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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:26 Mo 25.05.2015 | | Autor: | Audin |
| Aufgabe | Es seien drei Zufallsvariablen $X, Y, Z$ gegeben mit [mm] $E(X^2). E(Y^2)< \infty$, [/mm] sowie $a, b [mm] \in \IR$.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass $E((aX + [mm] b)^2) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] und beweisen Sie dann, dass $Cov(aX + b, Y ) = aCov(X, Y )$ |
Hallo liebe Mathefreunde, ich bräuchte mal wieder etwas Rat.
Den Teil mit der Covarianz habe ich bereits bewiesen, allerdings tue ich mir mit folgendem etwas schwer.
"Zeigen Sie, dass $E((aX + [mm] b)^2) [/mm] < [mm] \infty$"
[/mm]
Ich bin nun erstmal wie folgt vorgegangen:
$E((aX + [mm] b)^2) [/mm] $
$= [mm] E((aX)^2+2abX+b^2) [/mm] $
$= [mm] E(a^2X^2)+E(2abX)+E(b^2) [/mm] $
$= [mm] a^2 E(X^2)+2abE(X)+b^2 [/mm] $
[mm] $\leq a^2 E(X^2)+2abE(|X|)+b^2$
[/mm]
[mm] $\leq a^2 E(X^2)+2abE(X^2)+b^2$
[/mm]
Nun weiss ich ja, das [mm] $E(X^2)<\infty$
[/mm]
Also ist [mm] $a^2 E(X^2)+2abE(X^2)+b^2<\infty$
[/mm]
Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob man das wirklich so machen darf.
Mfg. Audin
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Hiho,
> Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob man das wirklich so machen darf.
sofern ihr die Linearität des Erwartungswerts bereits bewiesen habt, kannst du das so machen.
Allerdings ist folgender Umformungsschritt falsch:
> [mm]\leq a^2 E(X^2)+2abE(|X|)+b^2[/mm]
>
> [mm]\leq a^2 E(X^2)+2abE(X^2)+b^2[/mm]
Begründe den mal.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 25.05.2015 | | Autor: | Audin |
> Hiho,
>
> > Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob man das
> wirklich so machen darf.
>
> sofern ihr die Linearität des Erwartungswerts bereits
> bewiesen habt, kannst du das so machen.
Ja die haben wir bereits bewiesen :)
> Allerdings ist folgender Umformungsschritt falsch:
>
> > [mm]\leq a^2 E(X^2)+2abE(|X|)+b^2[/mm]
> >
> > [mm]\leq a^2 E(X^2)+2abE(X^2)+b^2[/mm]
>
> Begründe den mal.
>
> Gruß,
> Gono
>
Ursprünglich habe ich mir dabei gedacht, dass [mm] $x\leq x^2$ [/mm] gilt.
Aber das stimmt ja garnicht. Allein für [mm] $x=\frac{1}{2}$ [/mm] ist das nicht mehr war.
Aber irgendwie muss ich ja begründen, dass aus [mm] $E(X^2)<\infty \Rightarrow E(X)<\infty$.
[/mm]
Meine erste Idee war, dass gilt [mm] $E(X^2)=E(X)\cdot [/mm] E(X) [mm] <\infty$. [/mm]
Das gilt allerdings nur wenn die Zufallsvariablen unabhängig sind.
mfg. Audin
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Hiho,
korrekt und X ist nur unabhängig von sich selbst, wenn X konstant ist 
Aber Dank der ![[]](/images/popup.gif) Jensenschen Ungleichung wissen wir: $E[X] [mm] \le \sqrt{E[X^2]}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mo 25.05.2015 | | Autor: | Audin |
Hi vielen dank :)
An die Jensensche Ungleichung habe ich garnicht gedacht.
Mfg. Audin
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