Endomorphismen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Do 02.07.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei f:V [mm] \to [/mm] V ein dioganalisierbarer Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums und U [mm] \subset [/mm] V ein f-invarianter Unterraum. Zeigen Sie, dass die Einschränkung f|U: U [mm] \to [/mm] U auch diagonalisierbar ist. |
Hallo Zusammen!
Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen, ich blicke gar nicht durch, verstehe den Zusammenhang nicht.
Wäre nett, wenn mir jemand schreiben würde.
Danke im Voraus.
Gruß
|
|
| |
|
> Sei f:V [mm]\to[/mm] V ein dioganalisierbarer Endomorphismus eines
> endlich-dimensionalen K-Vektorraums und U [mm]\subset[/mm] V ein
> f-invarianter Unterraum. Zeigen Sie, dass die
> Einschränkung f|U: U [mm]\to[/mm] U auch diagonalisierbar ist.
> Hallo Zusammen!
> Könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen, ich blicke gar
> nicht durch, verstehe den Zusammenhang nicht.
> Wäre nett, wenn mir jemand schreiben würde.
Hallo,
ja, so nett bin ich...
Ich finde die Schilderung Deines Problems jedoch so wenig prägnant, daß ich schlecht weiß, wo und wo ich Dir helfen kann.
Viellecht sagtst Du mal genauer, wo Dein Problem liegt.
Die Begriffe sind alle klar? Viele sind's ja nicht: diagonalisierbar und invarianter Unterraum.
Du sollst nun zeigen, daß Du eine Basis von U findest, so daß die Darstellungsmatrix von [mm] f|_{U} [/mm] eine Diagonalmatrix ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 Fr 03.07.2009 | | Autor: | math101 |
Danke schön Angela für deine Antwort!!!:))
> Du sollst nun zeigen, daß Du eine Basis von U findest, so
> daß die Darstellungsmatrix von [mm]f|_{U}[/mm] eine Diagonalmatrix
> ist.
Achso!!Stimmt!!Dran hab ich nicht gedacht.
Da f diagonalisierbar ist => [mm] \exists x_1,...,x_n \in [/mm] V Basis so, dass A die Matrix von f Diagonalmatrix ist.
U [mm] \subset [/mm] V und U ist f-invariant, d.h f(U) [mm] \subseteq [/mm] U, dann [mm] \exists [/mm] Basis von U { [mm] x_1,...,x_m [/mm] } [mm] \subset [/mm] { [mm] x_1,...,x_n [/mm] } [mm] \in [/mm] V , dann sollte B Matrix von U auch Diagonalgestallt haben.
Oder?
DANKE
Gruß
|
|
|
| |
|
> > Du sollst nun zeigen, daß Du eine Basis von U findest, so
> > daß die Darstellungsmatrix von [mm]f|_{U}[/mm] eine Diagonalmatrix
> > ist.
> Achso!!Stimmt!!Dran hab ich nicht gedacht.
> Da f diagonalisierbar ist => [mm]\exists x_1,...,x_n \in[/mm] V
> Basis so, dass A die Matrix von f Diagonalmatrix ist.
> U [mm]\subset[/mm] V und U ist f-invariant, d.h f(U) [mm]\subseteq[/mm] U,
> dann [mm]\exists[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Basis von U { [mm]x_1,...,x_m[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]x_1,...,x_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\in[/mm] V , dann sollte B Matrix von U auch
> Diagonalgestallt haben.
Aber hier ist erstmal der Wunsch Vater des Gedankens - wenn Du's zeigen kannst, daß man das so hinkriegt, ist's gut.
Denn wenn Du eine Basis [mm] (x_1,..., x_n) [/mm] hast, bzgl derer f Diagonalgestalt hat, dann ist ja zunächst nicht gesagt, daß in dieser Basis unbedingt die Basisvektoren von von U enthalten sind.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Fr 03.07.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, angela!!
> Denn wenn Du eine Basis [mm](x_1,..., x_n)[/mm] hast, bzgl derer f
> Diagonalgestalt hat, dann ist ja zunächst nicht gesagt,
> daß in dieser Basis unbedingt die Basisvektoren von von U
> enthalten sind.
Das wusste ich nicht, ich dachte wenn [mm] U\subset [/mm] V dann muss auch die Basis von U in der Basis von V enthalten. :/
Also noch mal:
f diagonalisierbar, dann [mm] \exists x_1,...,x_n \in [/mm] V Basis aus Eigenvektoren mit verschiedenen Eigenweten.
Aber wie soll ich denn weiter vorgehen?
