Endom. Bild = Kern & invariant < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Di 15.07.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, n [mm] \in \IN, [/mm] und V ein n-dimensionaler Vektorraum über K.
a) Zeigen Sie, dass es genau dann einen Endomorphismus [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V mit [mm] Bild(\phi) [/mm] = [mm] Kern(\phi) [/mm] gibt, wenn n gerade ist.
b) Sei [mm] \psi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V ein invertierbarer Endomorphismus und U [mm] \leq [/mm] V ein [mm] \psi-invarianter [/mm] Unterraum. Zeigen Sie, dass U auch [mm] \psi^{-1} [/mm] -invariant ist. |
Hallo zusammen,
meine Lösungen wären
zu a)
Es gilt dim(V) = [mm] rk(\phi) [/mm] + [mm] def(\phi). [/mm] Wenn [mm] Im(\phi) [/mm] = [mm] Ker(\phi) [/mm] dann auch [mm] rk(\phi) [/mm] = [mm] def(\phi) [/mm] und damit dim(V) = 2 * [mm] rk(\phi). [/mm] Also hat V genau dann gerade Dimension, wenn es ein [mm] \phi [/mm] gibt mit [mm] Im(\phi) [/mm] = [mm] Ker(\phi).
[/mm]
zu b)
Wenn U [mm] \psi [/mm] -invariant ist, dann gilt für alle u [mm] \in [/mm] U [mm] \psi(u) \subseteq [/mm] U. Wenn [mm] \psi [/mm] invertierbar ist, dann gilt für alle v [mm] \in [/mm] V [mm] \psi^{-1}(\psi(v)) [/mm] = v also auch insbesondere [mm] \psi^{-1}(\psi(u)) [/mm] = u also ist U ein [mm] \psi^{-1} [/mm] -invarianter Unterraum.
allerdings erscheinen mir diese im Verhältnis zu der Punktzahl, die die Aufgabe geben würde zu simpel und kurz. Habe ich etwas übersehen?
Vielen Dank fürs Lesen.
Viele Grüße,
Avinu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Di 15.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei K ein Körper, n [mm]\in \IN,[/mm] und V ein n-dimensionaler
> Vektorraum über K.
>
> a) Zeigen Sie, dass es genau dann einen Endomorphismus [mm]\phi[/mm]
> : V [mm]\to[/mm] V mit [mm]Bild(\phi)[/mm] = [mm]Kern(\phi)[/mm] gibt, wenn n gerade
> ist.
>
> b) Sei [mm]\psi[/mm] : V [mm]\to[/mm] V ein invertierbarer Endomorphismus und
> U [mm]\leq[/mm] V ein [mm]\psi-invarianter[/mm] Unterraum. Zeigen Sie, dass U
> auch [mm]\psi^{-1}[/mm] -invariant ist.
> Hallo zusammen,
>
> meine Lösungen wären
>
> zu a)
> Es gilt dim(V) = [mm]rk(\phi)[/mm] + [mm]def(\phi).[/mm] Wenn [mm]Im(\phi)[/mm] =
> [mm]Ker(\phi)[/mm] dann auch [mm]rk(\phi)[/mm] = [mm]def(\phi)[/mm] und damit dim(V) =
> 2 * [mm]rk(\phi).[/mm]
Soweit ist alles in Ordnung...
> Also hat V genau dann gerade Dimension, wenn
> es ein [mm]\phi[/mm] gibt mit [mm]Im(\phi)[/mm] = [mm]Ker(\phi).[/mm]
... aber das ist nicht richtig. Du hast nur gezeigt, dass wenn ein solcher Endomorphismus existiert, dass dann die Dimension gerade ist. Die Umkehrung, naemlich dass sich im Falle gerader Dimension so ein Endomorphismus finden laesst, hast Du noch nicht geloest.
>
> zu b)
> Wenn U [mm]\psi[/mm] -invariant ist, dann gilt für alle u [mm]\in[/mm] U
> [mm]\psi(u) \subseteq[/mm] U. Wenn [mm]\psi[/mm] invertierbar ist, dann gilt
> für alle v [mm]\in[/mm] V [mm]\psi^{-1}(\psi(v))[/mm] = v also auch
> insbesondere [mm]\psi^{-1}(\psi(u))[/mm] = u also ist U ein
> [mm]\psi^{-1}[/mm] -invarianter Unterraum.
