Ellipse Flächeninhalt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Mi 01.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: [mm] \integral \integral_{ax^2+bxy+cy^2 \le N}{ dx}{dy}= \bruch{2 \pi N}{\wurzel{4ac-b^2}} (4ac>b^2 [/mm] und a>0). |
Hallo,
es geht um den Flächeninhalt des Inneren einer Ellipse, das durch [mm] ax^2+bxy+cy^2 \le [/mm] N beschrieben wird.
Leider habe ich keinen Ansatz wie ich das Ergebnis verfizieren soll.
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> Beweisen Sie: [mm]\integral \integral_{ax^2+bxy+cy^2 \le N}{ dx}{dy}= \bruch{2 \pi N}{\wurzel{4ac-b^2}} (4ac>b^2[/mm]
> und a>0).
> Hallo,
>
> es geht um den Flächeninhalt des Inneren einer Ellipse,
> das durch [mm]ax^2+bxy+cy^2 \le[/mm] N beschrieben wird.
>
> Leider habe ich keinen Ansatz wie ich das Ergebnis
> verfizieren soll.
Guten Abend Trikolon
ich würde vorschlagen, die Aufgabe nicht in erster Linie
als eine Aufgabe zur Integralrechnung zu betrachten,
sondern als eine Aufgabe zur Geometrie der Ellipse in der
Ebene. Es darf ja wohl als bekannt vorausgesetzt werden,
wie man den Flächeninhalt einer Ellipse durch die Längen
ihrer Halbachsen ausdrückt, nämlich $\ A\ =\ [mm] \pi\,*\,u\,*\,v$ [/mm] ,
wenn u und v die Längen der Halbachsen bezeichnen.
Die in der Aufgabe auftretende Ellipse hat ihren Mittelpunkt
im Ursprung (0|0) des Koordinatensystems.
Versuche also, die Drehung zu bestimmen, welche die
gegebene Ellipse in eine neue Ellipse überführt, deren
Hauptachsen auf den Koordinatenachsen liegen. Aus den
dann leicht festzustellenden Halbachsen u und v lässt sich
der Flächeninhalt dann leicht berechnen.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 01.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
Ich hätte es so überlegt, dass sich $ [mm] ax^2+bxy+cy^2 \le [/mm] $ N ja umformen lässt zu [mm] a(x+b/(2a)y)^2-D/(4a)y^2 \le [/mm] N. Wenn man dann eine Koordinatentransformation durch (x,y) --> (u,v)=(x+(b/2a)y,y) definiert hat man ja [mm] au^2-D/(4a)v^2 \le [/mm] N und dann sind die Halbachsenlängen [mm] \wurzel{N/a} [/mm] und [mm] \wurzel{4aN/-D}. [/mm] Kann man das so machen? Man müsste noch begründen, weshalb diese Transformation den Flächeninhalt nicht verändert...
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Wieso verwendest du nicht die mehrdimensionale Substitutionsregel? Du bist ja kurz vorm Ziel. Wenn du die Ungleichung noch durch [mm]a[/mm] dividierst, erhältst du
[mm]\left( x + \frac{b}{2a}y \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a} y \right)^2 \leq \frac{N}{a}[/mm]
Die Substitution sieht ähnlich wie bei dir aus. Mit
[mm]u = x + \frac{b}{2a}y \, , \ v = \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a} y[/mm]
geht die Ungleichung in [mm]x,y[/mm] über in
[mm]u^2 + v^2 \leq \frac{N}{a}[/mm]
In [mm]uv[/mm]-Koordinaten ist das ein Kreis vom Radius [mm]\sqrt{\frac{N}{a}}[/mm]. Er hat den Flächeninhalt [mm]\frac{\pi N}{a}[/mm]. Die Substitution ist linear. Somit gilt mit einer Konstanten [mm]\gamma[/mm]:
[mm]\int \limits_{ax^2 + bxy + cy^2 \leq N} \mathrm{d}(x,y) \quad = \ \int \limits_{u^2 + v^2 \leq \frac{N}{a}} \gamma ~ \mathrm{d}(u,v) \quad = \ \gamma \int \limits_{u^2 + v^2 \leq \frac{N}{a}} ~ \mathrm{d}(u,v) \quad = \ \gamma \cdot \frac{\pi N}{a}[/mm]
Die Konstante [mm]\gamma[/mm] erhältst du als Betrag der Funktionaldeterminante der Substitution [mm](u,v) \mapsto (x,y)[/mm].
Löse also in der obigen Substitution nach [mm]x,y[/mm] auf und berechne die Funktionaldeterminante:
[mm]\gamma = | \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} |[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Do 02.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
Als Fundamentaldeterminante erhalte ich gerade [mm] \bruch{2\pi N}{\wurzel{D}}.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:11 Do 02.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Als Fundamentaldeterminante erhalte ich gerade [mm]\bruch{2\pi N}{\wurzel{D}}.[/mm]
Das stimmt nicht.
Wir hatten
$ u = x + [mm] \frac{b}{2a}y \, [/mm] , \ v = [mm] \frac{\sqrt{D}}{2a} [/mm] y $.
Löse diese Gleichungen nach $x$ und $y$ auf in der Form
$x(u,v) = ....$ und $y(u,v)= ....$.
Dann ist der Betrag der Funktionaldeterminante gegebn durch
$ | [mm] \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} [/mm] | $.
Zur Kontrolle:
$ | [mm] \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} |=\frac{2a}{\wurzel{D}} [/mm] $.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Do 02.06.2016 | | Autor: | Trikolon |
Ja, sorry, das hatte ich auch erhalten. Habe das Ergebnis nur schon mit [mm] (\pi [/mm] N)/a multipliziert.
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Wenn die linearen Abbildungen
[mm]\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \varphi(x,y) = A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \, , \ \ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \psi(u,v) = B \cdot \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}[/mm]
Umkehrungen voneinander sind, dann sind die Matrizen [mm]A,B[/mm] invers zueinander, womit
[mm]\det(A) \cdot \det(B) = 1[/mm]
folgt. Nun sind [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] aber gerade die Ableitungen (Funktionalmatrizen) von [mm]\varphi[/mm] beziehungsweise [mm]\psi[/mm], ihre Determinanten also die Funktionaldeterminanten.
Lange Rede, kurzer Sinn: Man hätte die Substitution nicht nach [mm]x,y[/mm] auflösen müssen. Man hätte gleich die Determinante berechnen und dann zum Kehrwert übergehen können.
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Wäre es korrekt, oben zu sagen die Funktion [mm] g(u,v)=(u-b/(2a)y,\bruch{2av}{-D}) [/mm] transformiert die Ellipse in einen Kreis mit Radius [mm] \wurzel{N/a}?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 05.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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