Elemente eines endl. Körpers K < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Sa 05.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen.
a) Wie viele Elemente hat der K-Vektorraum [mm] K^3 [/mm] für q=5 ?
b) Wie viele 1-dimensionale Untervektorräume von [mm] K^4 [/mm] gibt es für q=3 ? |
Moin!
bin mir nicht sicher...
zu
a) Anzahl der Elemente eines K-Vektorraums [mm] K^3
[/mm]
würde doch bedeuten K X K X K also [mm] 5^3 [/mm] = 125 Elemente oder nicht?
b) q=3 heisst, ich habe 3 Elemente in [mm] K^4. [/mm] Ich habe 3 Elemente, die aus vier Komponenten bestehen. Würde sagen, ich habe kein Element, das 1-dimensional ist und daher auch keine ein-dimensionalen Unterräume. Oder ist hier etwas anderes gemeint?
Danke für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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> Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen.
>
> a) Wie viele Elemente hat der K-Vektorraum [mm]K^3[/mm] für q=5 ?
> b) Wie viele 1-dimensionale Untervektorräume von [mm]K^4[/mm] gibt
> es für q=3 ?
> Moin!
>
> bin mir nicht sicher...
>
> zu
>
> a) Anzahl der Elemente eines K-Vektorraums [mm]K^3[/mm]
> würde doch bedeuten K X K X K also [mm]5^3[/mm] = 125 Elemente
> oder nicht?
Hallo,
das ist richtig.
>
> b) q=3 heisst, ich habe 3 Elemente in
K,
die Elemente aus [mm] K^4 [/mm] haben 4 Komponenten, also sind in [mm] K^4 [/mm] 81 Vektoren enthalten.
Alle bis auf den Nullvektor spannen einen eindimensionalen Unterraum auf.
Allerdings ist in der Menge der 80 Vektoren zu jedem Vektor auch sein zweifaches enthalten.
Somit gibt es 40 eindimensionale Unterräume.
[mm]K^4.[/mm] Ich habe 3
> Elemente, die aus vier Komponenten bestehen.
Nee, das sind viel mehr, s.o.
Würde sagen,
> ich habe kein Element, das 1-dimensional ist
Elemente haben keine Dimension. Vektorräume haben eine Dimension.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:45 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
> > Es sei K ein endlicher Körper mit q Elementen.
> >
> > b) q=3 heisst, ich habe 3 Elemente in
>
> K,
>
> die Elemente aus [mm]K^4[/mm] haben 4 Komponenten, also sind in [mm]K^4[/mm]
> 81 Vektoren enthalten.
>
> Alle bis auf den Nullvektor spannen einen eindimensionalen
> Unterraum auf.
>
> Allerdings ist in der Menge der 80 Vektoren zu jedem
> Vektor auch sein zweifaches enthalten.
>
> Somit gibt es 40 eindimensionale Unterräume.
Kannst Du mir erklären, wieso zu jedem Vektor auch sein Zweifaches enthalten ist?
Danke.
Wolfgang
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> Kannst Du mir erklären, wieso zu jedem Vektor auch sein
> Zweifaches enthalten ist?
Hallo,
das kannst Du der VR-Definition entnehmen:
Sei V ein VR über K.
Dann gilt u.a.: für jedes [mm] v\in [/mm] V und [mm] k\in [/mm] K ist k*v [mm] \in [/mm] V
In Deinem Fall also ist zu [mm] v\in [/mm] V auch (1+1)v [mm] \in [/mm] V.
Da K nur drei Elemente hat, ist (1+1)v das einzige von 0 verschiedene Vielfache von v in [mm] K^4.
[/mm]
(Falls Dir das nicht klar ist, mußt Du Dir unbedingt den Körper mit 3 Elementen sehr genau anschauen.)