Damit ist gezeigt, dass [mm] $\psi(U)$ [/mm] von [mm] $\psi^{-1}$ [/mm] in $U$ abgebildet wird, aber wird auch $U$ von [mm] $\psi^{-1}$ [/mm] in $U$ abgebildet? Ja klar, weil ...
>
> allerdings erscheinen mir diese im Verhältnis zu der
> Punktzahl, die die Aufgabe geben würde zu simpel und kurz.
> Habe ich etwas übersehen?
>
> Vielen Dank fürs Lesen.
>
> Viele Grüße,
> Avinu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Di 15.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo hippias,
erst mal vielen Dank für deine Antwort!
> > Sei K ein Körper, n [mm]\in \IN,[/mm] und V ein n-dimensionaler
> > Vektorraum über K.
> >
> > a) Zeigen Sie, dass es genau dann einen Endomorphismus [mm]\phi[/mm]
> > : V [mm]\to[/mm] V mit [mm]Bild(\phi)[/mm] = [mm]Kern(\phi)[/mm] gibt, wenn n gerade
> > ist.
> >
> > b) Sei [mm]\psi[/mm] : V [mm]\to[/mm] V ein invertierbarer Endomorphismus und
> > U [mm]\leq[/mm] V ein [mm]\psi-invarianter[/mm] Unterraum. Zeigen Sie, dass U
> > auch [mm]\psi^{-1}[/mm] -invariant ist.
> > Hallo zusammen,
> >
> > meine Lösungen wären
> >
> > zu a)
> > Es gilt dim(V) = [mm]rk(\phi)[/mm] + [mm]def(\phi).[/mm] Wenn [mm]Im(\phi)[/mm] =
> > [mm]Ker(\phi)[/mm] dann auch [mm]rk(\phi)[/mm] = [mm]def(\phi)[/mm] und damit dim(V) =
> > 2 * [mm]rk(\phi).[/mm]
> Soweit ist alles in Ordnung...
> > Also hat V genau dann gerade Dimension, wenn
> > es ein [mm]\phi[/mm] gibt mit [mm]Im(\phi)[/mm] = [mm]Ker(\phi).[/mm]
> ... aber das ist nicht richtig. Du hast nur gezeigt, dass
> wenn ein solcher Endomorphismus existiert, dass dann die
> Dimension gerade ist. Die Umkehrung, naemlich dass sich im
> Falle gerader Dimension so ein Endomorphismus finden
> laesst, hast Du noch nicht geloest.
Ja, das stimmt natürlich. Ich hatte erst gedacht, dass die Umkehrung für die Rückrichtung auch funktionieren würde, sehe aber jetzt, dass das ja nicht der Fall ist.
Wir haben in der Vorlesung gesagt, dass wenn [mm] (s_1, [/mm] ..., [mm] s_n) [/mm] eine Basis eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes V ist, so gibt es für jeden K-Vektorraum W und jedes n-Tupel [mm] (w_1, [/mm] ..., [mm] w_n) [/mm] in W genau einen K-Vektorraumhomomorphismus [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W mit [mm] \phi(s_i) [/mm] = [mm] w_i [/mm] für alle i [mm] \in [/mm] [1,n].
Sei nun bei (a) dim(V) = 2n, dann existiert nach obigem Satz für eine Basis [mm] (s_1, [/mm] ..., [mm] s_n, t_1, [/mm] ..., [mm] t_n) [/mm] von V und das 2n-Tupel (0, ..., 0, [mm] s_1, [/mm] ..., [mm] s_n) [/mm] in V genau ein K-Vektorraumhomomorphismus mit [mm] \phi(s_i) [/mm] = 0 und [mm] \phi(t_i) [/mm] = [mm] s_i, [/mm] also [mm] Im(\phi) [/mm] = [mm] Ker(\phi).
