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| Aufgabe | | Ein Element g einer Gruppe hat endliche Ordnung, wenn ein n [mm] \in \IN [/mm] existiert mit [mm] g^n=e. [/mm] Bestimmen Sie die Elemente endlicher Ordnung in O(2). |
Hallo, ich gebe mir Mühe, es selbst zu lösen, aber es will nicht klappen.
Die Elemente in O(2) sind 2x2 Matrizen, die orthogonal sind, also [mm] A^{-1}=A^t. [/mm] Was ich mir bisher überlegt habe ist: Die Einheitsmatrix e (hat Ordnung 1?), dann die Drehungen, denn wenn man sich im Kreis dreht, kommt man ja immer wieder bei seinem Ausgangspunkt an(also bei einem Winkel von 2pi), ich hoffe, es ist erkennbar, was ich meine^^: [mm] \begin{pmatrix}
cos(t) & -sin(t) \\
sin(t) & cos(t)
\end{pmatrix} [/mm]
und die Spiegelungen , die sich in die Form [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} [/mm] bringe lassen, haben die Ordnung 2. Aber ich denke, dass ist doch so noch nicht wirklich okay, wäre super, wenn mir jemand helfen kann, wie ich vorgehen kann. Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Fr 20.01.2012 | | Autor: | chrisno |
Deine Vorgedanken sind ganz brauchbar. Nun musst Du allgemein werden. Eine 2x2 Matrix hat vier Elemente [mm] $a_{11}$ [/mm] bis [mm] $a_{22}$. [/mm] Durch die Bedingung dass sie zu O(2) gehört, ergeben sich Einschränkungen für die Matrixelemente. Welche?
Dann kannst Du loslegen. [mm] $A^1=E$ [/mm] hinschreiben und feststellen, dass das nur für A=E stimmt.
[mm] $A^2=E$ [/mm] hinschreiben und nachsehen, für welche das gilt.
Wie sieht es mit [mm] $A^3$, $A^n$ [/mm] aus?
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