Elementargeometrie (Rechtecksummensatz u. Quadratsummensatz) < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:24 Fr 28.05.2004 | | Autor: | sisley |
Kann mir jemand sagen, wie man den Rechtecksummensatz und den Quadratsummensatz beweist. Das wäre super!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo sisley,
willkommen im MatheRaum  !
> Kann mir jemand sagen, wie man den Rechtecksummensatz und
> den Quadratsummensatz beweist. Das wäre super!
Kannst du mir sagen, was diese Sätze aussagen?
Ist der Quadratsummensatz einfach der Satz des Pythagoras? Was ist aber dann der Rechtecksummensatz?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:10 Fr 28.05.2004 | | Autor: | sisley |
Hallo Marc,
Rechtecksummensatz:
Beliebiges n-Eck
Über die Seiten des n-Ecks Quadrate zeichnen
Von Z aus Lote auf alle Seitengeraden fällen
Die entstandenen Rechtecke der Reihe nach mit R1
R2n bezeichnen
Dann gilt:
Die Flächensumme der Rechtecke mit ungeradem Index ist gleich der Flächensumme der Rechtecke mit geradem Index.
R1 + R3 + R5 + R7 + R9 = R2 + R4 + R6 + R8 + R10
Quadratsummensatz
Ein beliebiges n-Eck und
ein beliebiger Punkt Z sind vorgegeben
Von Z aus werden auf alle Seitengeraden Lote gefällt, welche die Seiten außen oder innen in je zwei Teile teilen
Über allen Teilstrecken werden Quadrate Q1
Q2n gezeichnet
Die Flächensumme mit geradem Index ist nun gleich mit der Flächensumme der Quadrate mit ungeradem Index
Q1+Q3+Q5+Q7+Q9 = Q2+Q4 +Q6+Q8+Q10
Für diese Behauptungen brauch ich einen Beweis.
Kann man das mit dem Pythagoras beweisen?
Grüße Susanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Susanne,
sorry, aber die Konstruktion ist mir noch nicht klar.
> Rechtecksummensatz:
> Beliebiges n-Eck
> Über die Seiten des n-Ecks Quadrate zeichnen
> Von Z aus Lote auf alle Seitengeraden fällen
Wie ist Z gewählt? Ist wieder ein beliebiger Punkt wie unten beim Quadratsummensatz?
> Die entstandenen Rechtecke der Reihe nach mit R1
R2n
> bezeichnen
Wo entstehen denn da Rechtecke?
Ich habe mal Z innerhalb des n-Ecks (das übrigens konvex ist) gewählt und dann die Lote gefällt. Diese schneiden ja die Seiten und wenn man sie weiter zeichnet, teilen sie auch die Quadrate.
Aber das dabei bei einem beliebigen n-Eck Rechtecke entstehen, sehe ich nicht. Das Lot kann doch (selbst bei einem konvexen n-Eck und Z innerhalb) parallel an den Quadraten vorbei laufen, ohne diese überhaupt zu schneiden.
Andere Rechtecke, die entstehen könnten, sehe ich leider auch nicht.
> Dann gilt:
> Die Flächensumme der Rechtecke mit ungeradem Index ist
> gleich der Flächensumme der Rechtecke mit geradem Index.
>
> R1 + R3 + R5 + R7 + R9 = R2 + R4 + R6 + R8 + R10
>
> Quadratsummensatz
> Ein beliebiges n-Eck und
> ein beliebiger Punkt Z sind vorgegeben
> Von Z aus werden auf alle Seitengeraden Lote gefällt,
> welche die Seiten außen oder innen in je zwei Teile
> teilen
Das verstehe ich auch nicht. Wie kann das Lot die Seiten außen und innen in je zwei Teile teilen? Wo ist bei einer Seite außen und innen?
Hast du vielleicht zufällig eine Skizze da, dann müßte es doch sofort klar werden.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Fr 28.05.2004 | | Autor: | sisley |
Hallo Marc!
Wir mussten gestern im Rahmen einer Lehrveranstaltung eine Präsentation durchführen. Ich habe da auch Skizzen dazu, aber das geht irgendwie nicht, dass ich die Skizzen hier einfüge. Ich habe die Präsentation auf Power Point. Kann ich sie vielleicht mailen.
Ich kapiers echt auch nicht. Er will ne Verbesserung, aber nirgends find ich irgendwelche Informationen, und einen Beweis, warum das so ist auch nicht. Hab schon im Internet gesucht, aber unter den Begriffen finde ich auch nichts.
Viele Grüße
Susanne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Susanne,
> Wir mussten gestern im Rahmen einer Lehrveranstaltung eine
> Präsentation durchführen. Ich habe da auch Skizzen dazu,
> aber das geht irgendwie nicht, dass ich die Skizzen hier
> einfüge. Ich habe die Präsentation auf Power Point. Kann
> ich sie vielleicht mailen.
Klar, sende sie einfach an [mm] $\mbox{marc@matheraum.de}$.
[/mm]
> Ich kapiers echt auch nicht. Er will ne Verbesserung, aber
> nirgends find ich irgendwelche Informationen, und einen
> Beweis, warum das so ist auch nicht. Hab schon im Internet
> gesucht, aber unter den Begriffen finde ich auch nichts.
