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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:50 Do 08.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | A = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
4 & 6 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
1. Welche drei Matrizen [mm] E_{21}, E_{31}, E_{32} [/mm] überführen A in eine obere Dreiecksmatrix U?
2. Multiplizieren Sie die E-Matrizen zu einer Matrix M mit MA = U. |
Hallo Zusammen,
meine Lösung ist folgende:
[mm] E_{21}:
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
4 & 6 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] E_{31}:
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 4 & 0
\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] E_{32}:
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 4 & 0
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2
\end{bmatrix}
[/mm]
Somit ergeben sich die folgenden drei Matrizen:
[mm] E_{21}: \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] E_{31}: \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
[mm] E_{32}:\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
Die drei Einzelschritte überführen die Matrix A in eine obere Dreiecksmatrix U. Nun möchte ich alle Schritte auf einmal machen, somit multipliziere ich diese drei Matrizen:
[mm] E_{21} \cdot{} E_{31}:
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
Dieses Ergebnis nun noch mit [mm] E_{32} [/mm] malnehmen:
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & -2 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
Nun wäre die Matrix M = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & -2 & 1
\end{bmatrix}
[/mm]
Diese sollte nun alle Schritte auf einmal ausführen. Wenn ich diese jedoch mit A multipliziere erhalte ich nicht das zuvor durch die Einzelschritte berechnete U:
M [mm] \cdot{} [/mm] A [mm] \ne [/mm] U
[mm] \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & -2 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
4 & 6 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
-8 & -8 & -2
\end{bmatrix}
[/mm]
Wo liegt mein Fehler? Ich finde diesen nicht.
Gruß
itse
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> A = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
4 & 6 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
>
> 1. Welche drei Matrizen [mm]E_{21}, E_{31}, E_{32}[/mm] überführen
> A in eine obere Dreiecksmatrix U?
> 2. Multiplizieren Sie die E-Matrizen zu einer Matrix M mit
> MA = U.
> Hallo Zusammen,
>
> meine Lösung ist folgende:
>
> [mm]E_{21}:[/mm]
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
4 & 6 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]E_{31}:[/mm]
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 4 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]E_{32}:[/mm]
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 4 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & -2
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Somit ergeben sich die folgenden drei Matrizen:
>
> [mm]E_{21}: \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]E_{31}: \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
>
> [mm]E_{32}:\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Die drei Einzelschritte überführen die Matrix A in eine
> obere Dreiecksmatrix U. Nun möchte ich alle Schritte auf
> einmal machen, somit multipliziere ich diese drei
> Matrizen:
>
> [mm]E_{21} \cdot{} E_{31}:[/mm]
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Dieses Ergebnis nun noch mit [mm]E_{32}[/mm] malnehmen:
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & -2 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Nun wäre die Matrix M = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & -2 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Diese sollte nun alle Schritte auf einmal ausführen. Wenn
> ich diese jedoch mit A multipliziere erhalte ich nicht das
> zuvor durch die Einzelschritte berechnete U:
>
> M [mm]\cdot{}[/mm] A [mm]\ne[/mm] U
>
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-4 & 1 & 0 \\
2 & -2 & 1
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
4 & 6 & 1 \\
-2 & 2 & 0
\end{bmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
-8 & -8 & -2
\end{bmatrix}[/mm]
>
> Wo liegt mein Fehler? Ich finde diesen nicht.
Hallo,
es sieht mir streng danach aus, daß Du am Ende in der falschen Reihenfolge multiplizierst:
oben hattest Du doch dies getan: [mm] E_3_2(E_3_1(E_2_1A)).
[/mm]
Gruß v. Angela
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