Ellipse auf Kreis abbilden < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei E= [mm] \bruch{x^2}{16}+\bruch{y^2}{12}=1 [/mm] Ellipse.
Geben Sie M uns m einer affinen Abbildung [mm] F_{M,m} [/mm] an, die die Ellipse auf den Kreis
[mm] k=\{(x,y)^t \in \mathbb{R}^2| (x-4)^2+(y-3)^2=)\} [/mm]
abbildet. |
Also ich kenne die Lösung:
[mm] \pmat{\bruch{3}{4} & 0 \\ 0 & \bruch{\wurzel{3}}{2}}\vektor{x \\ y}+\vektor{4 \\ 3}=f(x)
[/mm]
Aber wie kommt man darauf, bzw. wie/wo setze ich genau die Ellipsengleichung ein und sehe, dass das die Kreisgleichung rauskommt?
Danke schonmal für Antworten!
Gruß
congo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Sa 20.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Sei E= [mm]\bruch{x^2}{16}+\bruch{y^2}{12}=1[/mm] Ellipse.
> Geben Sie M uns m einer affinen Abbildung [mm]F_{M,m}[/mm] an, die
> die Ellipse auf den Kreis
>
> [mm]k=\{(x,y)^t \in \mathbb{R}^2| (x-4)^2+(y-3)^2=)\}[/mm]
>
> abbildet.
> Also ich kenne die Lösung:
>
> [mm]\pmat{\bruch{3}{4} & 0 \\ 0 & \bruch{\wurzel{3}}{2}}\vektor{x \\ y}+\vektor{4 \\ 3}=f(x)[/mm]
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> Aber wie kommt man darauf, bzw. wie/wo setze ich genau die
> Ellipsengleichung ein und sehe, dass das die Kreisgleichung
> rauskommt?
>
> Danke schonmal für Antworten!
>
> Gruß
> congo
Hallo,
deine gegebene Ellipse hat die großes Halbachse [mm] \wurzel{16}= [/mm] 4 und die kleine Halbachse [mm] \wurzel{12}. [/mm] Durch eine Streckung oder Stauchung in x-oder y-Richtung kannst du daraus einen Kreis machen (der Faktor ist je nach gewählter Richtung [mm] \wurzel{12/16} [/mm] oder [mm] \wurzel{16/12}.
[/mm]
Damit hast du aus der Ellipse in Ursprungslage einen Kreis in Ursprungslage gemacht.
Eventuell muss du den Kreis noch durch eine weitere Streckung auf den tatsächlich gewünschten Radius (deine Kreisgleichung ist unvollständig) bringen.
Dann brauchst du noch eine Verschiebung, denn der Mittelpunkt soll nicht im Ursprung, sondern bei (4|3) liegen.
Gruß Abakus
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