[/mm]
> > zu b)
> > Wenn U [mm]\psi[/mm] -invariant ist, dann gilt für alle u [mm]\in[/mm] U
> > [mm]\psi(u) \subseteq[/mm] U. Wenn [mm]\psi[/mm] invertierbar ist, dann gilt
> > für alle v [mm]\in[/mm] V [mm]\psi^{-1}(\psi(v))[/mm] = v also auch
> > insbesondere [mm]\psi^{-1}(\psi(u))[/mm] = u also ist U ein
> > [mm]\psi^{-1}[/mm] -invarianter Unterraum.
> Damit ist gezeigt, dass [mm]\psi(U)[/mm] von [mm]\psi^{-1}[/mm] in [mm]U[/mm]
> abgebildet wird, aber wird auch [mm]U[/mm] von [mm]\psi^{-1}[/mm] in [mm]U[/mm]
> abgebildet? Ja klar, weil ...
... weil V endlichdimensional ist und [mm] \phi [/mm] damit surjektiv sein muss, wodurch [mm] \phi(U) [/mm] = U ist.
Viele Grüße,
Avinu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 Mi 16.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo hippias,
>
> erst mal vielen Dank für deine Antwort!
>
>
> > > Sei K ein Körper, n [mm]\in \IN,[/mm] und V ein n-dimensionaler
> > > Vektorraum über K.
> > >
> > > a) Zeigen Sie, dass es genau dann einen Endomorphismus [mm]\phi[/mm]
> > > : V [mm]\to[/mm] V mit [mm]Bild(\phi)[/mm] = [mm]Kern(\phi)[/mm] gibt, wenn n gerade
> > > ist.
> > >
> > > b) Sei [mm]\psi[/mm] : V [mm]\to[/mm] V ein invertierbarer Endomorphismus und
> > > U [mm]\leq[/mm] V ein [mm]\psi-invarianter[/mm] Unterraum. Zeigen Sie, dass U
> > > auch [mm]\psi^{-1}[/mm] -invariant ist.
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > meine Lösungen wären
> > >
> > > zu a)
> > > Es gilt dim(V) = [mm]rk(\phi)[/mm] + [mm]def(\phi).[/mm] Wenn [mm]Im(\phi)[/mm]
> =
> > > [mm]Ker(\phi)[/mm] dann auch [mm]rk(\phi)[/mm] = [mm]def(\phi)[/mm] und damit dim(V) =
> > > 2 * [mm]rk(\phi).[/mm]
> > Soweit ist alles in Ordnung...
> > > Also hat V genau dann gerade Dimension, wenn
> > > es ein [mm]\phi[/mm] gibt mit [mm]Im(\phi)[/mm] = [mm]Ker(\phi).[/mm]
> > ... aber das ist nicht richtig. Du hast nur gezeigt,
> dass
> > wenn ein solcher Endomorphismus existiert, dass dann die
> > Dimension gerade ist. Die Umkehrung, naemlich dass sich im
> > Falle gerader Dimension so ein Endomorphismus finden
> > laesst, hast Du noch nicht geloest.
>
> Ja, das stimmt natürlich. Ich hatte erst gedacht, dass die
> Umkehrung für die Rückrichtung auch funktionieren würde,
> sehe aber jetzt, dass das ja nicht der Fall ist.
>
> Wir haben in der Vorlesung gesagt, dass wenn [mm](s_1,[/mm] ...,
> [mm]s_n)[/mm] eine Basis eines endlichdimensionalen K-Vektorraumes V
> ist, so gibt es für jeden K-Vektorraum W und jedes n-Tupel
> [mm](w_1,[/mm] ..., [mm]w_n)[/mm] in W genau einen K-Vektorraumhomomorphismus
> [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] W mit [mm]\phi(s_i)[/mm] = [mm]w_i[/mm] für alle i [mm]\in[/mm] [1,n].
