Elemente eines Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 So 29.10.2006 | | Autor: | klaus_84 |
| Aufgabe | Sei R = Z[i] der Ring der Gauß'schen Zahlen und sei K = R/3R.
Zeigen Sie, dass K ein Körper ist und geben Sie an, wie viele Elemente K besitzt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
das K ein Körper ist, bekomme ich, denke ich mal, hin. Mit der Anzahl sieht's schon anders aus.
Meine Idee:
Z[i] = {a+bi | a,b aus Z} ist Euklid'ischer Ring, daher existiert die Division mit Rest.
c = q*3 + r, wobei r = 0 oder f(r) < f(3).
f:= [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2
[/mm]
Ich käme damit auf die Menge aller komplexen Zahlen, deren f < 9 = f(3) ist.
K = {0, 1, -1, i, -i, 1+i, 1-i, -1+i, -1-i, 2+i, 2-i, -2+i, -2-i, 1+2i, 1-2i, -1+2i, -1-2i}
Irgendeine Ahnung sagt mir aber, dass der Körper nur 9 Elemente haben müsste.
Kann mir jemand sagen, ob das stimmt und wenn ja, wieso erhalte ich 17?
Danke, Klaus.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:16 So 29.10.2006 | | Autor: | klaus_84 |
Hallo,
jetzt ist es amtlich.
K hat nur neun Elemente.
Warum, wollte mir mein Übungsleiter natürlich nicht verraten.
Ich wäre für Hilfe dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R = Z der Ring der Gauß'schen Zahlen und sei K =
> R/3R.
> Zeigen Sie, dass K ein Körper ist und geben Sie an, wie
> viele Elemente K besitzt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> das K ein Körper ist, bekomme ich, denke ich mal, hin. Mit
> der Anzahl sieht's schon anders aus.
> Meine Idee:
> Z = {a+bi | a,b aus Z} ist Euklid'ischer Ring, daher
> existiert die Division mit Rest.
>
> c = q*3 + r, wobei r = 0 oder f(r) < f(3).
> f:= [mm]a^2[/mm] + [mm]b^2[/mm]
>
> Ich käme damit auf die Menge aller komplexen Zahlen, deren
> f < 9 = f(3) ist.
>
> K = {0, 1, -1, i, -i, 1+i, 1-i, -1+i, -1-i, 2+i, 2-i, -2+i,
> -2-i, 1+2i, 1-2i, -1+2i, -1-2i}
>
> Irgendeine Ahnung sagt mir aber, dass der Körper nur 9
> Elemente haben müsste.
>
> Kann mir jemand sagen, ob das stimmt und wenn ja, wieso
> erhalte ich 17?
Weil nach deiner Argumentation [mm] $\IZ/3$ [/mm] auch 5 Elemente hat und nicht 3: Naemlich $-2, -1, 0, 1, 2$.
Du musst gucken, welche von deinen Elementen modulo 3 gleich sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 29.10.2006 | | Autor: | klaus_84 |
Stimmt, das sehe ich ein.
Aber wie stelle ich fest, ob Elemente in Z[i] modulo 3 gleich sind?
Es werden ja wohl kaum die jeweils Komplex-Konjugierten sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 So 29.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Stimmt, das sehe ich ein.
> Aber wie stelle ich fest, ob Elemente in Z modulo 3 gleich
> sind?
> Es werden ja wohl kaum die jeweils Komplex-Konjugierten
> sein.
>
Zwei Elemente $a, b [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] sind gleich modulo 3, wenn $a - b$ durch 3 teilbar ist. Und $a - b$ ist durch 3 teilbar, wenn [mm] $\frac{a - b}{3} \in \IZ[i]$ [/mm] ist. Und das kannst du explizit nachrechnen.
LG Felix
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