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| Aufgabe | Sei [mm]V[/mm] ein unitärer Vektorraum endlicher Dimension. Sei [mm]f:V \to V[/mm] ein Endomorphismus, welcher durch die Matrix [mm]A[/mm] beschrieben wird. Zeigen Sie:
a) [mm]f[/mm] ist selbstadjungiert [mm]\iff A = \overline{A}^{T}[/mm]
b) [mm]f[/mm] ist unitär [mm]\iff A \overline{A}^{T} = E_n[/mm]
c) [mm]f[/mm] ist normal [mm]\iff A \overline{A}^{T} = \overline{A}^{T} A[/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe leider bei keinen der drei zu beweisenden Aussagen wirklich konkrete Ansätze (zu a) aber eine Idee).
Ich weiß, dass
1) [mm]f[/mm] selbstadjungiert heißt, wenn gilt: [mm]f = f^{ad}[/mm], also: [mm] \langle f(v),v' \rangle = \langle v,f(v') \rangle \quad \forall v,v' \in V[/mm]
2) [mm]A = \overline{A}^{T}[/mm] heißt, dass die Matrix [mm]A[/mm] hermetisch ist, also das [mm]A^{T} = \overline{A} \iff A[/mm] ist hermetisch
3) [mm]f[/mm] unitär heißt: [mm] \langle v_1,v_2 \rangle = \langle f(v_1), f(v_2) \rangle \quad \forall v_1,v_2 \in V[/mm]
4) [mm]f[/mm] normal heißt: [mm]f \circ f^{ad} = f^{ad} \circ f[/mm]
Meine grobe Idee für a) ist, dass ich einmal [mm]\langle f(v),v' \rangle[/mm] so umforme, dass [mm]A^{T}[/mm] "auftaucht" und einmal [mm]\langle v,f(v') \rangle[/mm] so umforme, dass [mm]\overline{A}[/mm] "auftaucht".
Damit wäre die Äquivalenzbeziehung in beide Richtungen gezeigt. Die große Frage ist aber, welche Eigenschaften ich ausnutzen muss, um eine solche Umformung zu vollziehen (sofern das überhaupt sinnvoll erscheint)?
Reichen dazu die von mir gesammelten und oben aufgeführten Definitionen und Eigenschaften?
Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir einen Ansatz geben könntet.
Für Teil b) und c) habe ich leider noch gar keine Idee.
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Sa 25.05.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hi,
naja, am besten man schreibt sich die Bedingung der Selbstadjungiertheit mal auf:
<Ax,y> = <x,Ay> [mm] \gdw (\overline{Ax})^{T}y [/mm] = [mm] \overline{x}^{T}Ay
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ?
Gruß,
DrRiese
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Hallo DrRiese,
danke für Deine Hilfe.
> naja, am besten man schreibt sich die Bedingung der
> Selbstadjungiertheit mal auf:
> <Ax,y> = <x,Ay> [mm]\gdw (\overline{Ax})^{T}y[/mm] =
> [mm]\overline{x}^{T}Ay[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] ?
Ah, danke für den Anfang. Ist das dann so korrekt?
[mm]\langle Ax,y \rangle = \langle x,Ay \rangle \iff (\overline{Ax})^{T} * y = \overline{x}^{T} * Ay \iff \overline{x}^{T} * \overline{A}^{T} * y = x^{T} * \overline{Ay} \iff x^{T} * A^{T} * \overline{y} = x^{T} * \overline{A} * \overline{y}[/mm]
Hier sieht man dann auch schön, dass wenn f selbstadjungiert ist, [mm]A^{T} = \overline{A}[/mm] gilt, also A hermetisch ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 27.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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