Also ist an Vielfachen von v, welche wir für die Betrachtung der eindimensionalen Unterräume ins Kalkül ziehen müssen, nur 2v relevant.
v und 2v spannen denselben Unterraum auf, und da es sinnlos und verkehrt wäre, Unterräume doppelt zu zählen, erhält man aus den 80 Vektoren 40 eindimensionale Unterräume. ("Anschaulich" gesprochen: 40 Geraden durch den Ursprung.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 07.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
ich habe mal für q=3 die Elemente in [mm] R^2 [/mm] und [mm] R^3 [/mm] gebildet.
Kann leider nicht erkennen, dass die Hälfte der Vektoren das Zweifache des dazugehörigen anderen ist?!
also im [mm] R^2 [/mm] habe ich die Elemente: 0 ; 1 ; 2.
Ich erhalte also:
[mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1} \vektor{0 \\ 2} [/mm] das Zweifache
[mm] \vektor{1 \\ 0} \vektor{2 \\ 0} [/mm] das Zweifache
[mm] \vektor{1 \\ 1} \vektor{2 \\ 2} [/mm] das Zweifache
[mm] \vektor{1 \\ 2} \vektor{2 \\ 1} [/mm] aber hier nicht das Zweifache, oder?
und im [mm] R^3 [/mm] habe ich die Elemente: 0 ; 1 ; 2.
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\1} \vektor{0 \\ 0 \\2} [/mm] das Zweifache
[mm] \vektor{0 \\1 \\ 0} \vektor{0\\ 2 \\ 0} [/mm] das Zweifache
[mm] \vektor{1 \\0 \\ 0} \vektor{2\\ 0 \\ 0} [/mm] das Zweifache
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\1} \vektor{0 \\ 2 \\2} [/mm] das Zweifache
[mm] \vektor{1\\0 \\ 1} \vektor{2\\ 0 \\ 2} [/mm] das Zweifache
[mm] \vektor{1 \\1 \\ 0} \vektor{2\\ 2 \\ 0} [/mm] das Zweifache
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] das Zweifache
aber was ist mit diesen Vektoren:
[mm] \vektor{2 \\ 1 \\1} \vektor{1 \\ 2 \\2} [/mm]
[mm] \vektor{1 \\2 \\ 1} \vektor{2\\ 1 \\ 2} [/mm]
[mm] \vektor{1 \\1 \\ 2} \vektor{2\\ 2 \\ 1} [/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 1 \\2} \vektor{0 \\ 2 \\1} [/mm]
[mm] \vektor{1\\0 \\ 2} \vektor{1\\ 2 \\ 0} [/mm]
[mm] \vektor{2 \\0 \\ 1} \vektor{2\\ 1 \\ 0} [/mm]
Fragezeichen.
Gruß
Wolfgang
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> Fragezeichen.
Hallo,
ich kann den ganzen nur noch ein weiteres Fragezeichen hinzufügen:
könnte es sein, daß Du sehr, sehr wenig über den Körper mit drei Elementen weißt?
Wenn wir seine Elemente mit 0,1,2 bezeichen, dann ist damit zu rechnen wie in den Restklassen modulo 3.
Das bedeutet u.a.:
0+0=0
1+1=2
2+2=1
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 Di 08.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
Es ist richtig, dass ich noch viel lernen muss, nicht grundlos fragte ich vor einigen Wochen hier im Forum nach einem guten Lehrbuch mit vielen Beispielen und Beweisen, leider nur mit mäßigem Erfolg. Immerhin habe ich mir daraufhin das Buch von Michael Artin besorgt.
Mir ist klar, dass ich nicht der große Theoretiker bin, aber wenn ich ein, zwei Beispiele gerechnet / verstanden habe, bleibt mir das im Gedächtnis; in der Regel stelle ich die Frage dann nicht mehr, da ich sie dann selbst lösen kann. Und es ist richtig, oft sind es die praktischen Kniffe, die mir fehlen... Andererseits frage ich solange nach, bis ich Klarheit gewonnen habe... 
Umso mehr weiss ich es zu schätzen, wenn ich Unterstützung erhalte!
Und gerade das, was ich mir nicht zuletzt durch eure Hilfe hier erarbeite, gebe ich gerne weiter!!
Grüße von Wolfgang
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