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Hallo, ich habe hier so einige aufgaben zu endomorphismen in [mm] R^2, [/mm] habe aber das problem das ich nicht so ganz verstehe was f-invariant bedeutet.
1.
Man gebe einen Endomorphismus f: [mm] R^2--------R^2 [/mm] an, so dass o und [mm] R^2 [/mm] die einuigen f-invarianten Unterräume sind.
Wie kommt man auf die Lösung [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] ????????
2.
Gibt es einen Endomorphismus f: [mm] R^2--------------R^2 [/mm] , dessen Bild die x-Achse { r,0} und für den [mm] f^2 [/mm] gleich null ist.
Auch da ist mir schleierhaft, wie man auf [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] kommt.
Wäre echt schön, wenn mir jemand mal schritt für schritt erklären könnte, wie man diese endomorphismen aufstellt unf was f-invarianz heißt.
Danke
Hab die frage nirgendwo anders gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Wäre echt schön, wenn mir jemand mal schritt für schritt
> erklären könnte, wie man diese endomorphismen aufstellt unf
> was f-invarianz heißt.
> Danke
vielleicht hilft dir ja eine Erklärung von f-Invarianz schon weiter:
Für eine lineare Abbildung [mm]f: \IR^2 \to \IR^2[/mm] ist ein Untervektorraum [mm]U \subseteq \IR^2[/mm] f-invariant wenn [mm]f(U) \subseteq U[/mm].
Das bedeutet, dass ein Element aus dem Untervektorraum $U$ von $f$ immer auf ein Element des gleichen Untervektorraums $U$ abgebildet wird.
Viele Grüße
Astrid
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Danke schön schon mal.
Aber wie kann ich derartige Matrizen aufstellen, dass das klappt oder gar zeigen, dass etwas f-invariant ist???
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:40 Sa 19.02.2005 | | Autor: | baskolii |
Hi Sebastian!
1) erstmal ist [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } [/mm] nicht die einzige Lösung
[mm] \quad \pmat{ 0 & -a \\ b & 0 } -a\not=b [/mm] funktioniert auch.
[mm] \quad [/mm] überleg mal welche echte unterräume [mm] \IR^2 [/mm] hat!
[mm] \quad [/mm] das sind [mm] \{\vektor{a \\ a}, a\in\IR\}, \{\vektor{a \\ -a}, a\in\IR\}, \{\vektor{-a \\ a}, a\in\IR\}, \{\vektor{0 \\ a}, a\in\IR\} [/mm] und [mm] \{\vektor{a \\ 0}, a\in\IR\}.
[/mm]
[mm] \quad [/mm] also muss für [mm] a\not=0 [/mm] und A als darstellende matrix deiner lin. abb.gelten:
[mm] \quad A\cdot\vektor{a \\ a}\not=\vektor{b \\ b}, [/mm]
[mm] \quad A\cdot\vektor{-a \\ a}\not=\vektor{-b \\ b}, [/mm]
[mm] \quad A\cdot\vektor{a \\ -a}\not=\vektor{b \\ -b}, [/mm]
[mm] \quad A\cdot\vektor{a \\ 0}\not=\vektor{b \\ 0}, [/mm]
[mm] \quad A\cdot\vektor{0 \\ a}\not=\vektor{0 \\ b}, [/mm]
[mm] \quad [/mm] aus diesen informationen musst du dir dein A konstruieren
2) müsste es nicht [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] sein?
mfg Verena
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 Sa 19.02.2005 | | Autor: | Thomie |
> [mm]\quad[/mm] überleg mal welche echte unterräume [mm]\IR^2[/mm] hat!
>
> [mm]\quad[/mm] das sind [mm]\{\vektor{a \\ a}, a\in\IR\}, \{\vektor{a \\ -a}, a\in\IR\}, \{\vektor{-a \\ a}, a\in\IR\}, \{\vektor{0 \\ a}, a\in\IR\}[/mm]
> und [mm]\{\vektor{a \\ 0}, a\in\IR\}.
[/mm]
Das sind nicht alle, i.a. ist [mm]\{\vektor{a \\ b}, a,b\in\IR\}[/mm] immer ein echter UVR des [mm]\IR^2[/mm]
> 2) müsste es nicht [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] sein?
habe ich nicht überprüft
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 So 20.02.2005 | | Autor: | taura |
Meiner Meinung nach stimmt beides nicht:
> > [mm]\quad[/mm] überleg mal welche echte unterräume [mm]\IR^2[/mm] hat!
> >
> > [mm]\quad[/mm] das sind [mm]\{\vektor{a \\ a}, a\in\IR\}, \{\vektor{a \\ -a}, a\in\IR\}, \{\vektor{-a \\ a}, a\in\IR\}, \{\vektor{0 \\ a}, a\in\IR\}[/mm]
>
> > und [mm]\{\vektor{a \\ 0}, a\in\IR\}.