Wir werden sehen
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo,
hier eine Skizze zum Quadratsummensatz:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und zum Rechtecksummensatz:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier die ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Seiten 2-14 der Präsentation als PDF-Datei.
Ich habe mir die Sachen noch nicht angesehen, stelle sie aber schon mal hier rein, damit sich auch andere daran versuchen können.
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Susanne,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
deine ursprüngliche Vermutung war richtig, der Beweis kann ganz einfach mit dem Satz des Pythagoras geführt werden.
Und zwar habe ich es zunächst für ein 3-Eck (die einfachste sinnvolle Form des n-Ecks) gemacht. (Um die spätere Verallgemeinerung auf allgemeines zu erleichtern, benenne ich die Eckpunkt wie üblich mit A,B,C (entgegen dem Uhrzeigersinn, anders als ihr in Eurer Präsentation), aber die Seiten [mm] $a=\overline{AB}$, $b=\overline{BC}$, $c=\overline{CA}$.
[/mm]
Die Seiten des 3-Ecks nenne ich $a,b,c$, die Abschnitte, die durch die Lote gebildet werden, dann [mm] $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2$.
[/mm]
Nun zeichne ich noch die Strecken [mm] $\overline{AZ}$, $\overline{BZ}$, $\overline{CZ}$ [/mm] ein und erhalte innerhalb des 3-Ecks drei neue Dreiecke.
Die Höhen dieser Dreiecke (die ja mit den eingezeichneten Loten zusammenfallen) nenne ich [mm] $h_a,h_b,h_c$.
[/mm]
Nun habe ich 3*2=6 rechtwinklige Dreiecke innerhalb des 3-Ecks und kann endlich mit dem Beweis beginnen:
Zu zeigen ist diese Behauptung: [mm] $a_1^2+b_1^2+c_1^2=a_2^2+b_2^2+c_2^2$.
[/mm]
Beweis:
In den 6 Dreiecken gilt nach dem Satz des Pythagoras:
[mm] $\overline{AZ}$^2=a_1^2+h_a^2$
[/mm]
[mm] $\overline{BZ}$^2=a_2^2+h_a^2$
[/mm]
[mm] $\overline{BZ}$^2=b_1^2+h_b^2$
[/mm]
[mm] $\overline{CZ}$^2=b_2^2+h_b^2$
[/mm]
[mm] $\overline{CZ}$^2=c_1^2+h_c^2$
[/mm]
[mm] $\overline{AZ}$^2=c_2^2+h_c^2$
[/mm]
Löst man diese sechs Gleichungen nun nach [mm] $a_1^2,a_2^2,\ldots,c_1^2,c_2^2$ [/mm] auf
[mm] $\overline{AZ}$^2-h_a^2=a_1^2$
[/mm]
[mm] $\overline{BZ}$^2-h_a^2=a_2^2$
[/mm]
[mm] $\overline{BZ}$^2-h_b^2=b_1^2$
[/mm]
[mm] $\overline{CZ}$^2-h_b^2=b_2^2$
[/mm]
[mm] $\overline{CZ}$^2-h_c^2=c_1^2$
[/mm]
[mm] $\overline{AZ}$^2-h_c^2=c_2^2$
[/mm]
So folgt die Behauptung unmittelbar:
$0=0$
[mm] $\gdw\ \overline{AZ}^2-h_a^2+\overline{BZ}^2-h_b^2+\overline{CZ}^2-h_c^2=\overline{AZ}^2-\red{h_a^2}+\overline{BZ}^2-h_b^2+\overline{CZ}^2-\blue{h_c^2}$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \overline{AZ}^2-h_a^2+\overline{BZ}^2-h_b^2+\overline{CZ}^2-h_c^2=\overline{AZ}^2-\blue{h_c^2}+\overline{BZ}^2-\red{h_a^2}+\overline{CZ}^2-h_b^2$
[/mm]
[mm] $\gdw\ a_1^2+b_1^2+c_1^2=c_2^2+a_2^2+b_2^2$
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
Es ist leicht einzusehen, dass sich für ein allgemeines n-Eck derselbe Beweis ergibt, es müssen dann nur mehr Summanden umsortiert werden.
Übrigens habe ich oben das Wort "Dreieck" verwandt, wenn dies auch im allgemeinen Beweis ein Dreieck ist, und "3-Eck" ist im allgemeinen Beweis nur "n-Eck" zu ersetzen.
Allerdings sehe ich (immer) noch nicht, wie die Sätze für beliebiges Z und ein beliebiges n-Eck (das nicht konvex ist) gelten sollen; interessant wäre der Fall, dass sich ein Lotfußpunkt nicht zwischen den Eckpunkten einer Seite befindet. Wenn die n-Ecke also wirklich beliebig sein sollen, müßtest du dir da auch noch Gedanken drüber machen.
Da das ja nun recht einfach war, schlage ich vor, du probierst den Rechtecksummensatz jetzt noch mal alleine, und teilst uns dann deine Ideen mit.
Viele Grüße,
Marc
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