>
> Sei nun bei (a) dim(V) = 2n, dann existiert nach obigem
> Satz für eine Basis [mm](s_1,[/mm] ..., [mm]s_n, t_1,[/mm] ..., [mm]t_n)[/mm] von V
> und das 2n-Tupel (0, ..., 0, [mm]s_1,[/mm] ..., [mm]s_n)[/mm] in V genau ein
> K-Vektorraumhomomorphismus mit [mm]\phi(s_i)[/mm] = 0 und [mm]\phi(t_i)[/mm]
> = [mm]s_i,[/mm] also [mm]Im(\phi)[/mm] = [mm]Ker(\phi).[/mm]
Gut gemacht.
>
> > > zu b)
> > > Wenn U [mm]\psi[/mm] -invariant ist, dann gilt für alle u
> [mm]\in[/mm] U
> > > [mm]\psi(u) \subseteq[/mm] U. Wenn [mm]\psi[/mm] invertierbar ist, dann gilt
> > > für alle v [mm]\in[/mm] V [mm]\psi^{-1}(\psi(v))[/mm] = v also auch
> > > insbesondere [mm]\psi^{-1}(\psi(u))[/mm] = u also ist U ein
> > > [mm]\psi^{-1}[/mm] -invarianter Unterraum.
> > Damit ist gezeigt, dass [mm]\psi(U)[/mm] von [mm]\psi^{-1}[/mm] in [mm]U[/mm]
> > abgebildet wird, aber wird auch [mm]U[/mm] von [mm]\psi^{-1}[/mm] in [mm]U[/mm]
> > abgebildet? Ja klar, weil ...
>
> ... weil V endlichdimensional ist und [mm]\phi[/mm] damit surjektiv
> sein muss, wodurch [mm]\phi(U)[/mm] = U ist.
>
Obacht: [mm] $\psi$ [/mm] ist zweifellos surjektiv, aber ist es damit auch die Einschraenkung von [mm] $\psi$ [/mm] auf $U$? Im allgemeinen ist das nicht so, aber sehr wohl bei Endomorphismen endlichdimensionaler Raeume. Daher wuerde ich hier etwas ausfuehrlicherer begruenden.
> Viele Grüße,
> Avinu
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo hippias,
noch mal vielen Dank für deine Antwort!
> > > Damit ist gezeigt, dass [mm]\psi(U)[/mm] von [mm]\psi^{-1}[/mm] in [mm]U[/mm]
> > > abgebildet wird, aber wird auch [mm]U[/mm] von [mm]\psi^{-1}[/mm] in [mm]U[/mm]
> > > abgebildet? Ja klar, weil ...
> >
> > ... weil V endlichdimensional ist und [mm]\phi[/mm] damit surjektiv
> > sein muss, wodurch [mm]\phi(U)[/mm] = U ist.
> >
> Obacht: [mm]\psi[/mm] ist zweifellos surjektiv, aber ist es damit
> auch die Einschraenkung von [mm]\psi[/mm] auf [mm]U[/mm]? Im allgemeinen ist
> das nicht so, aber sehr wohl bei Endomorphismen
> endlichdimensionaler Raeume. Daher wuerde ich hier etwas
> ausfuehrlicherer begruenden.
Aus unserem Skript:
Es sei ein K-Vektorraumhomomorphismus [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent.
(a) Es ist [mm] \phi [/mm] ein K-Vektorraumisomorphismus.
(b) Es ist [mm] \phi [/mm] eine invertierbare Abbildung.
(c) Es ist [mm] \phi [/mm] bijektiv.
Für meine Aufgabe ist [mm] \psi [/mm] nach Aufgabenstellung ein invertierbarer Endomorphismus, also ist [mm] \psi [/mm] bijektiv.
Nach Aufgabenstellung ist [mm] \psi(U) \in [/mm] U. Gäbe es nun ein v [mm] \in [/mm] V \ U mit [mm] \psi(v) \in [/mm] U, dann müsste wegen der Bijektivität von [mm] \psi [/mm] auch ein u [mm] \in [/mm] U existieren, sodass [mm] \psi(u) \not\in [/mm] U gilt. Denn es "fehlt" ja quasi ein Element in U auf das [mm] \psi [/mm] abbilden kann. Ergo muss [mm] \psi(U) [/mm] = U gelten.
