Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Fr 10.02.2006 | | Autor: | soulid |
hallo, ich bereite mich gerade auf eine Klausur vor und gehe gerade die Grundregeln durch.
dabei bin ich beim Endomorphismus stehen geblieben.
ich verstehe da was nicht ganz.
in meinem Buch steht der Endomorphismus ist L: V----->V, bzw. V=W nun steht aber zum Isomorphismus L ist bijektiv, also V ------> W, ist das denn nicht das selbe. wo liegt hier mein Denkfehler?
weil ich habe dann hier auch ne Aufgabe, dazu sollte ich diese Begrifflichkeit schon verstehen.
L= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \\ 9 & 8 & 7}
[/mm]
nun will ich die Matrix des Endomorphismus (L-Id) [mm] \circ [/mm] (L- 2Id) bezüglich der Basis der Einheitsvektoren
[mm] e_{1}, e_{2}, e_{3} [/mm] bestimmen.
kann mir jemand weiterhelfen?
ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
mfg soulid
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Fr 10.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also ein Homomorphismus ist eine Lineare Abbildung von V nach W.
Wenn diese W=V ist, d.h. wenn die Abbildung von V nach sich selbst geht, dann heißt dies ein Endomorphismus.
(also ein Endomorphismus ist ein Homomorhismus nach/in sich selbst)
Zum Beispiel ist [mm] $f:V\to V\qquad v\mapsto 0_V$ [/mm] ein trivialer nicht injektiver Endomorphismus
Ein Isomorphismus ist eine bijektive, lineare Abbildung von V nach W, dies bedeutet aber NICHT, dass V=W ist - es können ja ganz andere Elmente enthalten sein.
(Beispiel : zwei Ebenen durch den Nullpunkt sind isomorph und einen Isomorphismus kann man leicht durch die Basen angeben)
WENN hier wieder V=W ist, dann heißt der Isomorphismus (nach/in sich selbst) auch Automophismus.
(im obigen Beispiel muss es dann zweimal dieselbe Ebene sein)
zu deiner Aufgabe :
L soll bestimmt eine Abbildung [mm] f_L [/mm] bzgl Standardbasis sein, oder?
und gesucht ist dann: [mm] $(f_L [/mm] - id [mm] )\circ (f_L [/mm] -2* id )$ (als Abbildungen)
dies ist in Matrixschreibweise aber nichts anderes als: $(L-E)*(L-2*E)$
(E=Einheitsmatrix)
und das kann man einfach durch einsetzen ausrechnen.
viele Grüße
DaMenge
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