Endlich erzeugte abelsche Gr. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mi 20.02.2013 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, die eine Zerlegung A = [mm] C_1 \oplus [/mm] ... [mm] \oplus C_r [/mm] in zyklische Gruppen hat.
Zeige: Ist s= Anzahl{ j | [mm] |C_j [/mm] ist gerade}, so gibt es in A genau [mm] 2^s [/mm] -1 Elemente der Ordnung 2. |
Hallo,
ich brauche Hilfe zu obiger Aufgabe, habe aber leider keine eigenen Ansätze...
Danke schonmal für eure Hilfe!
Das fällt mir gerade noch ein:
Wenn s keine Primzahl ist, dann ist auch [mm] 2^s [/mm] -1 keine Primzahl, vielleicht braucht man das ja... Folgt dann nicht für diese Aufgabe, dass s schonmal prim sein muss?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mi 20.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, die eine
> Zerlegung A = [mm]C_1 \oplus[/mm] ... [mm]\oplus C_r[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
in zyklische
> Gruppen hat.
> Zeige: Ist s= Anzahl{ j | [mm]|C_j[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist gerade}, so gibt es in
> A genau [mm]2^s[/mm] -1 Elemente der Ordnung 2.
>
> ich brauche Hilfe zu obiger Aufgabe, habe aber leider keine
> eigenen Ansätze...
>
> Danke schonmal für eure Hilfe!
>
> Das fällt mir gerade noch ein:
> Wenn s keine Primzahl ist, dann ist auch [mm]2^s[/mm] -1 keine
> Primzahl, vielleicht braucht man das ja... Folgt dann nicht
> für diese Aufgabe, dass s schonmal prim sein muss?
Nein, dass hat damit gar nichts zu tun.
Du kannst die Aufgabe am besten per Induktion nach $r$ zeigen.
Ueberleg dir mal folgendes:
a) was bedeutet es, dass ein Element Ordnung 2 hat?
b) welche Elemente in [mm] $C_i$ [/mm] haben Ordnung 1? Wieviele haben Ordnung 2?
c) welche Elemente in $G [mm] \times [/mm] H$ haben Ordnung 1 und 2? Setze das in Relation zu den Elementen von Ordnung 1 und 2 jeweils in $G$ und $H$.
LG Felix
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Das es ein Element der Ordnung 2 gibt, heißt ja dass ein a [mm] \in [/mm] A existiert mit [mm] a^2 [/mm] =e. Aber wie erkenne ich denn wie viele Elemente mit Ordnung 1in A sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 23.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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