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| Aufgabe | [mm] X:(\Omega,\mathcal{A}) \to (\Omega', \mathcal{A}') [/mm] sei eine messbare Abbildung Abbildung zwischen Maßräumen, und [mm] \mu [/mm] sei ein Maß auf [mm] (\Omega,\mathcal{A}). [/mm] Dann definieren wir [mm] $\mu^{X}:(\Omega',\mathcal{A}')$ [/mm] wie folgt:
[mm] $\mu^{X}(A):=\mu(X^{-1}(A))$ [/mm] für alle [mm] $A\in\mathcal{A'}$.
[/mm]
Zeige: Ist [mm] \mu [/mm] ein endliches Maß, so ist auch [mm] \mu^{X} [/mm] ein endliches Maß.
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Hallo!
Ich verstehe bei obiger Aufgabe nicht, was noch zu zeigen ist.
Wenn ich [mm] $A\in\mathcal{A}'$ [/mm] beliebig wähle, ist doch [mm] $X^{-1}(A)\in \mathcal{A}$, [/mm] oder (da X messbar)?
Stimmt die Begründung mit dem messbar?
Da [mm] \mu [/mm] endlich ist, ist dann doch auch
[mm] $\mu^{X}(A) [/mm] = [mm] \mu(X^{-1}(A))<\infty$,
[/mm]
oder?
Übersehe ich etwas?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 So 02.05.2010 | | Autor: | pelzig |
> [mm]X:(\Omega,\mathcal{A}) \to (\Omega', \mathcal{A}')[/mm] sei eine
> messbare Abbildung Abbildung zwischen Maßräumen, und [mm]\mu[/mm]
> sei ein Maß auf [mm](\Omega,\mathcal{A}).[/mm] Dann definieren wir
> [mm]\mu^{X}:(\Omega',\mathcal{A}')[/mm] wie folgt:
>
> [mm]\mu^{X}(A):=\mu(X^{-1}(A))[/mm] für alle [mm]A\in\mathcal{A'}[/mm].
>
> Zeige: Ist [mm]\mu[/mm] ein endliches Maß, so ist auch [mm]\mu^{X}[/mm] ein
> endliches Maß.
>
> Hallo!
>
> Ich verstehe bei obiger Aufgabe nicht, was noch zu zeigen ist.
Na das steht doch da: Zeige dass [mm] $\mu^X$ [/mm] ein endliches Maß ist.
> Wenn ich [mm]A\in\mathcal{A}'[/mm] beliebig wähle, ist doch
> [mm]X^{-1}(A)\in \mathcal{A}[/mm], oder (da X messbar)?
> Stimmt die Begründung mit dem messbar?
Ja, das ist die Definition der Meßbarkeit von X. Damit hast du gezeigt, dass die Definition von [mm] $\mu^X$ [/mm] überhaupt Sinn macht.
> Da [mm]\mu[/mm] endlich ist, ist dann doch auch
> [mm]\mu^{X}(A) = \mu(X^{-1}(A))<\infty[/mm],
Ja. Was du aber noch zeigen musst ist, das [mm] $\mu^X$ [/mm] überhaupt ein Maß ist.
Gruß, Robert
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Hallo!
Danke pelzig, für deine Antwort 
Dass [mm] \mu^{X} [/mm] ein Maß ist, wurde in einer vorhergehenden Teilaufgabe gezeigt. Diese Aufgabe hier (also zu zeigen, dass [mm] \mu^{X} [/mm] endlich), war eine Extra-Teilaufgabe. Es ist also zu dieser nicht mehr zu schreiben als ich geschrieben habe?
Vielen Dank!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 So 02.05.2010 | | Autor: | pelzig |
> Dass [mm]\mu^{X}[/mm] ein Maß ist, wurde in einer vorhergehenden
> Teilaufgabe gezeigt. Diese Aufgabe hier (also zu zeigen,
> dass [mm]\mu^{X}[/mm] endlich), war eine Extra-Teilaufgabe. Es ist
> also zu dieser nicht mehr zu schreiben als ich geschrieben habe?
Nein das wars, du bist fertig. Den Teil das [mm] $X^{-1}(A)\in\mathcal{A}$ [/mm] ist für alle [mm] $A\in\mathcal{A}'$ [/mm] kannst du sogar weglassen, weil du das ja vermutlich schon in der Teilaufgabe davor "gezeigt" hast.
Gruß, Robert
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Vielen Dank, pelzig!
Grüße,
Stefan
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