Eliminationsmethode < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Onkel-Di |
| Aufgabe | Gegeben ist die Kostenfunktion K(x; y; z) = [mm] 2x^{2} [/mm] - 2xz [mm] +y^{2} +4^{2} [/mm] eines Unternehmens,
das aus drei Inhaltsstoffen X, Y und Z in den in Tonnen gegebenen Mengen x > 0,
y > 0 und z > 0 Tiernahrung herstellt. Gesucht ist eine Kombination der Inhaltsstoffe,
welche die Kosten der Nahrung minimiert. Dabei sollen insgesamt sechzehn Tonnen
produziert werden und es soll die Menge x + z der Inhaltsstoffe X und Z genau zwölf
Tonnen betragen.
Ermitteln Sie mit Hilfe der Eliminationsmethode die einzusetzenden Mengen x, y und
z der Inhaltsstoffe X, Y und Z. Überprüfen Sie auch die hinreichende Bedingung. |
Hallo Mathefreunde,
ich bräuchte zu der obigen Aufgabe einen kleinen Tipp. Und zwar weiß ich, wie ich die Eliminationsmethode bei einer Nebenbedingung anwende, wie verhält sich das aber bei 2 Nebenbedingungen und der hinreichenden Bedingung dann?
Was muss ich hier tun?
Nebenbedingungen habe ich mal herausgelesen: x+y+z=16 und x+z=12 .
Danke für Eure Hilfe!!!
Onkel-Di
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast zwei Bedingungen
(I) x+y+z=16 und
(II) x+z=12
sowie die Kostenfunktion, die von x, y und z abhängt.
Aus II ergibt sich das x als Funktion von z dargestellt werden kann. Damit folgt aus I, das y ebenfalls als Funktion von z dargestellt werden kann. Dies in die Kostenfunktion eingesetzt, ergibt eine Kostenfunktion die nur noch von z abhängt. Damit kannst Du z als Minimum bestimmen und danach x und y ausrechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Onkel-Di |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort, habe hier mal meine Lösung:
x+z=12 --> x=12-z
in II) 12-z+y+z=16 --> erhalte y=4
Danach habe ich y und x in K(x,y,z) eingesetzt:
[mm] 2*(12-z)^{2} [/mm] - [mm] 2*(12-z)*z+4^{2}+4z^{2}
[/mm]
[mm] 288-24z+z^{2}-24z-2z^{2}+16+4z^{2}
[/mm]
[mm] =304-48z+3z^{2}
[/mm]
1.Ableitung: -6z-48=0 --> z=8
Für x erhalte ich aus 12-8=4; x=4
Lösungen sind x=4, y=4 ,z=8
Hab ich das so richtig gemacht??
Danke fürs drübersehen!!!
MfG
Onkel-Di
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Fr 19.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort, habe hier mal meine
> Lösung:
>
> x+z=12 --> x=12-z
> in II) 12-z+y+z=16 --> erhalte y=4
Korrekt.
> Danach habe ich y und x in K(x,y,z) eingesetzt:
>
> [mm]2*(12-z)^{2}[/mm] - [mm]2*(12-z)*z+4^{2}+4z^{2}[/mm]
Korrekt.
>
> [mm]288-24z+z^{2}-24z-2z^{2}+16+4z^{2}[/mm]
Hier hast du einen Vorzeichenfehler
[mm] $2\cdot(12-z)^{2}-2\cdot(12-z)\cdot z+4^{2}+4z^{2}$
[/mm]
[mm] 2\cdot(144-12z+z^{2})-(24-2z)\cdot z+16+4z^{2}
[/mm]
[mm] =288-24z+z^{2}-24z\red{+}2z^{2}+16+4z^{2}
[/mm]
[mm] =304-48z+6z^{2}
[/mm]
> [mm]=304-48z+3z^{2}[/mm]
>
> 1.Ableitung: -6z-48=0 --> z=8
Also:
$K'(z)=-48+12z$
Das führt zu z=4, und da die Parabel [mm] K(x)=304-48z+6z^{2} [/mm] nach oben offen ist, ist z=4 auch die x-Koordinate des Tiefpunktes.
>
> Für x erhalte ich aus 12-8=4; x=4
>
> Lösungen sind x=4, y=4 ,z=8
>
>
> Hab ich das so richtig gemacht??
>
> Danke fürs drübersehen!!!
>
> MfG
>
> Onkel-Di
>
Das Prinzip ist korrekt, du hast nur einen Vorzeichenfehler gehabt.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Onkel-Di |
Danke!!!!!
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