Endliche Gruppe - Allgemein < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Fr 12.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Vorweg: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe nur einige allgemeine Fragen zu dem Begriff einer endlichen Untergruppe.
Haben wir z.b. die Faktorgruppe [mm] \IQ/\IZ. [/mm] Sei U eine endliche Untergruppe. Gilt dann:
1. U = [mm] p_1\IZ [/mm] + ... + [mm] p_n\IZ [/mm] wobei [mm] p_1,...,p_n [/mm] aus [mm] \IQ [/mm] sind. Also der Begriff 'endlich' spiegelt sind in der endlichen Anzahl der [mm] p_1,...,p_n [/mm] wieder, also n Stück. U hat aber dennoch unendlich viele Elemente.
oder
2. U besteht aus endlich vielen Elementen, wäre dann z.B. U = [mm] \IZ/n\IZ [/mm] eine endliche Untergruppe von [mm] \IQ/\IZ [/mm] oder auch U = [mm] \IZ/n\IZ [/mm] + [mm] \IZ/m\IZ [/mm] mit [mm] m,n\in \IN.
[/mm]
Und was bedeutet es genau, wenn man sagt eine Gruppe sei endlich erzeugt. Gibt es dann endlich viele Elemente, die die Gruppe erzeugen (aber die Elementanzahl kann unendlich sein) oder ist die Elementanzahl der Gruppe endlich?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Fr 12.11.2010 | | Autor: | moudi |
> keine
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> Vorweg: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Ich habe nur einige allgemeine Fragen zu dem Begriff einer
> endlichen Untergruppe.
>
> Haben wir z.b. die Faktorgruppe [mm]\IQ/\IZ.[/mm] Sei U eine
> endliche Untergruppe. Gilt dann:
> 1. U = [mm]p_1\IZ[/mm] + ... + [mm]p_n\IZ[/mm] wobei [mm]p_1,...,p_n[/mm] aus [mm]\IQ[/mm]
> sind. Also der Begriff 'endlich' spiegelt sind in der
> endlichen Anzahl der [mm]p_1,...,p_n[/mm] wieder, also n Stück. U
> hat aber dennoch unendlich viele Elemente.
Wenn man von einer endlichen Untergruppe spricht, dann meint man, dass die Untergruppe aus endlich vielen Elementen besteht.
> oder
> 2. U besteht aus endlich vielen Elementen, wäre dann z.B.
> U = [mm]\IZ/n\IZ[/mm] eine endliche Untergruppe von [mm]\IQ/\IZ[/mm] oder
> auch U = [mm]\IZ/n\IZ[/mm] + [mm]\IZ/m\IZ[/mm] mit [mm]m,n\in \IN.[/mm]
>
Was meinst du hier genau? Inwiefern ist [mm] $\mathbb Z/n\mathbb [/mm] Z$ eine Untergruppe von [mm] $\mathbb Q/\mathbb [/mm] Z$?
Z.B. ist die vom Element [mm] $\frac1n$ [/mm] erzeugte UG in [mm] $\mathbb Q/\mathbb [/mm] Z$ isomorph zu [mm] $\mathbb Z/n\mathbb [/mm] Z$, denn beide Gruppen sind zyklisch von der Ordnung n.
> Und was bedeutet es genau, wenn man sagt eine Gruppe sei
> endlich erzeugt. Gibt es dann endlich viele Elemente, die
> die Gruppe erzeugen (aber die Elementanzahl kann unendlich
> sein) oder ist die Elementanzahl der Gruppe endlich?
Sei A eine Teilmenge einer Gruppe, dann ist die von A erzeugte Untergruppe die kleinste Untergruppe, die A enthaelt. Wenn A eine endliche Menge ist, dann braucht die von A erzeugte Untergruppe noch lange nicht endlich zu sein. Zum Beispiel wird jede Untergruppe der additivien Gruppe [mm] $\mathbb [/mm] Z$ von einem einzigen Element erzeugt. Jede dieser Untergruppen ist (bis auf die triviale UG ={0}) unendlich.