Damit ist dann aber auch [mm] \psi^{-1}(\psi(U)) [/mm] = [mm] \psi^{-1}(U) [/mm] = U und somit U auch [mm] $\psi^{-1}$-invariant.
[/mm]
Wäre das die ausführlichere Begründung, die du meintest?
Viele Grüße,
Avinu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Do 17.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo hippias,
>
> noch mal vielen Dank für deine Antwort!
>
> > > > Damit ist gezeigt, dass [mm]\psi(U)[/mm] von [mm]\psi^{-1}[/mm] in [mm]U[/mm]
> > > > abgebildet wird, aber wird auch [mm]U[/mm] von [mm]\psi^{-1}[/mm] in [mm]U[/mm]
> > > > abgebildet? Ja klar, weil ...
> > >
> > > ... weil V endlichdimensional ist und [mm]\phi[/mm] damit surjektiv
> > > sein muss, wodurch [mm]\phi(U)[/mm] = U ist.
> > >
> > Obacht: [mm]\psi[/mm] ist zweifellos surjektiv, aber ist es damit
> > auch die Einschraenkung von [mm]\psi[/mm] auf [mm]U[/mm]? Im allgemeinen ist
> > das nicht so, aber sehr wohl bei Endomorphismen
> > endlichdimensionaler Raeume. Daher wuerde ich hier etwas
> > ausfuehrlicherer begruenden.
>
> Aus unserem Skript:
>
> Es sei ein K-Vektorraumhomomorphismus [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] W. Die
> folgenden Bedingungen sind äquivalent.
> (a) Es ist [mm]\phi[/mm] ein K-Vektorraumisomorphismus.
> (b) Es ist [mm]\phi[/mm] eine invertierbare Abbildung.
> (c) Es ist [mm]\phi[/mm] bijektiv.
Edit: da stand Unsinn
>
> Für meine Aufgabe ist [mm]\psi[/mm] nach Aufgabenstellung ein
> invertierbarer Endomorphismus, also ist [mm]\psi[/mm] bijektiv.
>
> Nach Aufgabenstellung ist [mm]\psi(U) \in[/mm] U.
Du meinst sicher [mm] $\psi(U) \subseteq [/mm] U$
> Gäbe es nun ein v
> [mm]\in[/mm] V \ U mit [mm]\psi(v) \in[/mm] U, dann müsste wegen der
> Bijektivität von [mm]\psi[/mm] auch ein u [mm]\in[/mm] U existieren, sodass
> [mm]\psi(u) \not\in[/mm] U gilt.
Wieso das ????
> Denn es "fehlt" ja quasi ein
> Element in U auf das [mm]\psi[/mm] abbilden kann. Ergo muss [mm]\psi(U)[/mm]
> = U gelten.
> Damit ist dann aber auch [mm]\psi^{-1}(\psi(U))[/mm] = [mm]\psi^{-1}(U)[/mm]
> = U und somit U auch [mm]\psi^{-1}[/mm]-invariant.
>
> Wäre das die ausführlichere Begründung, die du
> meintest?
Ich fürchte nein.
Dass alle beteiligten Räume endliche Dimension haben , hast Du immer noch nicht eingebracht !
Sei dimU=k und [mm] \{u_1,...,u_k\} [/mm] eine Basis von U.
Zeige: [mm] \{\psi(u_1),...., \psi(u_k)\} [/mm] ist linear unabhängig.
Damit ist dim [mm] \psi(U) [/mm] =k.
Wegen [mm] $\psi(U) \subseteq [/mm] U$ folgt dann [mm] $\psi(U) [/mm] = U$
FRED
>
> Viele Grüße,
> Avinu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:48 Do 17.07.2014 | | Autor: | hippias |
> >
> > Aus unserem Skript:
> >
> > Es sei ein K-Vektorraumhomomorphismus [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] W. Die
> > folgenden Bedingungen sind äquivalent.
> > (a) Es ist [mm]\phi[/mm] ein K-Vektorraumisomorphismus.
> > (b) Es ist [mm]\phi[/mm] eine invertierbare Abbildung.
> > (c) Es ist [mm]\phi[/mm] bijektiv.
