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| Aufgabe | Gegeben sein ein Endomorphismus T des [mm] \IR^{3} [/mm] und ein [mm] v_{0} \in \IR^{3} [/mm] derart, dass [mm] \alpha [/mm] = [mm] (v_{0}, T(v_{0}],T^{2}(v_{0})) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] bildet
Zeigen sie: Es gibt genau eine Möglichkeit, [mm] a_{0}, a_{1}, a_{2}\in \IR [/mm] zu wählen, sodass
[mm] T^{3}(v_{0})+a_{2}*T^{2}(v_{0})+a_{1}*T(v_{0})+a_{0}+v_{0}=0 [/mm] |
Hallo,
habe Probleme mit dieser Aufgabe. Ich weiß nicht genau wie ich die Skalare wählen muss damit ich die 0 als Ergebnis kriege.
Ich denke es liegt daran, dass ich den Begriff des Endomorphismus noch nicht richtig verstanden habe.
Kann mir jemand bitte helfen?
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> Gegeben sein ein Endomorphismus T des [mm]\IR^{3}[/mm] und ein [mm]v_{0} \in \IR^{3}[/mm]
> derart, dass [mm]\alpha[/mm] = [mm](v_{0}, T(v_{0}],T^{2}(v_{0}))[/mm] eine
> Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] bildet
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> Zeigen sie: Es gibt genau eine Möglichkeit, [mm]a_{0}, a_{1}, a_{2}\in \IR[/mm]
> zu wählen, sodass
>
> [mm]T^{3}(v_{0})+a_{2}*T^{2}(v_{0})+a_{1}*T(v_{0})+a_{0}*v_{0}=0[/mm]
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> Hallo,
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> habe Probleme mit dieser Aufgabe. Ich weiß nicht genau wie
> ich die Skalare wählen muss damit ich die 0 als Ergebnis
> kriege.
Hallo,
Du brauchst hier nichts Konkretes anzugeben, es ergibt sich alles daraus, daß [mm] \alpha [/mm] eine Basis ist.
> Ich denke es liegt daran, dass ich den Begriff des
> Endomorphismus noch nicht richtig verstanden habe.
Endomorphismus: eine lineare Abbildung, die aus dem Vektorraum V in den Vektorraum V abbildet.
Da T ein Endomorphismus ist, ist [mm] T^3(v_0)\in \IR^3.
[/mm]
Da [mm] \alpha [/mm] nach Voraussetzung eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist, kannst Du den Vektor [mm] T^3(v_0) [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren schreiben.
Auch die Eindeutigkeit ergibt sich aus der Basiseigenschaft - Du kannst natürlich auch davon ausgehen, daß es zwei Darstellungen gibt und zeigen, daß die beiden gleich sind.
Hm. Gibt es weitere Teilaufgaben? Die Aufgabe kommt mir so wenig gehaltvoll vor.
Gruß v. Angela
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> Kann mir jemand bitte helfen?
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| Aufgabe | b) Stellen Sie die Darstellungsmatrix aMa(T) auf und berechnen sie das charakteristische Polynom
c) Zeigen Sie: Ist zusätzlich [mm] T^{3}(v_{0})=0, [/mm] so ist bereits [mm] T^{3} [/mm] die Nullabbildung.
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Hey Angela, wie immer rettest du mich :).
Es gibt noch diese zwei Teilaufgaben.
Bei c) gehe ich dann mal davon aus, dass wenn [mm] T^{3} [/mm] die Nullabbildung ist eben auch die Linearkombination die Nullabbilung ist, da [mm] T^{3} [/mm] durch die Basis dargestellt werden kann.
Jetzt frag ich mich aber wie ich am besten zeige, dass [mm] T^{3} [/mm] die Linearkombination ist?
Gruß
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> b) Stellen Sie die Darstellungsmatrix aMa(T) auf und
> berechnen sie das charakteristische Polynom
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> c) Zeigen Sie: Ist zusätzlich [mm]T^{3}(v_{0})=0,[/mm] so ist
> bereits [mm]T^{3}[/mm] die Nullabbildung.
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> Hey Angela, wie immer rettest du mich :).
>
> Es gibt noch diese zwei Teilaufgaben.
>
> Bei c) gehe ich dann mal davon aus,
Hallo,
meist ist es nicht ganz unpraktisch, dem verlauf der Aufgabe zu folgen.
Was hast Du denn bei b) herausgefunden?
zu c) wie sieht die Darstellungsmatrix für diesen Fall aus?
Gruß v. Angela
dass wenn [mm]T^{3}[/mm] die
> Nullabbildung ist eben auch die Linearkombination die
> Nullabbilung ist, da [mm]T^{3}[/mm] durch die Basis dargestellt
> werden kann.
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> Jetzt frag ich mich aber wie ich am besten zeige, dass
> [mm]T^{3}[/mm] die Linearkombination ist?
>
> Gruß
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