>
> Gruß
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Sa 13.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
> Was meinst du hier genau? Inwiefern ist [mm]\mathbb Z/n\mathbb Z[/mm]
> eine Untergruppe von [mm]\mathbb Q/\mathbb Z[/mm]?
Sei [mm]U:=\mathbb Z/3\mathbb Z[/mm]. Dann sind 0,1,2 Element von U und sind diese 3 Elemente nicht auch Element von [mm]\mathbb Q/\mathbb Z[/mm]?
> Z.B. ist die vom
> Element [mm]\frac1n[/mm] erzeugte UG in [mm]\mathbb Q/\mathbb Z[/mm] isomorph
> zu [mm]\mathbb Z/n\mathbb Z[/mm], denn beide Gruppen sind zyklisch
> von der Ordnung n.
Wieso ist denn die durch [mm]\frac1n[/mm] erzeugte Untergruppe zyklisch? Wären die Elemente nicht:
[mm]\frac1n, \frac2n, \frac3n, ,...\frac nn, \frac{n+1}{n},... [/mm]
Also unendlich viele?
> Sei A eine Teilmenge einer Gruppe, dann ist die von A
> erzeugte Untergruppe die kleinste Untergruppe, die A
> enthaelt. Wenn A eine endliche Menge ist, dann braucht die
> von A erzeugte Untergruppe noch lange nicht endlich zu
> sein. Zum Beispiel wird jede Untergruppe der additivien
> Gruppe [mm]\mathbb Z[/mm] von einem einzigen Element erzeugt. Jede
> dieser Untergruppen ist (bis auf die triviale UG ={0})
> unendlich.
Also [mm] \IZ [/mm] ist eine zyklische Gruppe, die aber von einem Element erzeugt werden kann. Und weil [mm] \IZ [/mm] unendlich viele Elemente hat, ist unendlich zyklisch, sprich von der Ordnung unendlich. Ist [mm] \IZ [/mm] aber nun endlich erzeugt, da man nur 1 Element braucht um sie zu erzeugen? Oder bedeutet endlich erzeugt gleich endliche Elementanzahl?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Sa 13.11.2010 | | Autor: | moudi |
> > Was meinst du hier genau? Inwiefern ist [mm]\mathbb Z/n\mathbb Z[/mm]
> > eine Untergruppe von [mm]\mathbb Q/\mathbb Z[/mm]?
> Sei [mm]U:=\mathbb Z/3\mathbb Z[/mm].
> Dann sind 0,1,2 Element von U und sind diese 3 Elemente
> nicht auch Element von [mm]\mathbb Q/\mathbb Z[/mm]?
Nein, wieso?
In [mm] $\mathbb [/mm] Q$ schaust du Untergruppe [mm] $\mathbb [/mm] Z$ an und faktorisierst nach dieser Ungergruppe.
In [mm] $\mathbb [/mm] Z$ schaust die UG [mm] $n\mathbb [/mm] Z$ und faktorisierst nach dieser Untergruppe.
Aber [mm] $\mathbb [/mm] Z$ und [mm] $n\mathbb [/mm] Z$ sind nicht dieselben Untergruppen, deshalb kannst du nicht einfach [mm] $\mathbb Z/n\mathbb [/mm] Z$ als eine Untergruppe von [mm] $\mathbb Q/\mathbb [/mm] Z$ identifizieren.
>
>
> > Z.B. ist die vom
> > Element [mm]\frac1n[/mm] erzeugte UG in [mm]\mathbb Q/\mathbb Z[/mm] isomorph
> > zu [mm]\mathbb Z/n\mathbb Z[/mm], denn beide Gruppen sind zyklisch
> > von der Ordnung n.
> Wieso ist denn die durch [mm]\frac1n[/mm] erzeugte Untergruppe
> zyklisch? Wären die Elemente nicht:
> [mm]\frac1n, \frac2n, \frac3n, ,...\frac nn, \frac{n+1}{n},...[/mm]
>
> Also unendlich viele?