[/mm]
Das sind wirklich nicht alle echten Untervektorräume des [mm]\IR^2[/mm], alle Geraden durch den Ursprung, sind echte Untervektorräume, sprich alle Mengen der Form: [mm]\left\{r*\vektor{a \\ b}, a,b\ fest, r\in\IR\ bel.\right\}[/mm]
>
> Das sind nicht alle, i.a. ist [mm]\{\vektor{a \\ b}, a,b\in\IR\}[/mm]
> immer ein echter UVR des [mm]\IR^2[/mm]
>
Das stimmt glaube ich so auch nicht, denn was du beschreibst ist ganz [mm]\IR^2[/mm] und es geht ja um echte Teilräume.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 So 20.02.2005 | | Autor: | Thomie |
Stimmt Taura, die echten Unterräume sind die Ursprungsgeraden, ich hab da falsch geschrieben und richtig gedacht.
Einen echten Unterraum gibt es aber noch, nämlich [mm]\{0\}[/mm]. Der ist keine Gerade, aber doch in der Form beschreibbar, wie Du gesagt hast (setze r=0).
Zur Invarianz: Zu zeigen ist, dass für [mm]x\in U[/mm] gilt [mm]f(x)\in U[/mm].
Das ist technisch nicht schwer.
P.S.:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] ist falsch, da es auf sich selbst angewandt immer es selbst bleibt. Mit [mm] \pmat{ 0& a \\ 0 & 0 },0\neq a\in\IR[/mm] liegst du da aber richtig.
Zur Frage, wie man auf diese Matrizen kommt: Eine lineare Abbildung wird durch die Bilder der einzelnen Vektoren einer Basis gebildet, auf deutsch:
Schnapp dir eine Basis, am einfachsten ist meist die Standardnormalbasis (also die mit den Vektoren, die genau eine 1 und sonst 0 haben) , und überleg dir, wohin die abgebildet werden sollen. Dann musst du dir deine Matrix nur richtig zusammenbasteln, überleg am besten selbst, welcher Eintrag wofür verantwortlich ist.
Wenn du nicht weiterkommst, stell dir dabei mal die Frage, wohin [mm]e_1:=\vektor{1\\ 0}[/mm] abgebildet wird
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:52 So 20.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber gymnozist
> 1.
> Man gebe einen Endomorphismus f: [mm]R^2--------R^2[/mm] an, so
> dass o und [mm]R^2[/mm] die einuigen f-invarianten Unterräume sind.
>
Das ist natürlich keine Rechenaufgabe, sondern eine Ueberlegungsaufgabe.
Wenn das Bild von [mm] $\IR^2$ [/mm] wieder [mm] $\IR^2$ [/mm] sein soll, dann muss der Rang der Matrix = 2 sein! Die Ursprungsgeraden dürfen aber nicht in sich übergehen. Das erreicht man durch eine Drehung. 0 ist immer f-invariant bei linearen Endomorphismen.
Deine Matrix beschreibt eine Drehung um 90°. Es könnte aber jede beliebige Drehung sein, ausser um ein Vielfaches von 180°. Zur Drehung dürfte sich auch noch eine Streckung gesellen!
Also allgemein etwa:
[mm] $\pmat{\cos\alpha&-\sin\alpha\\-\sin\alpha&\cos\alpha}*\pmat{a&0\\0&b}=\pmat{a\cos\alpha&-b\sin\alpha\\a\sin\alpha&b\cos\alpha}$
[/mm]
mit der oben erwähnten Einschränkung für [mm] $\alpha$. [/mm] $a_$ und $b_$ müssen beide von Null verschieden sein.
Mit den Werten [mm] $\alpha [/mm] = 90°$, $a=1_$ und $b=1_$ hast du genau deine Vorgegebene Lösung. Es ist aber nur ein Beispiel einer solchen Abbildung. Die allgemeine Form habe ich eben eruiert. 
> 2.
> Gibt es einen Endomorphismus f: [mm]R^2--------------R^2[/mm] ,
> dessen Bild die x-Achse { r,0} und für den [mm]f^2[/mm] gleich null
> ist.
> Auch da ist mir schleierhaft, wie man auf [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm]
> kommt.
Wenn nach der Abbildung alle y-Komponenten den Wert Null haben sollen, dann kommt ja nur eine Matrix der folgenden Form in Frage:
[mm] $\pmat{a&b\\0&0}$
[/mm]
Jetzt muss noch die Null-Matrix entstehen, wenn man die obige Matrix mit sich selber multipliziert:
[mm] $\pmat{a&b\\0&0}*\pmat{a&b\\0&0}=\pmat{a^2&ab\\0&0}$
[/mm]
Der Wert links oben führt sofort zu [mm] $a^2=0$, [/mm] also $a=0_$.
Damit wird automatisch $ab_$ zu Null, und die Matrix ist:
[mm] $\pmat{0&b\\0&0}$
[/mm]
$b_$ darf nicht Null sein, da sonst der ganze Raum auf den Nullraum abgebildet würde, was aber gemäss Aufgabenstellung nicht sein darf!
Deine Musterlösung scheint nicht ganz richtig zu sein, oder du hast den Formeleditor nicht ganz richtig angewandt! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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