sei A eine Teilmenge des [mm] \IR^n [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] >0.
Für a [mm] \in [/mm] A sei $K(a, [mm] \epsilon)$ [/mm] die offene Kugel um a mit Radius [mm] \epsilon.
[/mm]
Dann
$ [mm] \epsilon A:=\bigcup_{a \in A}^{}K(a, \epsilon)$
[/mm]
Bild !!!
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:54 Mo 02.03.2015 | | Autor: | havoc1 |
Danke für eure Hinweise, ich hätte noch eine Frage an euch. Im Skript heißt es:
[mm] (1+\varepsilon)I
[/mm]
@fred97
Eine Kugel der größe [mm] (1+\varepsilon) [/mm] um jeden Punkt wäre ja dann doch etwas groß?
@Al-Chwarizmi
Ich habe im Skript nichts gefunden, siehe auch hier um den Zusammenhang zu sehen:
http://www.math.ethz.ch/~struwe/Skripten/AnalysisIII-FS2013-17-7-13.pdf
Seite 11
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Di 10.03.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Das nennt man "rändern" einer Menge.
(so hatte ich das auch verstanden)
> Sei A eine Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] >0.
>
> Für a [mm]\in[/mm] A sei [mm]K(a, \epsilon)[/mm] die offene Kugel um a mit
> Radius [mm]\epsilon.[/mm]
>
> Dann
>
> [mm]\epsilon A:=\bigcup_{a \in A}^{}K(a, \epsilon)[/mm]
OK, falls so etwas wirklich definiert wird.
Die Schreibweise, die havoc angetroffen hat
mit dem $ [mm] (1+\varepsilon)\,I [/mm] $ ist damit aber nicht erklärt
bzw. "entschuldigt" ...
Auch die Schreibweise [mm] $\epsilon\, [/mm] A$ scheint mir nicht
unbedingt intuitiv.
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Mo 02.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Das nennt man "rändern" einer Menge.
> (so hatte ich das auch verstanden)
>
> > Sei A eine Teilmenge des [mm]\IR^n[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] >0.
> >
> > Für a [mm]\in[/mm] A sei [mm]K(a, \epsilon)[/mm] die offene Kugel um a mit
> > Radius [mm]\epsilon.[/mm]
> >
> > Dann
> >
> > [mm]\epsilon A:=\bigcup_{a \in A}^{}K(a, \epsilon)[/mm]
>
Hallo Al,
> OK, falls so etwas wirklich definiert wird.
Ja, diese Def. gibt es.
> Die Schreibweise, die havoc angetroffen hat
> mit dem [mm](1+\varepsilon)\,I[/mm] ist damit aber nicht erklärt
> bzw. "entschuldigt" ...
Wie meinst Du das ?
> Auch die Schreibweise [mm]\epsilon\, A[/mm] scheint mir nicht
> unbedingt intuitiv.
Tja, viele Schreibweisen sind nicht intuitiv.
Gruß FRED
>
> LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mo 02.03.2015 | | Autor: | havoc1 |
Das alles löst wie schon angedeutet nicht mein Problem. [mm] (1+\varepsilon)A [/mm] macht in dem Zusammenhang m.E. keinen Sinn. (siehe hierzu auch das von mir verlinkte Skript)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Mo 02.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Das alles löst wie schon angedeutet nicht mein Problem.
> [mm](1+\varepsilon)A[/mm] macht in dem Zusammenhang m.E. keinen
> Sinn. (siehe hierzu auch das von mir verlinkte Skript)
Ja, es könnte sein, dass Du recht hast. Dann meint der Autor des Skriptes mit [mm](1+\varepsilon)A[/mm] etwas anderes als ich.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Mo 02.03.2015 | | Autor: | Marcel |
http://www.math.ethz.ch/~struwe/Skripten/Analysis-I-II-final-6-9-2012.pdf
vielleicht findet Ihr den Bereich, wo man suchen sollte, besser, weil ihr
passendere Stichworte im Kopf habt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Di 03.03.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ich hab das tatsächlich schon durchgesucht und nichts gefunden 
Gruß,
Gono
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Hallo Fred
> > Die Schreibweise, die havoc angetroffen hat
> > mit dem [mm](1+\varepsilon)\,I[/mm] ist damit aber nicht
> > erklärt bzw. "entschuldigt" ...
>
>
> Wie meinst Du das ?
Ich habe nur kurz in das Skript geguckt, das havoc
angegeben hast (und wohl kaum alles verstanden).
Mir scheint aber, dass der Autor (Struwe) dort z.B.
[mm] $\overline [/mm] I \ [mm] \subset [/mm] (1 + [mm] \varepsilon)\, [/mm] I$ schreibt für das, was du als [mm] $\overline [/mm] I \ [mm] \subset \varepsilon\, [/mm] I$
ausdrücken würdest ...
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Mo 02.03.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred
>
> > > Die Schreibweise, die havoc angetroffen hat
> > > mit dem [mm](1+\varepsilon)\,I[/mm] ist damit aber nicht
> > > erklärt bzw. "entschuldigt" ...
> >
> >
> > Wie meinst Du das ?
>
> Ich habe nur kurz in das Skript geguckt, das havoc
> angegeben hast (und wohl kaum alles verstanden).
> Mir scheint aber, dass der Autor (Struwe) dort z.B.
> [mm]\overline I \ \subset (1 + \varepsilon)\, I[/mm] schreibt für
> das, was du als [mm]\overline I \ \subset \varepsilon\, I[/mm]
>
> ausdrücken würdest ...
Hallo Al,
das ist mir auch aufgefallen als ich einen Blick in das Skript warf ....
Das Skript behandelt den Stoff Analysis III. Vielleicht wurde die Schreibweise im Skript Analysis II oder I gebracht...
Gruß FRED
>
> LG , Al
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