Nein. Ich habe geschrieben in [mm] $\mathbb Q/\mathbb [/mm] Z$. Das Element [mm] $\frac1n$ [/mm] (also die entsprechende Nebenklasse) erzeugt die UG [mm] $\{\frac1n,\frac2n,\dots,\frac{n-1}n,\frac{n}{n}=0\}$. [/mm] Modulo [mm] $\mathbb [/mm] Z$ gilt $1=0$,
>
>
> > Sei A eine Teilmenge einer Gruppe, dann ist die von A
> > erzeugte Untergruppe die kleinste Untergruppe, die A
> > enthaelt. Wenn A eine endliche Menge ist, dann braucht die
> > von A erzeugte Untergruppe noch lange nicht endlich zu
> > sein. Zum Beispiel wird jede Untergruppe der additivien
> > Gruppe [mm]\mathbb Z[/mm] von einem einzigen Element erzeugt. Jede
> > dieser Untergruppen ist (bis auf die triviale UG ={0})
> > unendlich.
> Also [mm]\IZ[/mm] ist eine zyklische Gruppe, die aber von einem
> Element erzeugt werden kann. Und weil [mm]\IZ[/mm] unendlich viele
> Elemente hat, ist unendlich zyklisch, sprich von der
> Ordnung unendlich. Ist [mm]\IZ[/mm] aber nun endlich erzeugt, da man
> nur 1 Element braucht um sie zu erzeugen? Oder bedeutet
> endlich erzeugt gleich endliche Elementanzahl?
Endlich erzeugt meint, es braucht nur endlich viele Elemente um die Gruppe zu Erzeugen. Die erzeugt Untergruppe besteht dann aus allen moeglichen Produkten von den Erzeugenden (und ihren Inversen).
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Sa 13.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Danke erstmal!
Dann versuche ich nochmal kurz zu verstehen, was [mm] G:=\IQ/\IZ [/mm] eigentlich bedeutet: Nun ist G die Menge aller Linksnebenklassen, also [mm] G=\{q+\IZ \mid q\in\IQ\}. [/mm] Also ist z.B. [mm] \frac12+\IZ=\{\frac12 +z\mid z\in\IZ\}=\{...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...\} [/mm] ein Element aus G? So würde ich mir das aus meinen Definitionen herleiten. Aber das ist jetzt sicher falsch, wenn ich mir deine Erläuterungen dazu ansehe, oder?
> Endlich erzeugt meint, es braucht nur endlich viele
> Elemente um die Gruppe zu Erzeugen. Die erzeugt Untergruppe
> besteht dann aus allen moeglichen Produkten von den
> Erzeugenden (und ihren Inversen).
Also wäre [mm] \IZ [/mm] endlich erzeugt, aber mit unendlicher Elementanzahl?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Sa 13.11.2010 | | Autor: | moudi |
> Danke erstmal!
>
> Dann versuche ich nochmal kurz zu verstehen, was [mm]G:=\IQ/\IZ[/mm]
> eigentlich bedeutet: Nun ist G die Menge aller
> Linksnebenklassen, also [mm]G=\{q+\IZ \mid q\in\IQ\}.[/mm] Also ist
> z.B. [mm]\frac12+\IZ=\{\frac12 +z\mid z\in\IZ\}=\{...,-1.5,-0.5,0.5,1.5,...\}[/mm]
> ein Element aus G? So würde ich mir das aus meinen
> Definitionen herleiten. Aber das ist jetzt sicher falsch,
> wenn ich mir deine Erläuterungen dazu ansehe, oder?
Nein, das ist genau so richtig. Aber fuer das Rechnen oder das Verstaendnis ist es oft einfacher, dass man sich die Elemente von [mm] $\mathbb Q/\mathbb [/mm] Z$ nicht als Mengen vorstellt, sondern einfach als Zahlen von [mm] $\mathbb [/mm] Q$ mit der zusaetzlichen Eigenschaft, dass z.B [mm] $\frac32=\frac12 \mod\mathbb [/mm] Z$ gilt, etc.
>
>
> > Endlich erzeugt meint, es braucht nur endlich viele
> > Elemente um die Gruppe zu Erzeugen. Die erzeugt Untergruppe
> > besteht dann aus allen moeglichen Produkten von den
> > Erzeugenden (und ihren Inversen).