>
> Das gilt nur, wenn die Räume V und W endlichdimensional
> sond.
>
Dieser Satz gilt auch fuer unendlich dimensionale Raeume; das nicht ja nicht die FREDholmsche Alternative...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:57 Do 17.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> > >
> > > Aus unserem Skript:
> > >
> > > Es sei ein K-Vektorraumhomomorphismus [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] W. Die
> > > folgenden Bedingungen sind äquivalent.
> > > (a) Es ist [mm]\phi[/mm] ein K-Vektorraumisomorphismus.
> > > (b) Es ist [mm]\phi[/mm] eine invertierbare Abbildung.
> > > (c) Es ist [mm]\phi[/mm] bijektiv.
> >
> > Das gilt nur, wenn die Räume V und W endlichdimensional
> > sond.
> >
> Dieser Satz gilt auch fuer unendlich dimensionale Raeume;
> das nicht ja nicht die FREDholmsche Alternative...
Upps, Du hast recht
FRED
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:01 Do 17.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort!
> > Nach Aufgabenstellung ist [mm]\psi(U) \in[/mm] U.
>
>
> Du meinst sicher [mm]\psi(U) \subseteq U[/mm]
Ist das nicht äquivalent? Wenn für jedes u [mm] \in [/mm] U [mm] \psi(u) \in [/mm] U gilt, ist dadurch dann nicht [mm] \psi(U) \subseteq [/mm] U?
> > Gäbe es nun ein v
> > [mm]\in[/mm] V \ U mit [mm]\psi(v) \in[/mm] U, dann müsste wegen der
> > Bijektivität von [mm]\psi[/mm] auch ein u [mm]\in[/mm] U existieren, sodass
> > [mm]\psi(u) \not\in[/mm] U gilt.
>
>
> Wieso das ????
Beim schreiben dieser Antwort habe ich meinen Fehler glaube ich gefunden. Ich dachte, wenn für ein v [mm] \in [/mm] V \ U gilt, dass [mm] \psi(v) \in [/mm] U ist und [mm] \psi [/mm] bijektiv ist und weiterhin [mm] \phi(U) \subseteq [/mm] U gilt, dann muss für jedes u [mm] \in [/mm] U ein u' [mm] \in [/mm] U existieren, sodass [mm] \psi(u) [/mm] = u' ist? Wegen der Bijektivität muss doch dann |U| = [mm] |\psi(U)| [/mm] gelten. Wenn aber [mm] \psi(v) [/mm] = u'' [mm] \in [/mm] U gilt, dann kann es ja nicht gleichzeitig ein u [mm] \in [/mm] U geben mit [mm] \psi(u) [/mm] = u''. Aber eigentlich muss ja nur |U| [mm] \geq |\psi(U)| [/mm] gelten, richtig?
> > Wäre das die ausführlichere Begründung, die du
> > meintest?
>
> Ich fürchte nein.
>
> Dass alle beteiligten Räume endliche Dimension haben ,
> hast Du immer noch nicht eingebracht !
Brauche ich das denn? Die Bijektivität von [mm] \psi [/mm] folgt doch schon daraus, dass [mm] \psi [/mm] invertierbar ist, oder?
> Sei dimU=k und [mm]\{u_1,...,u_k\}[/mm] eine Basis von U.
>
> Zeige: [mm]\{\psi(u_1),...., \psi(u_k)\}[/mm] ist linear
> unabhängig.
Sei a [mm] \in K^k, [/mm] sodass [mm] \summe_{i=1}^{k}a_i \psi(u_i) [/mm] = 0. Dann gilt 0 = [mm] \summe_{i=1}^{k}a_i \psi(u_i) =\psi(\summe_{i=1}^{k}a_i u_i) [/mm] also ist [mm] \summe_{i=1}^{k}a_i \psi(u_i) \in Ker(\psi). [/mm] Da [mm] \psi [/mm] aber injektiv ist, ist [mm] Ker(\psi) [/mm] = 0 also muss auch [mm] \summe_{i=1}^{k}a_i \psi(u_i) [/mm] = 0 gelten, wodurch a = 0 gelten muss. Somit ist [mm] \{\psi(u_1),...., \psi(u_k)\} [/mm] linear unabhängig. Weil [mm] \{u_1,...,u_k\} [/mm] eine Basis war, ist dann auch [mm] \{\psi(u_1),...., \psi(u_k)\} [/mm] eine Basis, weil [mm] \psi(\{u_1,...,u_k\}) [/mm] = [mm] <\psi(u_1),...,\psi(u_k)> [/mm] gilt.
