Endom. inj. aber nicht surj. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 So 27.07.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | | Geben Sie einen injektiven [mm] $\IR$-Vektorraumendomorphismus \phi: \IR^{\IN_0} \to \IR^{\IN_0} [/mm] an, welcher nicht surjektiv ist. Begründen sie. |
Hallo zusammen,
zunächst bin ich mir bei der Notation unschlüssig, was [mm] \IR^{\IN_0} [/mm] bedeuten soll? Ist das eine Menge von Vektorräumen?
Die Behauptung lässt sich ja nur für nicht endlichdimensionale Vektorräume zeigen. Aber mir will kein Beispiel Einfallen. Die üblichen Sätze wie z.B. [mm] \phi [/mm] ist injektiv, wenn def [mm] \phi [/mm] = 0 gelten ja nur für endlichdimensionale Vektorräume. Es muss aber ja jedes Element auf ein eindeutiges anderes Abgebildet werden, aber auf min. eines darf keins abgebildet werden.
Über Hinweise wäre ich dankbar.
Viele Grüße,
Avinu
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Hallo,
> Geben Sie einen injektiven [mm]\IR[/mm]-Vektorraumendomorphismus
> [mm]\phi: \IR^{\IN_0} \to \IR^{\IN_0}[/mm] an, welcher nicht
> surjektiv ist. Begründen sie.
>
> Hallo zusammen,
>
> zunächst bin ich mir bei der Notation unschlüssig, was
> [mm]\IR^{\IN_0}[/mm] bedeuten soll? Ist das eine Menge von
> Vektorräumen?
https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_%28Mathematik%29#Menge_der_Funktionen
> Die Behauptung lässt sich ja nur für nicht
> endlichdimensionale Vektorräume zeigen. Aber mir will kein
> Beispiel Einfallen. Die üblichen Sätze wie z.B. [mm]\phi[/mm] ist
> injektiv, wenn def [mm]\phi[/mm] = 0 gelten ja nur für
> endlichdimensionale Vektorräume. Es muss aber ja jedes
> Element auf ein eindeutiges anderes Abgebildet werden, aber
> auf min. eines darf keins abgebildet werden.
Du hast hier einen unendlich demensionalen Vektorraum gegeben.
>
> Über Hinweise wäre ich dankbar.
>
> Viele Grüße,
> Avinu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie einen injektiven [mm]\IR[/mm]-Vektorraumendomorphismus
> [mm]\phi: \IR^{\IN_0} \to \IR^{\IN_0}[/mm] an, welcher nicht
> surjektiv ist. Begründen sie.
>
> Hallo zusammen,
>
> zunächst bin ich mir bei der Notation unschlüssig, was
> [mm]\IR^{\IN_0}[/mm] bedeuten soll? Ist das eine Menge von
> Vektorräumen?
MaslanyFanclub hatte es Dir ja gesagt. Um ein wenig deutlicher zu werden:
[mm] $\IR^{\IN_0}=\{f\text{, so dass gilt: }f \text{ ist eine Abbildung }\IN_0 \to \IR\}$
[/mm]
In Worten: [mm] $\IR^{\IN_0}$ [/mm] kann als die Menge aller reellwertigen Folgen aufgefasst
werden.
Wenn Du, wie gewohnt, eine Abbildung
$a [mm] \colon \IN_0 \to \IR$
[/mm]
als "Zeilenvektor mit abzählbar unendlich vielen Einträgen" identifizierst, dann
schreibst Du anstatt obiges [mm] $a\,$ [/mm] halt, mit [mm] $a_n:=a(n)$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN_0$:
[/mm]
[mm] $(a_0,\,a_1,\,a_2,...)$
[/mm]
bzw.
[mm] $(a_n)_{n \in \IN_0}$
[/mm]
bzw.
[mm] $(a_n)_{n=0}^\infty\,.$
[/mm]
Grobgesagt: Ein obiges [mm] $\phi$ [/mm] bildet also eine reellwertige Folge auf eine reellwertige
Folge ab.
