Endomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Gibt es Endomorphismen L: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] mit KernL=BildL ?
Wenn ja konstruieren sie ein Beispiel, wenn nein erklären sie warum. |
Erste Frage: Endomorphismus bedeutet doch nur, dass eine Menge V auf sich selbst abbildet, oder?
Der Kern enthält die Elemente, die auf das Nullelement abbilden. Wenn Kern = Bild, muss die Funktion jedes Element auf Null abbilden. Das wäre zum Beispiel:
L: [mm] \IR^n \to \IR^n [/mm] : v [mm] \mapsto [/mm] v - v
Ist das so schon alles, oder habe ich einen Denkfehler?
Die Lösung kommt mir ein bisschen zu leicht vor...
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Hallo Ymaoh,
Ja, du hast einen Denkfehler. Du schlägst die Nullabbildung [mm] $0\colon V\longrightarrow [/mm] V$, [mm] $x\longmapsto [/mm] 0$ vor. Dies funktioniert schon deshalb nicht, weil [mm] $\dim\ker 0=\dim [/mm] V=n$ für [mm] $V=\IR^n$, [/mm] aber [mm] $\dim\operatorname{im} 0=\dim [/mm] 0=0$. Genauer liegt hierbei jedes nichttriviale Element im Kern, aber nur die Null auch im Bild.
Nehmen wir doch einmal an, es gibt einen Endomorphismus $f$ wie gesucht. Dann gilt [mm] $\dim V=\dim\ker f+\dim\operatorname{im}f=2\dim\ker [/mm] f$, sodass also $n$ auf jeden Fall gerade sein muss.
Außerdem können wir danach definieren:
[mm] $(f\times f)\colon V\times V\longrightarrow V\times [/mm] V$, [mm] $(x,y)\longmapsto(f(x),f(y))$
[/mm]
und es gilt
[mm] $(x,y)\in\ker(f\times f)\iff(f(x),f(y))=(0,0)\iff f(x)=0\text{ und }f(y)=0\iff x\in\ker f,y\in [/mm] ker [mm] f\iff x,y\in \operatorname{im}\iff(x,y)\in\operatorname{im}(f\times [/mm] f)$.
Wegen [mm] $\IR^n\times\IR^n\cong\IR^{2n}$ [/mm] haben wir also auch für $2n$ eine Lösung. Ähnlich können wir für beliebige Produkte von $V$ schließen. Finden wir somit eine Lösung für $n=2$, so haben wir Lösungen für jedes gerade $n$.
Es macht also Sinn, unsere Betrachtungen auf [mm] $V=\IR^2$ [/mm] einzuschränken.
Hier musst du also nur noch zwei Komponenten betrachten. Außerdem ist eine lineare Abbildung bereits durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren definiert. Findest du nun eine Lösung?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Ich verstehe zwar an sich, was du meinst, mit der Dimension, aber der Kern ist doch gerade defininiert als die Menge der Elemente, die eben gerade auf Null abbilden. Dann kann doch das Bild nur das Null-Element enthalten, oder nicht?
Und was genau ist gemeint mit der Wirkung einer Linearen Abbildung auf die Basisvektoren? Dass ein Vektor v durch eindeutige [mm] \Lambda [/mm] festgelegt ist?
( v= [mm] \Lambda_{1}*x_{1}......etc...
[/mm]
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> Ich verstehe zwar an sich, was du meinst, mit der
> Dimension, aber der Kern ist doch gerade defininiert als
> die Menge der Elemente, die eben gerade auf Null abbilden.
> Dann kann doch das Bild nur das Null-Element enthalten,
> oder nicht?
Ich bin mir nicht ganz sicher was du meinst... Betrachte den [mm] $\IR$-Vektorraum $\IR$ [/mm] und die Abbildung [mm] $f\colon\IR\longrightarrow\IR$, $x\longmapsto [/mm] 0$. Dann gilt $f(1)=0$, also [mm] $1\in\ker [/mm] f$, aber für alle $x$ gilt [mm] $f(x)=0\not=1$, [/mm] also [mm] $1\notin\operatorname{im}f$.
[/mm]
> Und was genau ist gemeint mit der Wirkung einer Linearen
> Abbildung auf die Basisvektoren? Dass ein Vektor v durch
> eindeutige [mm]\Lambda[/mm] festgelegt ist?
>
> ( v= [mm]\Lambda_{1}*x_{1}......etc...[/mm]
Ich meine damit: Sind [mm] $f,g\colon V=\langle S\rangle\longrightarrow [/mm] W$ lineare Abbildungen und gilt $f(x)=g(x)$ für alle [mm] $x\in [/mm] S$, so gilt bereits $f=g$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Was ich meine ist:
wenn L: [mm] \IR \to \IR [/mm] : x [mm] \to [/mm] 0,
also, wie in deinem Beispiel: f(1)=0,
Dann ist 1 [mm] \in [/mm] Kern und dann ist doch 0 [mm] \in [/mm] Bild.
Und es ist NUR 0 [mm] \in [/mm] Bild, denn es wird ja auf sonst kein Element abgebildet.