> Damit ist dim [mm]\psi(U)[/mm] =k.
>
> Wegen [mm]\psi(U) \subseteq U[/mm] folgt dann [mm]\psi(U) = U[/mm]
Viele Grüße,
Avinu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Fr 25.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Do 17.07.2014 | | Autor: | hippias |
> Aus unserem Skript:
>
> Es sei ein K-Vektorraumhomomorphismus [mm]\phi[/mm] : V [mm]\to[/mm] W. Die
> folgenden Bedingungen sind äquivalent.
> (a) Es ist [mm]\phi[/mm] ein K-Vektorraumisomorphismus.
> (b) Es ist [mm]\phi[/mm] eine invertierbare Abbildung.
> (c) Es ist [mm]\phi[/mm] bijektiv.
>
> Für meine Aufgabe ist [mm]\psi[/mm] nach Aufgabenstellung ein
> invertierbarer Endomorphismus, also ist [mm]\psi[/mm] bijektiv.
>
> Nach Aufgabenstellung ist [mm]\psi(U) \in[/mm] U. Gäbe es nun ein v
> [mm]\in[/mm] V \ U mit [mm]\psi(v) \in[/mm] U, dann müsste wegen der
> Bijektivität von [mm]\psi[/mm] auch ein u [mm]\in[/mm] U existieren, sodass
> [mm]\psi(u) \not\in[/mm] U gilt.
> Denn es "fehlt" ja quasi ein
> Element in U auf das [mm]\psi[/mm] abbilden kann.
Wenn Anfuehrungszeichen, Fuellworte wie "quasi" etc. in einem Beweis benutzt werden, dann ist er garantiert falsch 
Verfolge Freds Hinweis. Oder bestimmt habt ihr auch folgenden Satz gelernt (das ist der Satz, den Fred vermutlich gemeint hat, als er auf die Endlichdimensionalitaet hingewiesen hat):
Sei $V$ ein $K$ VR und [mm] $\phi\in End_{K}(V)$. $\phi$ [/mm] ist injektiv genau dann, wenn [mm] $\phi$ [/mm] surjektiv ist.
Das ist nur richtig, wenn $V$ endlichdimensional ist, wie ich auf die schmerzhafte Art in einer Pruefung gelernt habe: also vergiss es nicht!
Dieser Satz laesst sich jedenfalls auch ganz gut auf die Einschraenkung von [mm] $\psi$ [/mm] auf $U$ anwenden.
> Ergo muss [mm]\psi(U)[/mm]
> = U gelten.
> Damit ist dann aber auch [mm]\psi^{-1}(\psi(U))[/mm] = [mm]\psi^{-1}(U)[/mm]
> = U und somit U auch [mm]\psi^{-1}[/mm]-invariant.
>
> Wäre das die ausführlichere Begründung, die du
> meintest?
>
> Viele Grüße,
> Avinu
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Do 17.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo hippias,
vielen Dank für deine Antwort!
> Oder bestimmt habt ihr auch
> folgenden Satz gelernt (das ist der Satz, den Fred
> vermutlich gemeint hat, als er auf die
> Endlichdimensionalitaet hingewiesen hat):
> Sei [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm] VR und [mm]\phi\in End_{K}(V)[/mm]. [mm]\phi[/mm] ist injektiv
> genau dann, wenn [mm]\phi[/mm] surjektiv ist.
Ja, den Satz haben wir gelernt. Das war auch der, auf den ich mich ganz am Anfang gestützt habe. Allerdings ist habe ich dann auch den anderen Satz gesehen und mir gedacht, dass dieser schon reicht. Meine Abbildung ist ja invertierbar und damit bijektiv.
