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| Aufgabe | Sei N der von (12,3,12), (9,2,8) und (12,4,22) erzeugte Untermodul von [mm] \IZ^{3}. [/mm] Finden Sie eine Basis [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3} [/mm] von [mm] \IZ^{3} [/mm] und [mm] a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \IZ, [/mm] so dass:
i) [mm] a_{i}|a_{i+1}, [/mm] für i=1,2
ii) [mm] N=\IZ a_{1}v_{1}+\IZ a_{2}v_{2}+\IZ a_{3}v_{3} [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde,
hat jemand eine Ahnung, wie man überhaupt an diese Aufgabe herangeht?
Mir ist jedenfalls kein Algorithmus hierzu bekannt und wüsste überhaupt nicht, womit man anfangen sollte.
Viele Grüße,
derriemann
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Do 31.07.2014 | | Autor: | hippias |
Wichtuigester Hinweis: Schau Dir einen Beweis dieses Satzes an, denn der koennte recht konstruktiv sein.
Darueber hinaus ueberlege Dir einmal folgendes: Betrache z.B. die ersten Koordinaten der Punkte in $N$. Sind alle Koordinaten moeglich? Nein!
Nun umgekehrt: Angenommen wir haetten so eine Wunderbasis gefunden, was koennte man hinsichtlich der Teiler der ersten usw. Koordinaten sagen?
Ich hoffe Du erkennst, dass die [mm] $a_{i}$ [/mm] etwas mit den ggTs der Koordinaten zu tun haben.
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