> Also wäre [mm]\IZ[/mm] endlich erzeugt, aber mit unendlicher
> Elementanzahl?
Ja, so ist es.
Man kann es ein bisschen vergleichen wie mit Vektorraeumen. Ein Vektorraum (ueber einem unendlichen Koerper) kann eine endliche Basis haben, wird aber immer eine unendliche Menge sein.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 So 14.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
> Nein, das ist genau so richtig. Aber fuer das Rechnen oder
> das Verstaendnis ist es oft einfacher, dass man sich die
> Elemente von [mm]\mathbb Q/\mathbb Z[/mm] nicht als Mengen
> vorstellt, sondern einfach als Zahlen von [mm]\mathbb Q[/mm] mit der
> zusaetzlichen Eigenschaft, dass z.B [mm]\frac32=\frac12 \mod\mathbb Z[/mm]
> gilt, etc.
1. Sei nun [mm] G:=\IQ/\IZ [/mm] und [mm] U\le [/mm] G Untergruppe. Könnte U nun von folgender Form sein: [mm] U:=q\IZ [/mm] wobei [mm] q\in\IQ [/mm] ?
2. Nach deinen angesprochenen Rechenregeln wäre z.B. die Untergruppe [mm] \frac12\IZ [/mm] klarerweise isomorph zu [mm] \IZ/2\IZ [/mm] oder eben [mm] \frac1n\IZ [/mm] isomorph zu [mm] \IZ/n\IZ [/mm] ?
3. Welche Schreibweise ist denn hierbei nun eigentlich die richtige: [mm] \frac12\IZ [/mm] oder [mm] \IZ\frac12 [/mm] oder [mm] \frac12+\IZ [/mm] oder [mm] \IZ/\frac12\IZ [/mm] ?
Danke nochmals für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:07 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Nein, das ist genau so richtig. Aber fuer das Rechnen oder
> > das Verstaendnis ist es oft einfacher, dass man sich die
> > Elemente von [mm]\mathbb Q/\mathbb Z[/mm] nicht als Mengen
> > vorstellt, sondern einfach als Zahlen von [mm]\mathbb Q[/mm] mit der
> > zusaetzlichen Eigenschaft, dass z.B [mm]\frac32=\frac12 \mod\mathbb Z[/mm]
> > gilt, etc.
>
> 1. Sei nun [mm]G:=\IQ/\IZ[/mm] und [mm]U\le[/mm] G Untergruppe. Könnte U nun
> von folgender Form sein: [mm]U:=q\IZ[/mm] wobei [mm]q\in\IQ[/mm] ?
Nein. Es ist ja nichtmals eine Teilmenge von $G$. Es kann hoechstens ein Element von $G$ sein, falls $q$ von der Form [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] mit $n [mm] \in \IZ_{\neq 0}$ [/mm] ist.
Ein beliebiges Element von $G$ hat die Form $q + [mm] \IZ$. [/mm] Und eine Untergruppe von $G$ bekommst du, wenn du $(q + [mm] \IZ) \IZ [/mm] = [mm] \{ z q + \IZ \mid z \in \IZ \}$ [/mm] anschaust
> 2. Nach deinen angesprochenen Rechenregeln wäre z.B. die
> Untergruppe [mm]\frac12\IZ[/mm] klarerweise isomorph zu [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
> oder eben [mm]\frac1n\IZ[/mm] isomorph zu [mm]\IZ/n\IZ[/mm] ?
Du meinst die Untergruppe [mm] $(\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \IZ) \IZ$. [/mm] Die ist isomorph zu [mm] $\IZ/2\IZ$.
[/mm]
Und [mm] $(\frac{1}{n} [/mm] + [mm] \IZ) \IZ$ [/mm] ist isomorph zu [mm] $\IZ/n\IZ$.
