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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 So 04.05.2008 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Sei [tex] V [/tex] ein [tex] \IK [/tex]-Vektorraum und [tex] F [/tex] Endomorphismus von [tex] V [/tex]. Seien zudem [tex] \lambda [/tex] ein Eigenwert von [tex] F [/tex] und [tex] v [/tex] der zugehörige Eigenvektor von [tex] F [/tex] zum Eigenwert [tex] \lambda [/tex]. Außerdem sei [tex] p [/tex] ein Polynom über [tex] \IK [/tex] gegeben.
Zeige, dass [tex] p(F) [/tex] wieder ein Endomorphismus von [tex] V [/tex] ist und [tex] v [/tex] ein Eigenvektor von [tex] p(F) [/tex] zum Eigenwert [tex] p( \lambda ) [/tex]. |
Aloha hé,
obige Aufgabe bringt mich ein wenig zum Grübeln.
Ich habe zunächst einmal überlegt, was ich weiß:
[tex] (i) [/tex] [tex] F(v) = \lambda v [/tex] bzw.
[tex] (ii) [/tex] [tex] det ( F - \lamda E ) = 0 [/tex], wenn man [tex] F [/tex] als Matrix auffasst.
[tex] (iii) [/tex] [tex] F: V \to V [/tex] bildet Vektoren auf Vektoren ab und erfüllt dabei die Eigenschaft des Homomorphismus [tex] F ( \alpha x + \beta y ) = \alpha F(x) + \beta F(y) [/tex].
Die Frage, die sich mir nun stellt ist: Wie soll dieses Polynom [tex] p [/tex] aussehen?
Meine simple Überlegung war: Wenn [tex] F: V \to V [/tex] und ich zeigen soll, dass [tex] p(F): V \to V [/tex] ein Homomorphismus ist, so muss auch [tex] p: V \to V[/tex] gelten; [tex] p [/tex] muss also irgendwie Vektoren auf Vekoren abbilden.
Aus diesem Grund habe ich dann folgende Struktur für [tex] p [/tex] ersonnen:
[tex] p(t) = \summe_{i=1}^{m} a_{1} x^{i} t [/tex], wobei ich also davon ausgehe, dass das Polynom einen beliebigen, endlichen Grad [tex] m [/tex] hat.
Dies ist der erste unsichere Punkt. Die Aufgabenstellung gibt meiner Meinung nach nicht her, welchen Grad dieses Polynom haben soll.
Seien nun [tex]y,z \in V [/tex] und [tex] \psi , \xi \in \IK [/tex].
[tex] P( \psi F(y) + \xi F(z)) = \summe_{i=1}^{m} a_{1} x^{i} ( \psi F(y) + \xi F(z)) = \summe_{i=1}^{m} a_{1} x^{i} \psi F(y) + \summe_{i=1}^{m} a_{1} x^{i} \xi F(z) =
\psi \summe_{i=1}^{m} a_{1} x^{i} F(y) + \xi \summe_{i=1}^{m} a_{1} x^{i} F(z) = \psi p(F(y) + \xi p(F(z)) [/tex].
Sofern meine Überlegungen über das Polynom [tex] p [/tex] korrekt sind, sollte dies die Eigenschaften eines Homomorphismus nachweisen.
Nun soll noch gezeigt werden, dass [tex] v [/tex] Eigenvektor von [tex] p(F) [/tex] zum Eigenwert [tex] p( \lambda ) [/tex] ist, dass also gilt:
[tex] p(F(v)) = p( \lambda) v [/tex].
Mein Hauptproblem ist nun, dass [tex] \lambda [/tex] ja ein Eigenwert und kein Eigenvektor ist. Wenn [tex] p: V \to V [/tex] gelten soll, dann kann ich doch [tex] p( \lambda ) [/tex] gar nicht betrachten, oder?
Ich hoffe, dass jemand von euch einen Beutel Erleuchtung zumzustehen hat.
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich da wohl irgendwo vertan haben muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 So 04.05.2008 | | Autor: | taura |
Hallo Laryllan!
Da hast du dir allerdings das Leben erheblich schwerer gemacht, als nötig! Dein Polynom ist ganz einfach ein simples Polynom über deinem Körper K, also irgendwas von der Form: [mm] $a_nX^n+...+a_1X+a_0$. [/mm] Wenn du [mm] $F^n$ [/mm] jetzt als n-fache Hintereinanderausführung von F auffasst, und das [mm] $a_0$ [/mm] als [mm] $a_0X^0=a_0Id$ [/mm] schreibst, erhälst du durch Einsetzen deiner Abbildung F in das Polynom wieder eine Abbildung. Diese ist wieder Endomorphismus von V und erfüllt die Eigenschaften, die du zeigen sollst. Kommst du damit weiter?
Grüße taura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 04.05.2008 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé Taura,
erstmal: Vielen Dank. Dein Hinweis macht zumindest den ersten Teil der Aufgabe deutlich einfacher:
Wenn ich [tex] F^{n} [/tex] gerade als [tex] F \circ F \circ ... \circ F [/tex] interpretiere, dann kommt da natürlich wieder ein Endomorphismus raus.
Das finde ich schon mal gut. Trotzdem störe ich mich noch etwas daran, dass [tex] p [/tex] sowohl auf Endomorphismen, als auch auf Zahlwerte wie [tex] \lambda [/tex] angewendet werden soll.
Ich werd mir das nochmal ein wenig durch den Kopf gehen lassen.
Namárie,
sagt ein Lary, wo weiter grübeln geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 So 04.05.2008 | | Autor: | taura |
> Trotzdem störe ich mich noch
> etwas daran, dass [tex]p[/tex] sowohl auf Endomorphismen, als auch auf
> Zahlwerte wie [tex]\lambda[/tex] angewendet werden soll.
Vielleicht hilft dir folgende Überlegung:
Ein Polynom ist ursprünglich keine Abbildung sondern ein Element aus $K[X]$, also dem Polynomring von K. Das bedeutet, es besteht aus einer Linearkombination von Potenzen von X. X steht hier zunächst garnicht für irgendeinen Wert, Matrix, Abbildung oder sonst irgendwas, sondern einfach nur symbolisch.
Aus diesem Polynom kann man nun eine Abbildung machen, indem man sich überlegt, wodurch man X sinnvoll ersetzen kann. Überlege ich mir, was für eine Zahl [mm] $a\inK$ [/mm] die Operation [mm] $a^n$ [/mm] bedeutet, kann ich für X also a einsetzen und erhalte eine Abbildung von K nach K. Stelle ich die gleiche Überlegung für eine Matrix an, erhalte ich eine Abbildung von quadratischen Matrizen über K, und eben genauso für Endomorphismen eines Vektorraums über K. Das heißt, ich habe im Prinzip 3 verschiedene Abbildungen (weil auf verschiedenen Mengen definiert), die aber alle "gleich aussehen".
Hilft das?
Grüße taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 So 04.05.2008 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé Taura,
vielen Dank. Ich habe mich wohl von der Klammerschreibweise [tex] p(F) [/tex] irritieren lassen.
Danke für's Zersägen der sprichwörtlichen Bretter vor'm Kopf.
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun frohen Mutes an die Aufgabe geht.
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