Elemente zur Relation ergänzen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mo 23.11.2009 | | Autor: | denice |
Hi. Habe hier noch eine kurze Aufgabe, bei der ich ganz kurz Hilfe bräuchte.
Gegeben ist die Menge M = {a; b; c} und die Menge R = {(a; a); (b; b); (a; b); (c; a)}
(a) Welche Elemente müssen sie zu R ergänzen, damit Sie eine Äquivalenzrelation/Ordnungsrelation auf M erhalten.
Bei der Äqu.rel. habe ich mir gedacht aufgrund der reflexivität (c,c), wegen der symmetrie (b,a) und (a,c) (auch wegen der transivität).
Wieso braucht man die (b,c) und (c,b) denn nicht? Weil davon keins in R angeben ist?
Danke für Eure Mühe
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> Hi. Habe hier noch eine kurze Aufgabe, bei der ich ganz
> kurz Hilfe bräuchte.
> Gegeben ist die Menge M = {a; b; c} und die Menge R = {(a;
> a); (b; b); (a; b); (c; a)}
> (a) Welche Elemente müssen sie zu R ergänzen, damit Sie
> eine Äquivalenzrelation/Ordnungsrelation auf M erhalten.
> Bei der Äqu.rel. habe ich mir gedacht aufgrund der
> reflexivität (c,c), wegen der symmetrie (b,a) und
> (a,c) (auch wegen der transivität).
> Wieso braucht man die (b,c) und (c,b) denn nicht? Weil
> davon keins in R angeben ist?
> Danke für Eure Mühe
Hallo denice,
damit aus R eine Äquivalenzrelation wird, muss man
sie wohl zur "vollständigen" Relation auf M ergänzen,
welche aus allen neun möglichen Paaren besteht.
Um aus R eine Halbordnung zu machen, muss man
nur zwei Paare dazufügen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 23.11.2009 | | Autor: | denice |
Also bei der Ord.rel. müssten das dann (c,c) wegen reflexivität und (b,c) wegen der transitivität sein. Die Antisymmetrie ist ebenfalls gegeben.
Jetzt wollte ich fragen, ob das richtig ist und ob das bei den Äqu.rel. immer alle Elemente sein müssen und um welche es sich bei der Ord.rel. handeln muss. Dabei erkenne ich das nur wenn die Antisymmetrie durch Elemente nicht mehr gegeben ist und die reflexivität erkenne ich natürlich.
LG Denice
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> Also bei der Ord.rel. müssten das dann (c,c) wegen
> reflexivität ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und (b,c) wegen der transitivität sein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nicht (b,c), sondern (c,b) !!
> Die Antisymmetrie ist ebenfalls gegeben.
> Jetzt wollte ich fragen, ob das richtig ist und ob das
> bei den Äqu.rel. immer alle Elemente sein müssen und
> um welche es sich bei der Ord.rel. handeln muss. Dabei
> erkenne ich das nur wenn die Antisymmetrie durch
> Elemente nicht mehr gegeben ist und die reflexivität
> erkenne ich natürlich.
> LG Denice
Hallo Denice,
es geht nur darum, zu prüfen, ob die entsprechenden
Axiome wirklich erfüllt sind.
In einer Äquivalenzrelation müssen keineswegs alle
Elemente zueinander in Relation stehen, aber man
kann sagen: Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M
teilt diese in Teilmengen [mm] M_1,M_2,....., M_n [/mm] ein, derart,
dass innerhalb jeder dieser Teilmengen ("Äquivalenz-
klassen") jedes Element x mit jedem anderen Element
und mit sich selbst in der Relation steht.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Mo 23.11.2009 | | Autor: | denice |
Danke für deine Hilfe! :)
LG Denice
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