Ellipse Punkt Abstand < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gesucht sind die Punkte der Ellipse e:
$e:= [mm] x^2+xy+y^2-27=0$
[/mm]
die vom Koordinatenursprung den kleinsten/größten Abstand haben.
a) Geben Sie die mathematische Formulierung der Optimierungsaufgabe an.
b) Formulieren SIe die Lagrangesche Multiplikationsregel.
c) Durch die quadratische Form [mm] $(xy)A\vektor{x\\y}=x^2+xy+y^2 [/mm] ist eine symmetrische Matrix bestimmt. Berechnen Sie die Eigenwerte. |
Hallo zusammen,
Hier suche ich einen Ansatz. Also die Nebenbedingung ist denk ich:
$g = [mm] x^2+xy+y^2-27=0$
[/mm]
aber wie ist die Hauptbedingung f ?
gesucht ist ja wohl sowas wie:
[mm] $|\bar{UP_e}| [/mm] = [mm] \sqrt{x^2+y^2+z^2} [/mm] = min/max$
mit U = [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] und [mm] P_e \in [/mm] M, M = [mm] \{v|e(x,y,z)=v, x,y,z \in \IR\}
[/mm]
Stimmt dies überhaupt? Wie weiter???
Vielen Dank!
ghostdog
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo thegostdog!
Prinzipiell ist Dein Ansatz okay. Aber wo "zauberst" Du plötzlich die 3. Koordinate $z_$ her?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:46 Sa 05.06.2010 | | Autor: | theghostdog |
Hey Loddar,
stimmt, dass ist quatsch, da war ich verwirrt ;). Es muß also heißen:
$ [mm] |\bar{UP_e}| [/mm] = [mm] \sqrt{x^2+y^2} [/mm] = min/max $
Gut, nun könnte ich einfach sagen meine Hauptbedingung ist genau diese Bedingung. Aber wie forme ich diese in eine Funktion f für Aufgabenteil b) um?
Kann ich einfach $f = [mm] \sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] setzen?
Dann wäre also für b) der Ansatz:
$L = f + [mm] \lambda [/mm] g$
$L [mm] =\sqrt{x^2+y^2} [/mm] + [mm] \lambda(x^2+xy+y^2-27)$
[/mm]
Nun müßte ich f nach einmal nach x und einmal nach y ableiten, dann g nach [mm] \lambda [/mm] ableiten und alle drei Gleichungen 0 setzen. Dann sollte ich auf die Kandidaten für min/max kommen ? Wie bekomme ich dann raus, ob es Minima oder Maxima sind? Über die 2. Ableitung?
Gruß und Dank!
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Ja! (in diesem Fall ist das dann die Hessematrix)
Einfach mal machen, vielleicht kommt ja gleich was Sinnvolles raus. (Du kannst ja schon mal auf Aufgabenteil c schielen!)
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