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Ich habe eine Frage, die ich zur Lösung meiner Aufgabe zu Untergruppen brauche:
Ich habe zwei verschiedene Untergruppen U und V, und davon wurde das Produkt UV gebildet.
Meine Frage: Wenn ich ein Element u aus U nehme, und ein Element v aus V, darf ich dann automatisch folgern, dass das Produkt der Elemente, uv, in UV enthalten ist?
Danke falls jemand bescheid weiß!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe eine Frage, die ich zur Lösung meiner Aufgabe zu
> Untergruppen brauche:
> Ich habe zwei verschiedene Untergruppen U und V, und davon
> wurde das Produkt UV gebildet.
> Meine Frage: Wenn ich ein Element u aus U nehme, und ein
> Element v aus V, darf ich dann automatisch folgern, dass
> das Produkt der Elemente, uv, in UV enthalten ist?
Ich weiss ja nicht wie genau ihr das Produkt von zwei Untergruppen definiert habt, aber der kleinste gemeinsame Nenner aller Definitionen die ich bisher gesehen hab war dass $u v [mm] \in [/mm] U V$ enthalten ist, wenn $u [mm] \in [/mm] U$ ist und $v [mm] \in [/mm] V$.
LG Felix
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Sind U, V Untergruppen einer Gruppe G, so gilt UV [mm] \le [/mm] G genau dann, wenn UV = VU ist. |
Danke!
Ja, dass Problem ist eben, wir haben das Produkt nicht definiert. Vielleicht ergibt sich die Definition ja aber aus der Aufgabenstellung. Mir allerdings leider nicht.
Ich habe die Aufgabe jetzt doch mal angegeben.
Also:
Zur Zurückrichtung: Ich nehme an, es gilt UV = VU. Ich will zeigen, dass dann UV eine Untergruppe ist.
Als erstes möchte ich die Abgeschlossenheit bezüglich der Operation [mm] \circ [/mm] zeigen:
Also nehme ich mir u, u' [mm] \in [/mm] U und v, v' [mm] \in [/mm] V und sage nach deiner Aussage, uv, u'v' [mm] \in [/mm] UV.
Ich hätte gerne, dass: uv [mm] \circ [/mm] u'v' [mm] \in [/mm] UV
Da die Operation oder eben das Untergruppenprodukt aber nicht definiert ist, komme ich hier nicht weiter. Brauche ich überhaupt eine Definition der Operation oder muss ich da anders rangehen?
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> Zeigen Sie: Sind U, V Untergruppen einer Gruppe G, so gilt
> UV [mm]\le[/mm] G genau dann, wenn UV = VU ist.
> Danke!
> Ja, dass Problem ist eben, wir haben das Produkt nicht
> definiert.
Hallo,
daß auch bei Euch als [mm] UV:=\{uv| u\in U und v\in V\} [/mm] ist, können wir mal als sicher annehmen.
> Also:
>
> Zur Zurückrichtung: Ich nehme an, es gilt UV = VU. Ich will
> zeigen, dass dann UV eine Untergruppe ist.
>
>
> Als erstes möchte ich die Abgeschlossenheit bezüglich der
> Operation [mm]\circ[/mm] zeigen:
>
> Also nehme ich mir u, u' [mm]\in[/mm] U und v, v' [mm]\in[/mm] V und sage
> nach deiner Aussage, uv, u'v' [mm]\in[/mm] UV.
Ich würde das eher anders machen. Seien x,y [mm] \in [/mm] UV.
Dann gibt es u, u' [mm]\in[/mm] U und v, v' [mm]\in[/mm] V
mit x=uv und y=u'v'.
>
> Ich hätte gerne, dass: uv [mm]\circ[/mm] u'v' [mm]\in[/mm] UV
> Da die Operation oder eben das Untergruppenprodukt aber
> nicht definiert ist,
Wenn es um "Untergruppe" geht, ist die Verknüpfung immer die der zugrundeliegenden Gruppe.
Hier ist es die Verknüpfung, mit der Du auch u und v verknüpfst.
Du mußt also untersuchen, ob xy=(uv)(u'v') [mm] \in [/mm] UV richtig ist.
Gruß v. Angela
komme ich hier nicht weiter. Brauche
> ich überhaupt eine Definition der Operation oder muss ich
> da anders rangehen?
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Hmmm... danke erst mal!
Darf ich denn jetzt umklammern? Also das Assoziativgesetz gilt ja in Untergruppen.
Darf ich also (uv)(u'v') = u (vu') v' setzen?
Dann könnte ich ja schonmal sagen, dass vu' [mm] \in [/mm] UV = VU ...
und da u [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] UV und v' [mm] \in [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] UV, ist alles auf der rechten seite in UV .
q.e.d?
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> Darf ich denn jetzt umklammern? Also das Assoziativgesetz
> gilt ja in Untergruppen.
Hallo,
da Du es mit Elementen einer Gruppe zu tun hast und die in der (Ober-)Gruppe definierte Verknüpfung verwenddest, darfst Du natürlich das Assoziativgesetz verwenden.
>
> Darf ich also (uv)(u'v') = u (vu') v' setzen?
Ja.
>
> Dann könnte ich ja schonmal sagen, dass vu' [mm]\in[/mm] UV = VU ...
Also gibt es ein [mm] u''\in [/mm] U und ein v'' [mm] \in [/mm] V mit vu'=u''v''
Wenn Du das nun einsetzt und nochmal umklammerst, erkennt der letzte Zweifler, daß das in UV liegt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Di 04.11.2008 | | Autor: | dudelidei |
Super danke, alle Zweifel beseitigt!
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