(Ich deute das mal mit Hilfe der Funktionswertnotation an:
[mm] $\phi(\,(a_n)_{n=0}^\infty\,)=(b_n)_{n=0}^\infty$
[/mm]
mit reellwertiger Folge [mm] $(b_n)_{n=0}^\infty\,.$)
[/mm]
P.S. Achja, mal ein Tipp zur Aufgabe:
Ein [mm] $\phi$ [/mm] wie gewünscht kannst Du schnell hinschreiben. Du könntest
(eine oder mehrere) "Nullen zwischen Folgeglieder quetschen", oder Du
nimmst halt ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] fest und [mm] $\phi$ [/mm] schlägt immer das [mm] $n_0$-te [/mm] Folgeglied
auf den Wert 0 runter.
(Edit: Das Durchgestrichene geht nicht - ich hatte vergessen, dass das
Dingen injektiv sein soll.)
Solltest Du das formal nicht aufgeschrieben
bekommen oder wenn Dir die Idee, etwa die erste, unklar ist, dann frag'
nochmal nach.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 27.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo Marcel,
danke für deine Antwort.
Das heißt letztendlich, ich soll einen "Zeilenvektor mit abzählbar unendlich vielen Einträgen" finden, in dem kein Eintrag doppelt Vorkommt, aber es sollen auch nicht alle Elemente von [mm] \IR [/mm] vorkommen?
Wäre dann nicht z.B. die Folge (1, 2, 3, ...) eine Lösung?
Da kein Eintrag doppelt vorkommt und [mm] \IN [/mm] abzählbar unendlich aber [mm] \IR [/mm] überabzählbar unendlich ist, wäre diese Abbildung injektiv aber nicht surjektiv, oder?
Viele Grüße,
Avinu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke für deine Antwort.
>
> Das heißt letztendlich, ich soll einen "Zeilenvektor mit
> abzählbar unendlich vielen Einträgen" finden, in dem kein
> Eintrag doppelt Vorkommt, aber es sollen auch nicht alle
> Elemente von [mm]\IR[/mm] vorkommen?
> Wäre dann nicht z.B. die Folge (1, 2, 3, ...) eine
> Lösung?
>
> Da kein Eintrag doppelt vorkommt und [mm]\IN[/mm] abzählbar
> unendlich aber [mm]\IR[/mm] überabzählbar unendlich ist, wäre
> diese Abbildung injektiv aber nicht surjektiv, oder?
nein - es geht nicht darum, ob die Folge injektiv ist - es geht darum, dass
[mm] $\phi$ [/mm] injektiv (aber nicht surjektiv, und auch ein Vektorraumendomorphismus)
ist.
Beispiel:
Nehmen wir an, ich würde, setzen wir [mm] $V:=\IR^{\IN_0}$
[/mm]
[mm] $\phi \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V$
definieren durch:
Für
[mm] $(a_n)_{n=0}^\infty \in [/mm] V$
sei
[mm] $\phi(\,(a_n)_{n=0}^\infty\,):=(b_n)_{n=0}^\infty$
[/mm]
mit
[mm] $b_n:=a_n+2\,$
[/mm]
definiert. Das Ding wäre injektiv und auch surjektiv.
Was macht das Vieh? Das Vieh macht beispielsweise
aus der Folge $(1,2,3,4,...)$ die Folge [mm] $\phi((1,2,3,4,...))=(1+2,2+2,3+2,4+2,...)=(3,4,5,6,...)$
[/mm]
besser gesagt:
der Funktionswert der Folge [mm] $(n+1)_{n=0}^\infty$ [/mm] unter der Funktion [mm] $\phi\,,$ [/mm] also [mm] $\phi(\,(n+1)_{n=0}^\infty\,)\,,$ [/mm] ist die Folge [mm] $(n+3)_{n=0}^\infty\,:$
[/mm]
[mm] $\phi(\,(n+1)_{n=0}^\infty\,)=(n+3)_{n=0}^\infty\,.$
[/mm]
Damit das Ganze vielleicht weniger mysteriös wirkt: Du hast sicher keine
Probleme mit Abbildungen [mm] $\IR^2 \to \IR^2\,,$ $\IR^3 \to \IR^3$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^n \to \IR^n\,.$
[/mm]
Eigentlich ist das aber ähnlich: [mm] $\IR^n$ [/mm] kann mit [mm] $\IR^{\{1,...,n\}}$ [/mm] identifiziert
werden.