[/mm]
> 3. Welche Schreibweise ist denn hierbei nun eigentlich die
> richtige: [mm]\frac12\IZ[/mm] oder [mm]\IZ\frac12[/mm]
Ist beides das gleiche, und steht fuer [mm] $\{ \frac{z}{2} \mid z \in \IZ \}$. [/mm] Das ist im Allgemeinen nichtmals ein Element von $G$, geschweige denn eine Teilmenge.
> oder [mm]\frac12+\IZ[/mm] oder
Das ist ein Element von $G$, aber keine Teilmenge.
> [mm]\IZ/\frac12\IZ[/mm] ?
Das ist einfach sinnlos, da [mm] $\frac{1}{2} \IZ$ [/mm] keine Untergruppe von [mm] $\IZ$ [/mm] ist -- nichtmals eine Teilmenge!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 So 14.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
> Ein beliebiges Element von [mm]G:=\IQ/\IZ[/mm] hat die Form [mm]q + \IZ[/mm]. Und eine
> Untergruppe von [mm]G[/mm] bekommst du, wenn du
> [mm](q + \IZ) \IZ = \{ z q + \IZ \mid z \in \IZ \}[/mm] anschaust
Meinst du (q + [mm] \IZ) \IZ [/mm] = [mm] \{ (z\cdot q) + \IZ \mid z \in \IZ \} [/mm] oder (q + [mm] \IZ) \IZ [/mm] = [mm] \{ z (q + \IZ) \mid z \in \IZ \}?
[/mm]
> Und [mm](\frac{1}{n} + \IZ) \IZ[/mm] ist isomorph zu [mm]\IZ/n\IZ[/mm].
Dürfte ich auch [mm] \left\langle\frac1n+\IZ\right\rangle [/mm] schreiben, anstatt [mm] (\frac{1}{n} [/mm] + [mm] \IZ) \IZ?
[/mm]
Und wenn ich nun die Untergruppen U:=(q + [mm] \IZ) \IZ [/mm] und V:=(p + [mm] \IZ) \IZ [/mm] mit [mm] p,q\in\IQ [/mm] habe. Was ist denn dann U+V? Auf jeden Fall ist U+V auch ene Untergruppe in G, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 14.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Ein beliebiges Element von [mm]G:=\IQ/\IZ[/mm] hat die Form [mm]q + \IZ[/mm].
> Und eine
> > Untergruppe von [mm]G[/mm] bekommst du, wenn du
> > [mm](q + \IZ) \IZ = \{ z q + \IZ \mid z \in \IZ \}[/mm]
> > anschaust
>
> Meinst du (q + [mm]\IZ) \IZ[/mm] = [mm]\{ (z\cdot q) + \IZ \mid z \in \IZ \}[/mm]
> oder (q + [mm]\IZ) \IZ[/mm] = [mm]\{ z (q + \IZ) \mid z \in \IZ \}?[/mm]
ich meinte ersteres, ist aber beides das gleiche (weisst du warum?).
> > Und [mm](\frac{1}{n} + \IZ) \IZ[/mm] ist isomorph zu [mm]\IZ/n\IZ[/mm].
>
> Dürfte ich auch [mm]\left\langle\frac1n+\IZ\right\rangle[/mm]
> schreiben, anstatt [mm](\frac{1}{n}[/mm] + [mm]\IZ) \IZ?[/mm]
Ja.
> Und wenn ich nun die Untergruppen U:=(q + [mm]\IZ) \IZ[/mm] und
> V:=(p + [mm]\IZ) \IZ[/mm] mit [mm]p,q\in\IQ[/mm] habe. Was ist denn dann U+V?
Das ist dann $(q + [mm] \IZ) \IZ [/mm] + (p + [mm] \IZ) \IZ [/mm] = [mm] \langle [/mm] q + [mm] \IZ, [/mm] p + [mm] \IZ \rangle$.
[/mm]
> Auf jeden Fall ist U+V auch ene Untergruppe in G, oder?
Ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 So 14.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Danke erstmal!