Über [mm] f|_U: U\to [/mm] U weiß ich nur, dass er f-invariant ist, in der Vorlesung hatten wir noch ein Lemma: wenn [mm] U\subset [/mm] V f-invariant, dann ist [mm] \mu _{f|_U} [/mm] Teiler von [mm] \mu_{f}. [/mm] Heißt das nicht, dass spec (U) [mm] \subset [/mm] spec(V) und somit die Basis aus Eigenvektoren von U { [mm] x_1,...,x_m [/mm] } [mm] \subset [/mm] { [mm] x_1,...,x_n [/mm] } die Basis aus Eigenvektoren von V, also müsste U auch diagonalisierbar sein?
Danke
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 Sa 04.07.2009 | | Autor: | math101 |
BITTTEEEE HIELFEEEEE!!!
|
|
|
| |
|
> Also noch mal:
> f diagonalisierbar, dann [mm]\exists x_1,...,x_n \in[/mm] V Basis
> aus Eigenvektoren mit verschiedenen Eigenweten.
Hallo,
das mit der Basis aus Eigenwerten stimmt, das mit den verschiedenen Eigenwerten nicht unbedingt.
Wie kommst Du darauf?
> Aber wie soll ich denn weiter vorgehen?
> Über [mm]f|_U: U\to[/mm] U weiß ich nur, dass er f-invariant ist,
> in der Vorlesung hatten wir noch ein Lemma: wenn [mm]U\subset[/mm] V
> f-invariant, dann ist [mm]\mu _{f|_U}[/mm] Teiler von [mm]\mu_{f}.[/mm]
Ja.
Wenn Du jetzt noch weißt, wie die Minimalpolynome von diagonalisierbaren Endomorphismen aussehen, dann bist Du weit.
> Heißt das nicht, dass spec (U) [mm]\subset[/mm] spec(V)
Ja, aber damit ist noch nicht gesagt, daß das dieagonalisierbar ist.
Anderer Weg, der näher an Deiner Ursprungsidee ist:
Wegen der Diagonalisierbarkeit von f gibt es eine Eigenbasis [mm] (x_1,..., x_n)
[/mm]
Die Basis von U sei [mm] (b_1,...,b_k), [/mm] man kannsie oBdA durch [mm] (x_{k+1},...,x_n) [/mm] zu einer Eigenbasis ergänzen.
Also ist [mm] V=\oplus ,
[/mm]
und Du kannst Dir überlegen, daß [mm] x_1,...x_k [/mm] allesamt in [mm] [/mm] liegen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 05.07.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, angela!!!
> Anderer Weg, der näher an Deiner Ursprungsidee ist:
>
> Wegen der Diagonalisierbarkeit von f gibt es eine
> Eigenbasis [mm](x_1,..., x_n)[/mm]
>
> Die Basis von U sei [mm](b_1,...,b_k),[/mm] man kannsie oBdA durch
> [mm](x_{k+1},...,x_n)[/mm] zu einer Eigenbasis ergänzen.
>
> Also ist [mm]V=\oplus ,[/mm]
Da f diagonalisierbar, ist [mm] V=\oplus_{\lambda \in K} V_{\lambda} [/mm] , [mm] \forall \lambda \in [/mm] K [mm] V_{\lambda} [/mm] ist f-invariant und [mm] U\subset \oplus _{\lambda \ in K} V_{\lambda}.
[/mm]
Also [mm] \oplus =\oplus_{\lambda \in K} V_{\lambda}= \oplus
[/mm]
=> [mm] [/mm] = [mm]
[/mm]
Ist das soweit in Ordnung?
Vielen-vielen Dank für deine Hilfe!!
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hallo, angela!!!
> > Anderer Weg, der näher an Deiner Ursprungsidee ist:
> >
> > Wegen der Diagonalisierbarkeit von f gibt es eine
> > Eigenbasis [mm](x_1,..., x_n)[/mm]
> >
> > Die Basis von U sei [mm](b_1,...,b_k),[/mm] man kannsie oBdA durch
> > [mm](x_{k+1},...,x_n)[/mm] zu einer Eigenbasis ergänzen.
> >
> > Also ist [mm]V=\oplus ,[/mm]
> Da f
> diagonalisierbar, ist [mm]V=\oplus_{\lambda \in K} V_{\lambda}[/mm]
> , [mm]\forall \lambda \in[/mm] K [mm]V_{\lambda}[/mm] ist f-invariant und
> [mm]U\subset \oplus _{\lambda \ in K} V_{\lambda}.[/mm]
> Also
> [mm]\oplus =\oplus_{\lambda \in K} V_{\lambda}= \oplus [/mm]
>
> => [mm][/mm] = [mm][/mm]
> Ist das soweit in
> Ordnung?
Hallo,
vorausgesetzt, daß ich nicht irgendwelche Rafinessen übersehe, ist das nicht richtig.
Aus > [mm]\oplus = \oplus [/mm].
Überlege Dir das an [mm] \IR^3=<\vektor{0\\0\\1}>\oplus<\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}> =<\vektor{1\\1\\1}>\oplus<\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}> [/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 So 05.07.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo!!