Insofern: Hätten wir oben
$f [mm] \colon \IR^n \to \IR^n\,,$
[/mm]
so würdest Du doch sagen: "Ein [mm] $\IR^n$-Vektor [/mm] wird durch [mm] $f\,$ [/mm] auf einen [mm] $\IR^n$-Vektor [/mm] abgebildet."
Ein Element des [mm] $\IR^{\IN_0}$ [/mm] ist aber eine Folge. Insofern bildet
[mm] $\phi$ [/mm] eine reellwertige Folge auf eine reellwertige Folge ab.
Wenn Du einen [mm] $\IR^n$-Vektor [/mm] als Zeilenvektor schreibst, ist die Analogie
vielleicht noch besser erkennbar.
P.S.: Die "Vieh"-Sätze sind natürlich nur scherzhaft gemeint. ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 So 27.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo Marcel,
nochmal danke für deine Antwort.
Ok, jetzt habe ich das verstanden.
Ich hatte das erst so verstanden, dass die Abbildung durch die Folge definiert wird. Also quasi die Position in der Folge auf den Wert an dieser Position abgebildet wird.
Viele Grüße,
Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> nochmal danke für deine Antwort.
>
> Ok, jetzt habe ich das verstanden.
> Ich hatte das erst so verstanden, dass die Abbildung durch
> die Folge definiert wird.
naja: Wir haben den Vektorraum aller reellwertigen Folgen. Welches davon
ist dann "die" Folge?
> Also quasi die Position in der
> Folge auf den Wert an dieser Position abgebildet wird.
Vielleicht verstehe ich Dich falsch - aber das ist doch die Definition einer
reellwertigen Folge:
$a [mm] \colon \IN_0 \ni [/mm] n [mm] \mapsto a_n:=a(n) \in \IR$
[/mm]
Solche Funktionen [mm] $a\,$ [/mm] sind die Elemente aus [mm] $V\,,$ [/mm] man hat halt auch
gewisse andere gängige Notationen. (Anstatt [mm] $a\,$ [/mm] schreibt man [mm] $(a_n)_{n=0}^\infty$ [/mm] etc. pp..)
Aber egal, Hauptsache, es ist nun klar. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Geben Sie einen injektiven [mm]\IR[/mm]-Vektorraumendomorphismus
> [mm]\phi: \IR^{\IN_0} \to \IR^{\IN_0}[/mm] an, welcher nicht
> surjektiv ist. Begründen sie.
>
> Hallo zusammen,
>
> zunächst bin ich mir bei der Notation unschlüssig, was
> [mm]\IR^{\IN_0}[/mm] bedeuten soll? Ist das eine Menge von
> Vektorräumen?
>
> Die Behauptung lässt sich ja nur für nicht
> endlichdimensionale Vektorräume zeigen. Aber mir will kein
> Beispiel Einfallen. Die üblichen Sätze wie z.B. [mm]\phi[/mm] ist
> injektiv, wenn def [mm]\phi[/mm] = 0
was ist denn da def [mm] $\phi$? [/mm] Ich kenne einen solchen Satz mit Kern [mm] $\phi\,,$ [/mm] und
die [mm] $0\,$ [/mm] rechterhand ist dann eigentlich als [mm] $\{0\}$ [/mm] gemeint.
Dieser Satz benötigt aber nirgends die Endlichdimensionalität, er gilt sogar
allgemeiner für Homomorphismen zwischen Gruppen - dort gehört dann
natürlich i.a. das neutrale Element anstatt der 0 hin. (Und selbst, wenn
ihr den Satz nur für endlich dimensionale Vektorräume definiert habt:
Schau mal in den Beweis, ob diese Endlichdimensionalität an irgendeiner
Stelle eingeht. Es kann natürlich sein, dass Du mit def doch was anderes
als den Kern meinst... das weiß ich nicht. Würde mich aber wundern!)