> > Meinst du (q + [mm]\IZ) \IZ[/mm] = [mm]\{ (z\cdot q) + \IZ \mid z \in \IZ \}[/mm] oder (q + [mm]\IZ) \IZ[/mm] = [mm]\{ z (q + \IZ) \mid z \in \IZ \}?[/mm]
> ich meinte ersteres, ist aber beides das gleiche (weisst du warum?).
Ich glaube schon.
> > > Und [mm](\frac{1}{n} + \IZ) \IZ[/mm] ist isomorph zu [mm]\IZ/n\IZ[/mm].
Sei [mm] V:=\left\langle\frac1n+\IZ\right\rangle. [/mm] Wäre dann f: [mm] V\ni (\frac1n +\IZ)^k \mapsto [/mm] k mod n [mm] \in \IZ/n\IZ [/mm] der zugehörige Isomorphismus (dabei meine ich mit [mm] (\frac1n +\IZ)^k=\frac1n +\IZ+...+\frac1n +\IZ [/mm] und das eben k-mal)?
> Das ist dann [mm](q + \IZ) \IZ + (p + \IZ) \IZ = \langle q + \IZ, p + \IZ \rangle[/mm].
Wenn wir nun [mm] U:=\left\langle\frac45+\IZ\right\rangle [/mm] und [mm] V:=\left\langle\frac29+\IZ\right\rangle [/mm] haben. Wie kann ich mir dann [mm] U+V=\langle \frac45 [/mm] + [mm] \IZ, \frac29 [/mm] + [mm] \IZ \rangle [/mm] vorstellen?
Gruß.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Mo 15.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > > Und [mm](\frac{1}{n} + \IZ) \IZ[/mm] ist isomorph zu [mm]\IZ/n\IZ[/mm].
> Sei [mm]V:=\left\langle\frac1n+\IZ\right\rangle.[/mm] Wäre dann f:
> [mm]V\ni (\frac1n +\IZ)^k \mapsto[/mm] k mod n [mm]\in \IZ/n\IZ[/mm] der
> zugehörige Isomorphismus (dabei meine ich mit [mm](\frac1n +\IZ)^k=\frac1n +\IZ+...+\frac1n +\IZ[/mm]
> und das eben k-mal)?
Nun, du schreibst allerdings $k [mm] (\frac{1}{n} [/mm] + [mm] \IZ)$ [/mm] anstelle [mm] $(\frac{1}{n} [/mm] + [mm] \IZ)^k$, [/mm] schliesslich ist [mm] $\IQ/\IZ$ [/mm] eine additive Gruppe und keine multiplikative!
Und ja, das ist ein Isomorphismus.
> > Das ist dann [mm](q + \IZ) \IZ + (p + \IZ) \IZ = \langle q + \IZ, p + \IZ \rangle[/mm].
>
> Wenn wir nun [mm]U:=\left\langle\frac45+\IZ\right\rangle[/mm] und
> [mm]V:=\left\langle\frac29+\IZ\right\rangle[/mm] haben. Wie kann ich
> mir dann [mm]U+V=\langle \frac45[/mm] + [mm]\IZ, \frac29[/mm] + [mm]\IZ \rangle[/mm]
> vorstellen?
Es ist [mm] $\langle \frac{4}{5} [/mm] + [mm] \IZ \rangle [/mm] = [mm] \langle \frac{1}{5} [/mm] + [mm] \IZ \rangle$ [/mm] und [mm] $\langle \frac{2}{9} [/mm] + [mm] \IZ \rangle [/mm] = [mm] \langle \frac{1}{9} [/mm] + [mm] \IZ \rangle$ [/mm] (da 4 und 5 bzw. 2 und 9 teilerfremd sind), und [mm] $\langle \frac{1}{5} [/mm] + [mm] \IZ, \frac{1}{9} [/mm] + [mm] \IZ \rangle [/mm] = [mm] \langle \frac{1}{kgV(5, 9)} [/mm] + [mm] \IZ \rangle [/mm] = [mm] \langle \frac{1}{45} [/mm] + [mm] \IZ \rangle$. [/mm] (Warum das jeweils so ist musst du dir selber ueberlegen.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Mo 15.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Ok. Vielen Dank. Das hat mir alles sehr geholfen!
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