Ich weiß dann gar nicht, wie man es so zeigen könnte :/.
Ich hab aber noch was zu meinem 2. Vorschlag rausgegraben, das mit dem Minimalpolynom.
[mm] U\subset [/mm] V ist ja f-invariant, dann ist [mm] \mu_{f|_U} [/mm] Teiler von [mm] \mu_{f}.
[/mm]
Da f diagonalisierbar ist, gilt [mm] \mu_f= \produkt_{i=1}^{r} (T-\lambda{_i}) [/mm] und [mm] \lambda_{i} \not= \lambda_{j} [/mm] für [mm] i\not=j. [/mm] Dann kann sein, dass [mm] \mu_f=\mu_{f|_U} [/mm] ist, dann ist U=V und U ist diagonalisierbar, aber auch [mm] \mu_f\not=\mu_{f|_U} [/mm] dann ist [mm] \mu_f=q \mu_{f|_U}=\produkt_{i=1}^{r}(T-\lambda_{i}), [/mm] wobei q Quotient ist, also das Polynom, um welchen [mm] \mu_f [/mm] und [mm] \mu_{f|_U} [/mm] sich voneinander unterscheiden. Geht das so?
Vieln-vielen Dank!!!!
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hallo!!
> Ich weiß dann gar nicht, wie man es so zeigen könnte
> :/.
Hallo,
es geht mich ja nichts an, aber dafür, daß Du "Hauptstudium Mathematik" in Deinem Profil stehen hast, ist das etwas dürftig.
Vielleicht überlegst Du Dir mal, warum [mm] x_1,...,x_k [/mm] in dem von den [mm] b_i [/mm] aufgespannten Raum liegen müssen, und warum sie eine Basis dieses Raumes sind.
> Ich hab aber noch was zu meinem 2. Vorschlag rausgegraben,
> das mit dem Minimalpolynom.
> [mm]U\subset[/mm] V ist ja f-invariant, dann ist [mm]\mu_{f|_U}[/mm] Teiler
> von [mm]\mu_{f}.[/mm]
> Da f diagonalisierbar ist, gilt [mm]\mu_f= \produkt_{i=1}^{r} (T-\lambda{_i})[/mm]
> und [mm]\lambda_{i} \not= \lambda_{j}[/mm] für [mm]i\not=j.[/mm]
Ja, genau. Das ist wichtig.
Dem Rest dessen, was Du schreibst, kann ich nicht folgen.
Aber Du weißt doch nun, daß das Minimalpolynom von [mm] f|_{U} [/mm] auch aus paarweise verschiedenen Linearfkatoren besteht,
und damit hast Du's ja.
Gruß v. Angela
Dann kann
> sein, dass [mm]\mu_f=\mu_{f|_U}[/mm] ist, dann ist U=V und U ist
> diagonalisierbar, aber auch [mm]\mu_f\not=\mu_{f|_U}[/mm] dann ist
> [mm]\mu_f=q \mu_{f|_U}=\produkt_{i=1}^{r}(T-\lambda_{i}),[/mm] wobei
> q Quotient ist, also das Polynom, um welchen [mm]\mu_f[/mm] und
> [mm]\mu_{f|_U}[/mm] sich voneinander unterscheiden. Geht das so?
> Vieln-vielen Dank!!!!
> Gruß
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 06.07.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo!!!
> Vielleicht überlegst Du Dir mal, warum [mm]x_1,...,x_k[/mm] in dem
> von den [mm]b_i[/mm] aufgespannten Raum liegen müssen, und warum
> sie eine Basis dieses Raumes sind.
Liegt das wiederum nicht an der Diagonalisierbarkeit von f?
Wenn [mm] (b_1,...,b_k) [/mm] irgendeine Basis von U ist und [mm] V=\oplus [/mm] und diagonalisierbar ist, dann [mm] \exists [/mm] eine Basis aus Eigenvektoren, sodass die Matrix von f Diagonalgestallt hat, dann muss [mm] = . [/mm] Somit ist U auch diagonalisierbar.
ich glaube so sollte es gehen?
vielen-vielen Dank für deine Mühe! echt nett von dir!!!
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hallo!!!
> > Vielleicht überlegst Du Dir mal, warum [mm]x_1,...,x_k[/mm] in
> dem
> > von den [mm]b_i[/mm] aufgespannten Raum liegen müssen, und warum
> > sie eine Basis dieses Raumes sind.
Hallo,
just zur Minute bin ich mir gar nicht mehr so sicher, ob dieser Tip richtig gut und funktionstüchtig ist...
Mach das lieber mit dem Minimalpolynom, so wie besprochen. Das ist schnell und richtig.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mo 06.07.2009 | | Autor: | math101 |
Vielen-vielen Dank Angela du bist die BESTE MODERATORIN!!!!!!
GRUß
|
|
|
|