P.S. Der Satz mit Kern [mm] $\phi$ [/mm] ist übrigens sogar eine Charakterisierung der
Injektivität.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 So 27.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo Marcel,
ja, den Satz, dass eine Abbildung genau dann injektiv ist, wenn der Kern der Abbildung {0} ist haben wir unabhängig von der Dimensionalität definiert, das stimmt.
Mit def [mm] \phi [/mm] ist der Defekt von [mm] \phi [/mm] gemeint. Also die Dimension des Kerns.
https://de.wikipedia.org/wiki/Defekt_%28Mathematik%29
Viele Grüße,
Avinu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> ja, den Satz, dass eine Abbildung genau dann injektiv ist,
> wenn der Kern der Abbildung {0} ist haben wir unabhängig
> von der Dimensionalität definiert, das stimmt.
>
> Mit def [mm]\phi[/mm] ist der Defekt von [mm]\phi[/mm] gemeint. Also die
> Dimension des Kerns.
> https://de.wikipedia.org/wiki/Defekt_%28Mathematik%29
aber es ist doch
[mm] $\dim(V)=0$ [/mm] dann und nur dann, wenn [mm] $V\,$ [/mm] der Nullraum ist.
Müßte dann der Satz:
"Eine lineare Abbildung zwischen (nicht notwendig endlichdimensionalen)
Vektorräumen ist genau dann injektiv, wenn ihr Defekt 0 ist."
nicht auch gelten? Wobei das ja nicht notwendig ist, wenn man eh schon
die Kern-Charakterisierung für Injektivität hat.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:37 So 27.07.2014 | | Autor: | Avinu |
Ich vermute das liegt daran, dass sich dieses Kriterium aus dem Rangsatz herleitet. Der macht aber wiederum nur auf endlichdimensionalen Vektorräumen Sinn.
Aber ich studiere kein Mathe, vondaher :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 So 27.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich vermute das liegt daran, dass sich dieses Kriterium aus
> dem Rangsatz herleitet. Der macht aber wiederum nur auf
> endlichdimensionalen Vektorräumen Sinn.
Du brauchst aber den Rangsatz nicht, um einzusehen, dass lineare
Abbildungen zwischen Vektorräumen genau dann injektiv sind, wenn
ihr Kern der Nullraum ist. Zudem ist der Kern einer linearen Abbildung
genau dann der Nullraum, wenn die Dimension des Kerns 0 ist. Letzteres
ist nur eine Umformulierung davon, dass der Defekt 0 ist.
> Aber ich studiere kein Mathe, vondaher :P
Ich sehe, wie gesagt, keinen Grund, sich beim Begriff des Defekts nur auf
endlichdimensionale Vektorräume zu beschränken.
Nebenbei: Hast Du ein solches [mm] $\phi$ [/mm] nun gefunden? Falls nicht, ich biete
Dir mal ein ganz einfaches und ein nicht ganz so einfaches an:
[mm] $\phi((a_n)_{n=0}^\infty):=(a_0,0,a_1,a_2,a_3,...)$
[/mm]
also
[mm] $\phi(a_0):=(b_n)_{n=0}^\infty$ [/mm] mit
[mm] $b_0:=a_0\,,$ $b_1:=0$ [/mm] und [mm] $b_{n+1}:=a_n$ [/mm] für natürliches $n [mm] \ge [/mm] 1$
sollte es tun.
Alternativ (ich schreibe mal nur noch kurz [mm] $(a_n):=(a_n)_{n=0}^\infty$ [/mm] etc. pp.)
[mm] $\phi((a_n)):=(c_n)$
[/mm]
mit [mm] $c_{2n}:=a_n$ [/mm] sowie [mm] $c_{2n+1}:=0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN\,.$ [/mm]
Ich denke, in beiden Fällen ist die Injektivität und Nichtsurjektivität relativ
klar. Ebenso ist klar, dass [mm] $\phi \colon [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ mit [mm] $V=\IR^{\IN_0}\,.$
[/mm]
Man sollte vielleicht noch kurz die Linearität von [mm] $\phi$ [/mm] nachrechnen [mm] ($\phi$ [/mm] soll
ja ein Vektorraumhomomorphismus sein).
Gruß,
Marcel
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