matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesEndomorphismus-Beweise
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Endomorphismus-Beweise
Endomorphismus-Beweise < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Endomorphismus-Beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Sa 25.05.2013
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Sei [mm]V[/mm] ein unitärer Vektorraum endlicher Dimension. Sei [mm]f:V \to V[/mm] ein Endomorphismus, welcher durch die Matrix [mm]A[/mm] beschrieben wird. Zeigen Sie:

a) [mm]f[/mm] ist selbstadjungiert [mm]\iff A = \overline{A}^{T}[/mm]

b) [mm]f[/mm] ist unitär [mm]\iff A \overline{A}^{T} = E_n[/mm]

c) [mm]f[/mm] ist normal [mm]\iff A \overline{A}^{T} = \overline{A}^{T} A[/mm]





Hallo zusammen,

ich habe leider bei keinen der drei zu beweisenden Aussagen wirklich konkrete Ansätze (zu a) aber eine Idee).


Ich weiß, dass

1) [mm]f[/mm] selbstadjungiert heißt, wenn gilt: [mm]f = f^{ad}[/mm], also: [mm] \langle f(v),v' \rangle = \langle v,f(v') \rangle \quad \forall v,v' \in V[/mm]

2) [mm]A = \overline{A}^{T}[/mm] heißt, dass die Matrix [mm]A[/mm] hermetisch ist, also das [mm]A^{T} = \overline{A} \iff A[/mm] ist hermetisch

3) [mm]f[/mm] unitär heißt: [mm] \langle v_1,v_2 \rangle = \langle f(v_1), f(v_2) \rangle \quad \forall v_1,v_2 \in V[/mm]

4) [mm]f[/mm] normal heißt: [mm]f \circ f^{ad} = f^{ad} \circ f[/mm]


Meine grobe Idee für a) ist, dass ich einmal [mm]\langle f(v),v' \rangle[/mm] so umforme, dass [mm]A^{T}[/mm] "auftaucht" und einmal [mm]\langle v,f(v') \rangle[/mm] so umforme, dass [mm]\overline{A}[/mm] "auftaucht".

Damit wäre die Äquivalenzbeziehung in beide Richtungen gezeigt. Die große Frage ist aber, welche Eigenschaften ich ausnutzen muss, um eine solche Umformung zu vollziehen (sofern das überhaupt sinnvoll erscheint)?

Reichen dazu die von mir gesammelten und oben aufgeführten Definitionen und Eigenschaften?

Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir einen Ansatz geben könntet.

Für Teil b) und c) habe ich leider noch gar keine Idee.

Viele Grüße
Patrick

        
Bezug
Endomorphismus-Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Sa 25.05.2013
Autor: DrRiese

Hi,

naja, am besten man schreibt sich die Bedingung der Selbstadjungiertheit mal auf:
<Ax,y> = <x,Ay> [mm] \gdw (\overline{Ax})^{T}y [/mm] = [mm] \overline{x}^{T}Ay [/mm]
[mm] \gdw [/mm] ?

Gruß,
DrRiese

Bezug
                
Bezug
Endomorphismus-Beweise: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:39 Sa 25.05.2013
Autor: Apfelchips

Hallo DrRiese,

danke für Deine Hilfe.

> naja, am besten man schreibt sich die Bedingung der
> Selbstadjungiertheit mal auf:
> <Ax,y> = <x,Ay> [mm]\gdw (\overline{Ax})^{T}y[/mm] =
> [mm]\overline{x}^{T}Ay[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] ?

Ah, danke für den Anfang. Ist das dann so korrekt?
[mm]\langle Ax,y \rangle = \langle x,Ay \rangle \iff (\overline{Ax})^{T} * y = \overline{x}^{T} * Ay \iff \overline{x}^{T} * \overline{A}^{T} * y = x^{T} * \overline{Ay} \iff x^{T} * A^{T} * \overline{y} = x^{T} * \overline{A} * \overline{y}[/mm]

Hier sieht man dann auch schön, dass wenn f selbstadjungiert ist, [mm]A^{T} = \overline{A}[/mm] gilt, also A hermetisch ist.

Bezug
                        
Bezug
Endomorphismus-Beweise: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Mo 27.05.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]