> Dieser Satz laesst sich jedenfalls auch ganz gut auf die
> Einschraenkung von [mm]\psi[/mm] auf [mm]U[/mm] anwenden.
Also irgendwie verstehe ich das noch nicht so recht.
V ist endlichdimensional und [mm] \psi [/mm] ist ein Endomorphismus. Also ist [mm] \psi [/mm] surjektiv und injektiv. Für alle c [mm] \in [/mm] V existiert also ein v' [mm] \in [/mm] V mit [mm] \psi(v') [/mm] = v. Damit gilt dann insbesondere auch, dass für alle u [mm] \in [/mm] U ein v [mm] \in [/mm] V existiert mit [mm] \psi(v) [/mm] = u. Nach Aufgabenstellung existiert aber ja für alle u [mm] \in [/mm] U ein u' [mm] \in [/mm] U mit [mm] \psi(u) [/mm] = u'. Wie komme ich von dort jetzt auf [mm] \psi(U) [/mm] = U ohne den Lösungsweg von Fred?
Viele Grüße,
Avinu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mo 21.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo hippias,
>
> vielen Dank für deine Antwort!
>
> > Oder bestimmt habt ihr auch
> > folgenden Satz gelernt (das ist der Satz, den Fred
> > vermutlich gemeint hat, als er auf die
> > Endlichdimensionalitaet hingewiesen hat):
> > Sei [mm]V[/mm] ein [mm]K[/mm] VR und [mm]\phi\in End_{K}(V)[/mm]. [mm]\phi[/mm] ist
> injektiv
> > genau dann, wenn [mm]\phi[/mm] surjektiv ist.
>
> Ja, den Satz haben wir gelernt. Das war auch der, auf den
> ich mich ganz am Anfang gestützt habe. Allerdings ist habe
> ich dann auch den anderen Satz gesehen und mir gedacht,
> dass dieser schon reicht. Meine Abbildung ist ja
> invertierbar und damit bijektiv.
>
> > Dieser Satz laesst sich jedenfalls auch ganz gut auf die
> > Einschraenkung von [mm]\psi[/mm] auf [mm]U[/mm] anwenden.
>
> Also irgendwie verstehe ich das noch nicht so recht.
>
> V ist endlichdimensional und [mm]\psi[/mm] ist ein Endomorphismus.
> Also ist [mm]\psi[/mm] surjektiv und injektiv. Für alle c [mm]\in[/mm] V
> existiert also ein v' [mm]\in[/mm] V mit [mm]\psi(v')[/mm] = v. Damit gilt
> dann insbesondere auch, dass für alle u [mm]\in[/mm] U ein v [mm]\in[/mm] V
> existiert mit [mm]\psi(v)[/mm] = u. Nach Aufgabenstellung existiert
> aber ja für alle u [mm]\in[/mm] U ein u' [mm]\in[/mm] U mit [mm]\psi(u)[/mm] = u'.
> Wie komme ich von dort jetzt auf [mm]\psi(U)[/mm] = U ohne den
> Lösungsweg von Fred?
Sei f die Einschränkung von [mm] \psi [/mm] auf U. Da [mm] \psi(U) \subseteq [/mm] U gilt, ist
$f:U [mm] \to [/mm] U$
ein injektiver Endomorphismus. Damit ist f auch surjektiv (dimU < [mm] \infty [/mm] ! )
FRED
>
> Viele Grüße,
> Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Mi 23.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo Fred,
vielen Dank für deine Antwort!
Also ich muss das glaube ich für mich nochmal Schritt für Schritt zusammenfassen.
Ich weiß, dass [mm] \psi [/mm] invertierbar ist. Dadurch weiß ich, dass [mm] \psi [/mm] bijektiv ist. Weiter weiß ich, dass [mm] \psi(U) \subseteq [/mm] U ist. Da ich weiß, dass [mm] \psi [/mm] injektiv ist, muss das auch für die Einschränkung f von [mm] \psi [/mm] auf U gelten. Damit ist f dann aber auch surjektiv weil U endlichdimensional ist.
Ich danke euch für eure Hilfe!
Viele Grüße,
Avinu
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