Nun hast du aber am Anfang erklärt, dass daraus folgt:
dim Ker = n und dim Bild = 0....
Und das wäre ja schon ein Widerspruch zu der Annahme, es gäbe Endomorphismen mit Kern L = Bild L.
Oder nicht?
Das wäre ja bei [mm] \IR^2 [/mm] das gleiche:
(x, y) [mm] \to [/mm] (0, 0)
mit x,y [mm] \in [/mm] Kern und (0,0) [mm] \in [/mm] Bild....
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Ja genau! Aber dies ist doch die Abbildung, die du im Startpost versuchen wolltest. Ich wollte dir aufzeigen, dass diese Lösung nicht funktioniert.
Und bei [mm] $\IR^2$ [/mm] funktioniert es auch nicht, genau. Aber versuche doch mal, eine andere Abbildung.
Wegen dim(Kern)=dim(Bild) müssen genauso viele Basisvektoren auf die Null, wie nicht auf die Null. Das macht die Lösung schon recht offensichtlich.
Viel Glück und Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Ah, ich hatte den Gedankenfehler gemacht, dass dim Bild immer Null ist, weil ich davon ausgegangen bin, dass die Abbildung nur auf 0 abbilden darf, aber das ist natürlich Quatsch. Es müssen ja lediglich genauso viele Elemente den Kern treffen, wie andere Elemente. Also müsste so etwas gehen:
[mm] \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2: [/mm] V [mm] \to [/mm] V: [mm] e_{i} \to \vektor{1 \\ 0} [/mm] * [mm] e_{i}
[/mm]
Das würde [mm] e_{1} [/mm] auf 1 abbilden und [mm] e_{2} [/mm] auf 0.
Damit wäre dim Ker = 1 und dim Bild = 1.
Funktioniert das so?
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Deine Notation ist sehr wirr. Gesucht ist etwas der Form
[mm] $f\colon\IR^2\longrightarrow\IR^2$, $(x,y)\longmapsto(\dots,\dots)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Ist das, was ich geschrieben habe, nur wirr, oder ist es falsch?
Denn wenn es falsch ist, fällt mir glaube ich nichts anderes ein...
Ich muss ja eine Abbildungsvorschrift finden, die genauso viele Elemente auf das Nullelement abbildet wie auf andere, und das erschien mir die leichteste Lösung im [mm] \IR^2:
[/mm]
ein Vektor der Standardbasis wird abgebildet auf [mm] e_{1} [/mm] * [mm] e_{i}....
[/mm]
Wenn ich dann [mm] e_{1} [/mm] einsetze kommt 1 raus, bei [mm] e_{2} [/mm] 0...
Oder hab ich mich da jetzt verrannt?
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Hiho,
deine Idee ist richtig, deine Umsetzung falsch.
Wir suchen ja eine Abbildung [mm] $f:\IR^2 \to \IR^2$
[/mm]
Du schlägst nun vor:
> ein Vektor der Standardbasis wird abgebildet auf [mm]e_{1}[/mm] * [mm]e_{i}....[/mm]
> Wenn ich dann [mm]e_{1}[/mm] einsetze kommt 1 raus, bei [mm]e_{2}[/mm] 0...
Ja das wäre ist, das ist aber eine Abbildung $f: [mm] \IR^2 \to \IR$, [/mm] weil das Skalarprodukt immer in die rellen Zahlen abbildet (was du mit 0 und 1 ja auch herausbekommst) und eben nicht $f: [mm] \IR^2 \to \IR^2$, [/mm] was wir aber suchen.
Deine Idee ist aber korrekt, allerdings sollte als Ergebnis eben ein Wert aus dem [mm] $\IR^2$ [/mm] herauskommen anstatt reelle Zahlen.
Tipp: Setze [mm] f(e_1)=e_2 [/mm] und bilde [mm] e_2 [/mm] auf die [mm] $0\in\IR^2$ [/mm] ab.
Damit wäre dein f eindeutig bestimmt (warum?) und wie sieht f dann aus?
Gruß,
Gono.
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> Damit wäre dein f eindeutig bestimmt (warum?) und wie
> sieht f dann aus?
Hi,
nicht ganz richtig, wenn ich dich recht verstehe. Es liegt [mm] $e_2$ [/mm] im Kern, aber nicht im Bild.
LG
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:37 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Fixed 
Danke,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Hmmm....ich weiß nicht genau, ob ich dich richtig verstehe....Meine Idee wäre jetzt folgendes:
L: [mm] \IR^2 \to \IR^2: e_{i} \to \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }* e_{i}
[/mm]
Geht das so?
Wie ich die eindeutige Bestimmtheit begründen könnte, weiß ich leider nicht...
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Stimmt so. Dann brauchst du auch nix mit Wohldefiniertheit zu zeigen. Man könnte das Problem halt auch ohne Matrix rein konzeptionell lösen.
Liebe Grüße
P.S. in der amüsste es dann aber x statt [mm] e_i [/mm] heißen, denn su bildest ja alle Elemente und nicht nur die Basis ab.
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